Barycentres, espace, vecteurs

NOM : ENONCE – FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Exercice 1 Après avoir examiné le dessin ci-dessous avec la

légende qui l’accompagne, expliquer ci-contre pourquoi ce dessin n’est pas en accord avec la légende.

représentation, en perspective cavalière, d’un tronc de pyramide (une pyramide SABCD coupée par un plan)

Exercice 2 Soit ABCD un tétraèdre. On a placé les points E, F et G : E est le point de [AB] tel que AE ².AB

= 3 JJJG JJJG

, F est le centre de gravité du triangle ACD, G est un point de [BC].

Il s’agit de construire, sur le dessin, la section du tétraèdre avec le plan (EFG), de deux façons différentes.

1) Au dos de cette feuille, prouver que (EF) est parallèle au plan (BCD). Rappel : si une droite est parallèle à une droite d’un plan, alors elle est parallèle à ce plan.

2) Sans justification, construire de deux façons différentes la section du tétraèdre avec le plan (EFG), l’une des deux façons utilisant le résultat de 1). Dans chaque cas, la section sera faite en rouge, les autres traits de construction au crayon de papier ; il ne doit pas y avoir d’ambiguïté pour comprendre comment la construction a été réalisée (par exemple à l’aide d’une bonne utilisation du codage),

Exercice 3 Dans chaque cas, compléter, sans justification.

(graduations régulières)

(les graduations ne sont régulières que

sur les obliques passant par A et B) (graduations régulières sur chaque segment) C est barycentre (A ; ….) et (B ; ….) ;

.DAJJJG+ .DB 0JJJG=G

P étant un point du plan quelconque du plan, .PCJJJG= .PAJJJG+ .PBJJJG

D bar A B

C bar A B D bar A B C

NOM : ENONCE – FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Exercice 4 ABCD est un tétraèdre (pyramide à base triangulaire).

1) Placer sur le dessin les points M, N, P et Q tels que : AM ².AB

=3 JJJJG JJJG

, BN 3.BC=

JJJG JJJG

, CP ¹.CD

= −2 JJJG JJJG

et AQ ¹.AD

= 2 JJJG JJJG

.

Le problème mathématique : prouver que les points M, N, P et Q sont coplanaires à l’aide de deux méthodes, l’une s’appuyant sur le calcul vectoriel, l’autre sur les propriétés liées aux barycentres.

2) Première méthode

a) Sans justification, écrire les vecteurs MN, MP et MQJJJJG JJJG JJJJG

à l’aide des seuls vecteurs AB, AC et ADJJJG JJJG JJJG

et sous formes « réduites ».

MNJJJJG=

MPJJJG=

MQJJJJG=

b) Justifier

le résultat trouvé pour MPJJJG

.

c) Trouver deux nombres x et y tels que MN x.MP y. MQJJJJG= JJJG+ JJJJG

peut se faire par exemple par la résolution d’un système de trois équations à deux inconnues (x et y).

Ecrire ce système, sans justification.

Ecrire la solution de ce système.

d) Au dos de cette feuille, en déduire que les points M, N, P et Q sont coplanaires.

3) Deuxième méthode a) Compléter (points de départ et justifications) le schéma de démonstration montrant que N est barycentre des M, P et Q avec des coefficients adéquats, puis b), au dos de cette feuille, en déduire que les points M, N, P et Q sont coplanaires.

Compléter les parties du schéma repérées par des « … ».

…. …

(1)

….

(2)

…

(3)

(4)

Ecrire ci-dessous les parties du schéma repérées par les numéros (1), (2), (3) et (4).

M bar A N C

1 -1 3

M bar A N P D

1 -1 … …

M bar N P Q

… … …

N bar P Q M

… … …

Eléments pour un corrigé

Exercice 1 Après avoir examiné le dessin ci-dessous avec la légende qui l’accompagne, expliquer ci-contre pourquoi ce dessin n’est pas en accord avec la légende.

représentation, en perspective cavalière, d’un tronc de pyramide (une pyramide SABCD coupée par un plan)

Par exemple :

Les principes de la représentation en perspective cavalière ne sont respectés.

Sur la pyramide, les droites (SA), (SB), (SC) et (SD) sont concourantes en S ; la perspective cavalière conservant les intersections, sur la représentation plane présentée, les droites (AA’), (BB’), (CC’) et (DD’) devraient être concourantes, or, elles ne le sont pas.

Exercice 2 Soit ABCD un tétraèdre. On a placé les points E, F et G : E est le point de [AB] tel que AE ².AB

= 3 JJJG JJJG

, F est le centre de gravité du triangle ACD, G est un point de [BC].

Il s’agit de construire, sur le dessin, la section du tétraèdre avec le plan (EFG), de deux façons différentes.

3) Au dos de cette feuille, prouver que (EF) est parallèle au plan (BCD). Rappel : si une droite est parallèle à une droite d’un plan, alors elle est parallèle à ce plan.

Par exemple.

F est le centre de gravité du triangle ACD, donc (th.1), en appelant H le milieu de [CD], AF ².AH

= 3 JJJG JJJG

. Or, on sait que (donnée de l’énoncé) AE ².AB

=3 JJJG JJJG

, d’où (soustraction membre à membre)

2 2

AE AF .AB .AH

3 3

− = −

JJJG JJJG JJJG JJJG et par suite (th.2,3,4,5) FE ².HB

=3 JJJG JJJG donc (th.6) (EF)//(BH)

Les points B et H étant dans le plan (BCD) et distincts, alors (th.7), (BH) ⊂ (BCD).

Finalement (EF) est parallèle à une droite de (BCD), elle est donc (rappel) parallèle à (BCD).

Th.1 : propriétés des médianes d’un triangle

Th.2 : pour tous vecteurs u, vG G

, ^{u v u ( v)} u v v u

− = + −

 + = +



G G G G

G G G G

Th.3 : pour tous points A et B, ABJJJG= −BAJJJG Th.4 : relation de Chasles

Th.5 : pour tous vecteurs u, vG G

, et tout nombre a, a(u v) a.u a.vG G+ = G+ G Th.6 : définition de la colinéarité de deux vecteurs.

Th.7 : si deux points distincts sont dans un plan, alors la droite passant par ces deux points est incluse dans le plan.

4) Sans justification, construire de deux façons différentes la section du tétraèdre avec le plan (EFG), l’une des deux façons utilisant le résultat de 1). Dans chaque cas, la section sera faite en rouge, les autres traits de construction au crayon de papier ; il ne doit pas y avoir d’ambiguïté pour comprendre comment la construction a été réalisée (par exemple à l’aide d’une bonne utilisation du codage),

Exercice 3 Dans chaque cas, compléter, sans justification.

(graduations régulières)

(les graduations ne sont régulières que sur

les obliques passant par A et B) (graduations régulières sur chaque segment) C est barycentre (A ; 4) et (B ; 3) ;

2.DA 9.DB 0

− JJJG+ JJJG=G

P étant un point du plan quelconque du plan, 7.PCJJJG= 4.PAJJJG+ 3.PBJJJG

Exercice 4 ABCD est un tétraèdre (pyramide à base triangulaire).

4) Placer sur le dessin les points M, N, P et Q tels que : AM ².AB

=3 JJJJG JJJG

, BN 3.BCJJJG= JJJG

, CP ¹.CD

= −2 JJJG JJJG

et AQ ¹.AD

=2 JJJG JJJG

.

Le problème mathématique : prouver que les points M, N, P et Q sont coplanaires à l’aide de deux méthodes, l’une s’appuyant sur le calcul vectoriel, l’autre sur les propriétés liées aux barycentres.

5) Première méthode

a) Sans justification, écrire les vecteurs MN, MP et MQJJJJG JJJG JJJJG

à l’aide des seuls vecteurs AB, AC et ADJJJG JJJG JJJG

et sous formes « réduites ».

MNJJJJG= ₈

.AB 3.AC

−3JJJG+ JJJG

MPJJJG= _{2 3 1}

.AB .AC .AD

3 2 2

− JJJG+ JJJG− JJJG

MQJJJJG= _{2 1}

.AB .AD

3 2

− JJJG+ JJJG b) Justifier

le résultat trouvé pour MPJJJG

.

Par exemple : MP MA AC CP= + + JJJG JJJJG JJJG JJJG

(th.1)

AM ².AB

=3 JJJJG JJJG

(1) CP ¹.CD

= −2 JJJG JJJG

(1) Substitutions et Th.1,3,4

( )

2 1

MP .AB AC . AD AC

3 2

= − + − −

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

Th.5,6,2,7 MP 2.AB 3.AC 1.AD

3 2 2

= − + −

JJJG JJJG JJJG JJJG

(1) données de l’énoncé Th.1 : relation de Chasles th.2 : associativité « mixte »

Th.3 : pour tous points A, B, ABJJJG= −BAJJJG th.4 : pour tous vecteurs u, vG G, u v u ( v)G G− = + −G G th.5 : distributivité de « . » sur « + » (des vecteurs)

th.6 : propriété de commutativité de « + » (des vec.)

th.7 : distributivité de « . » sur « + » (des nombres) c) Trouver deux nombres x et y tels que MN x.MP y. MQJJJJG= JJJG+ JJJJG

peut se faire par exemple par la résolution d’un système de trois équations à deux inconnues (x et y).

Ecrire ce système, sans justification.

8 2x 2y

3 3 3

3 3x 2

1 1

0 x y

2 2

− = − −



 =



 = − +



Ecrire la solution de ce système.

x = y = 2

d) Au dos de cette feuille, en déduire que les points M, N, P et Q sont coplanaires.

Les vecteurs MP et MQJJJG JJJJG

ne sont pas colinéaires (évident), (M, MP, MQ)

JJJG JJJJG

est donc un repère du plan (MPQ) ; or MN x.MP y. MQ= +

JJJJG JJJG JJJJG

donc (th.8) N appartient au plan (MPQ).

Th.8 : Soient trois points A, B et C non alignés. Un point P appartient au plan (ABC) si et seulement si

AP x.AB y. AC= + JJJG JJJG JJJG

(x et y étant des nombres).

D bar A B

3 -1

C bar A B

3 2 D bar A B C

1 2 9

Eléments pour un corrigé 6) Deuxième méthode

a) Ci-dessous se trouvent des morceaux d’un schéma de démonstration montrant que N est barycentre des M, P et Q avec des coefficients adéquats.

Compléter les parties du schéma repérées par des « … ».

Par exemple

Dessin BN 3.BCJJJG= JJJG

(donnée de l’énoncé) (technique) (calcul et déf. barycentre)

(1) CP ¹.CD

= −2 JJJG JJJG

(donnée de l’énoncé) (calcul, déf. barycentre et th. homogénéité)

Q milieu de [AD]

(2) (figure « clée »)

(3)

(4)

Ecrire ci-dessous les parties du schéma repérées par les numéros (1), (2), (3) et (4).

(1), (2) et (3)

Th. de la barycentration partielle.

(4) th. de « l’équilibre »

b) Au dos de cette feuille, en déduire que les points M, N, P et Q sont coplanaires.

Par exemple :

N étant barycentre de P, Q et M avec des coefficients adéquats (cf. question précédente) alors (th.) il est dans tout plan

contenant ces trois points. Th. : le barycentre de trois points est dans tout plan contenant ces trois points.

M bar A N C

1 -1 3

M bar A N P D

1 -1 2 1

M bar N P Q

-1 2 2

N bar P Q M

2 2 -3

M bar A B

1 2 B bar N C

-1 3

C bar P D

2 1

Q bar A D

1 1