Devoir à la maison n° 09

Lycée La Martinière Monplaisir Année 2013/2014

MPSI - Mathématiques le 22 janvier

Devoir à la maison n° 09

À rendre le 29 janvier

I. Premier exercice

Une suite (Pn)n∈N de polynômes de R[X] est définie par la donnée de P₀ =X et la relation de récurrence

∀n∈N, ∀x∈R Pn+1(x) = (n+1)

Z x 0

Pn(t) dt+x

1−(n+ 1)

Z 1 0

Pn(t) dt

.

1) Calculer P1,P2, P3 etP4 et montrer que la suite (P_n) est bien définie et est une suite de polynômes.

2) On veut montrer que pour tout n ∈ N, P_n est l’unique polynôme de R[X]

vérifiant les deux conditions

P_n(0) = 0 et P_n(X)−P_n(X−1) = Xⁿ. (?)

a) Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N, P_n(0) = 0 et P_n(X)− P_n(X−1) = Xⁿ (indication: si (H_n) est vraie, on pourra montrer que Pn+1(X)−Pn+1(X−1) etXⁿ⁺¹ ont le même dérivé et coïncident en 1).

b) Soient P et Q deux polynômes vérifiant les deux conditions (?), pour un certainn donné et fixé. Montrer par récurrence que∀k ∈N,P(k) = Q(k) et conclure.

3) Montrer que, pour tout n ∈ N^∗, le polynôme P_n est divisible par X² +X.

Factoriser les polynômesP₁,P₂ etP₃. EcrireP₄ sous la forme X(X+ 1)Q₄. 4) Montrer que le polynôme P_n est de degré n + 1, calculer son coefficient dominant, ainsi que le coefficient de Xⁿ (on pourra montrer tout cela par récurrence).

5) Montrer que, pour tousn ∈Net p∈N^∗, on aP_n(p) =

p

X

k=1

kⁿ.

6) Retrouver ainsi les valeurs de

p

X

k=1

kⁿ pour n= 1,2,3,4.

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II. Second exercice

On considère la suite (P_n)n∈N de polynômes de R[X] définie par :

P₀ = 1 ; ∀n ∈N, P_n+1 = (1 +X²)P_n⁰ −(2n+ 1)XP_n. 1) Calculer P_n pour toutn ∈J0,5K.

2) On désigne par α_n le coefficient dominant de P_n. Quelle formule peut-on conjecturer concernantα_n?

3) Calculer deg(P_n) et α_n, et prouver ainsi la conjecture faite dans la question précédente.

4) On considère la fonctionf définie sur R parf(x) = 1

√1 +x². Démontrer par récurrence que pour tout n∈N, f est n-fois dérivable sur R et que :

∀x∈R, f⁽ⁿ⁾(x) = Pn(x) (1 +x²)^n+1/2.

— FIN —

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