Devoir maison n ◦ 09 – correction

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 09 – durée du premier jet : 2 heures

À rendre le lundi 27 novembre

On noteAune matrice carrée d’ordren >0à coefficients complexes,In est la matrice identité carrée d’ordren >0 ayant des1 sur la diagonale et des zéros ailleurs.

Le noyau et l’image d’une matrice désignent respectivement le noyau et l’image de l’application linéaire canoni- quement associée à cette matrice.

On considère la matrice MA carrée d’ordre2nà coefficients complexes définie par blocs de la façon suivante : MA =

0 In

A 0

.

1. Soitφl’application qui à tout vecteurX deCⁿ associe le vecteur X

0

deC²ⁿ. (a) Montrer queφest une application linéaire.

(b) Montrer queφ est bijective du noyau de la matriceA vers le noyau de la matrice MA. Quelle relation en déduit-on entre les dimensions deKer (MA)et deKer (A)?

(c) En déduire le rang de la matriceMAen fonction du rang de la matriceA. Citer le théorème utilisé.

2. On suppose, dans cette question, que la matriceAest diagonalisable et inversible.

(a) Exprimer la matriceM_A² en fonction deA.

(b) Démontrer que la matriceM_A² est diagonalisable.

(c) Montrer que la matrice M_A² est inversible.

(d) En déduire, en citant le théorème du cours utilisé, que la matriceMA est diagonalisable.

3. On suppose, dans cette question, que la matriceMA est diagonalisable.

(a) Démontrer queIm (MA) = Im (M_A²).

(b) En déduireKer (MA) = Ker (M_A²).

(c) Montrer que la matrice A est inversible (indication : pour X ∈ KerA, on pourra considérer le vecteur 0

X

).

(d) Démontrer que la matriceA est diagonalisable.

4. Que peut-on déduire des questions 2. et 3. ?

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d’après E3A 2013 MP maths B

1. a) C’est immédiat.

b) Il est clair que Kerϕne contient que la colonne nulle, donc ϕ est injective. Par conséquent l’applicationϕ réalise une bijection deKerAdansϕ(KerA).

D’autre part, soitZ = X

Y

∈C²ⁿ, avecX etY dansCⁿ. Alors :

Z∈KerM_A⇐⇒

0 In

A 0 X Y

= 0⇐⇒Y = 0etAX= 0⇐⇒X ∈KerAetZ =ϕ(X), et donc KerMA=ϕ(KerA) ce qui achève la démonstration.

c) Si B ∈ Mp(C), alors la formule du rang appliquée à l’endomorphisme canoniquement associé à B donne dim KerB+ rgB =p.

Les deux questions précédentes montrent que les sous-espaces KerA et KerMA sont isomorphes, donc ont même dimension.

Compte tenu des dimensions de ces matrices, on en déduitn−rgA= 2n−rgMA, soit rgMA=n+ rgA. 2. SupposonsAdiagonalisable.

(a) On obtient immédiatement MA2= A 0

0 A

.

(b) On choisit, dans Mn(C), P inversible et D diagonale telles que A = P DP⁻¹. Posons Q =

P 0 0 P

et E =

D 0 0 D

. On vérifie immédiatement que Q

P⁻¹ 0 0 P⁻¹

=

I_n 0 0 I_n

= I2n, donc que Q est inversible, d’inverse

P⁻¹ 0 0 P⁻¹

; et que QEQ⁻¹= A 0

0 A

=M_A² . Puisque E est diagonale, MA2 est bien diagonalisable .

(c) On vérifie immédiatement que l’inverse deMA2est

A⁻¹ 0 0 A⁻¹

. (d) Notonsλ1, . . . ,λp les valeurs propres deux à deux distinctes deMA2

. Puisque MA2

est diagonalisable, le polynôme scindé à racines simples

p

Y

k=1

(X−λk)annuleMA2

. Par conséquentR(X²) =

p

Y

k=1

(X²−λk)annule MA.

Puisque M_A² est inversible, ses valeurs propres sont non nulles. Ainsi chaque λ_k a deux racines carrées distinctesµk et−µk; de plus, lesλk étant distincts, les2pnombresµ1,−µ1, . . . ,µp,−µpsont deux à deux distincts.

On a alorsR=

p

Y

k=1

(X−µ_k)(X+µ_k), ce qui montre queRest également scindé à racines simples. Puisque MAadmet un polynôme annulateur scindé à racines simples, on sait alors que MA est diagonalisable .

1

3. SupposonsM_A diagonalisable.

(a) Soit(X₁, . . . , X_2n)une base deC²ⁿ constituée de colonnes propres pourM_A, associées aux valeurs propres λ1, . . . , λ2n. Pour simplifier les écritures, on suppose qu’il existeptel queλk 6= 0sik≤p, etλk= 0 pour k > p.

L’espace ImM_A est alors engendré par les colonnes (AX₁, . . . , AX_2n) = (λ₁X₁, . . . , λ_2nX_2n). Il est clair qu’on peut supprimer dans cette famille les vecteurs nuls, et diviser chacun des vecteurs restants par leλk

associé, sans modifier le sous-espace engendré. On a donc ImMA= Vect(X1, . . . , Xp). Les vecteursXk forment aussi une base de vecteurs propres pourMA2

, associés aux valeurs propresλk2

. Le même raisonnement montre que l’image deM_A²est engendrée par ceux de ces vecteurs qui sont associés à une valeur propre non nulle ; on en déduit ImM_A² = Vect(X1, . . . , Xp) = ImMA .

(b) La question précédente montre, grâce à la formule du rang, queKerM_Aet KerM_A² ont même dimension.

De plus, siX ∈KerMA alorsMA2

X =MA(MAX) = 0. Il s’ensuit queKerMA⊂KerM_A². On en déduit que KerMA= KerM_A² .

(c) Soit X ∈ KerA. Un calcul immédiat montre que 0

X

est dans KerM_A², donc dansKerM_A d’après la question précédente.

Mais on a vu en 1. que les éléments deKerMAsont de la forme Y

0

, doncX = 0. Par suiteKerA={0}, ce qui suffit à prouver que Aest inversible .

(d) Notonsul’endomorphisme deC²ⁿcanoniquement associé àMA2

. PuisqueMAest diagonalisable, la matrice M_A² l’est aussi et donc aussiu.

D’autre part, la forme de la matriceMA2

montre que le sous-espaceF deC²ⁿ engendré par lesnpremiers vecteurs de la base canonique est stable paru; puisqueuest diagonalisable, on sait qu’alors l’endomorphisme

˜

u=u_|F induit parusurF l’est aussi. Mais la matrice de u˜estA, et donc Aest diagonalisable .

4. On a démontré : MA est diagonalisable si et seulement siAest diagonalisable et inversible .

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