Les vecteurs du plan
I- Les vecteurs
1) Définitions
Définition :
• Soient A et B deux points distincts du plan.
A tout point M du plan, on associe le point M′ tel que ABM′M soit un parallélogramme.
Ce point M′ est appelé image de M par
Tous les couples (M; M′) ainsi obtenus représentent le même vecteur du plan.
On noteu~=# »
AB =# » MM′=# »
PP′=....
• Si A et B sont confondus, le vecteur obtenu est levecteur nul.
On note~0 = # » AA =# »
BB =# » MM =....
b
A
b
B
b
M b
P
b
N
2) Caractérisation d’un vecteur Siu~ est un vecteur non nul du plan et # »
AB un représentant du vecteuru~, alorsu~est caractérisé par :
•
•
•
3) Vecteurs égaux
Propriété :
• Des vecteurs sontégauxsi et seulement si ils ont
• Deux vecteurs # » AB et # »
CD du plan sont égaux si et seulement si
4) Vecteurs opposés
Définition : Le vecteur # »
BA est levecteur opposédu vecteur # »
AB. On note# » BA =
Propriété :
Les vecteursu~et−u~ ont
II- Opérations sur les vecteurs
1) Addition vectorielle
Définition :
Soientu~ et ~v deux vecteurs. Soient A, B et C trois points du plan tels que
~ u=# »
AB et~v=# » BC.
On définit la somme deu~et de~vpar larelation de Chasles : u~
~v
Propriété :
Quels que soient les vecteursu,~ ~vetw~ du plan, on a :
• u~+~v=~v+u~(commutativité) ;
• (~u+~v) +w~ =u~+ (~v+w) (transitivité) ;~
• u~+~0 =u.~
2) Multiplication d’un vecteur par un nombre réel Définition :
Soitu~un vecteur etkun réel, on définit le vecteur~v=k~u par :
• Siu~= 0 ouk= 0 alorsk~u=~0.
• Sik >0,~vetu~ont même direction, même sens et la norme de~vvautkfois celle deu~ ;
• Sik <0,~vetu~ont même direction, sont de sens opposés et la norme de~vest égale à−kfois celle deu.~
Exemple 1 :
Construire les vecteurs :
• v~=2~u.
• w~ =−3u.~
• ~x=12u~.
• ~y=−43u.~
~ u
Propriété :
Quels que soient les vecteursu,~ ~vet les réelsketl, on a :
• k(~u+~v) = (distributivité par rapport aux vecteurs) ;
• (k+l)u~= (distributivité par rapport aux réels) ;
• k(l ~u) = (associativité)
III- Vecteurs et coordonnées
1) Coordonnées d’un vecteur Exemple 2 :
Lire les coordonnées des vecteurs : 1
2 3
−1
−2
1 2 3
−1
−2
−3
~ u
~v
~ w
Propriété :
Dans le repère (O,I,J), on considère les points A(xA;yA), et B(xB;yB) Alors les coordonnées de # »
AB sont
1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
−1 2) Propriétés
Propriété : Soientu~ x
y
! ,~v x′
y′
!
deux vecteurs et leurs coordonnées dans un repère etkun réel.
• Egalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont
~
u=~v⇐⇒
• Somme de deux vecteurs :
Le vecteurw~=u~+~va pour coordonnéesw~
• Produit d’un vecteur par un réel : Le vecteurw~=k~u a pour coordonnéesw~ Exemple 3 :
Soientu~ 1
−3
! ,~v 5
3
!
etw~ 5x x+y
! .
1) Déterminer les coordonnées de :
a. u~+~v b. −u~ c. 5~v d. −u~+ 5~v
2) Déterminerxetypour que~v=w.~ 3) Calcul de distance, de norme
Propriété :
Dans le repère orthonormé (O,I,J), on considère les points A(xA;yA), et B(xB;yB) et le vecteuru~ x
y
!
. Alors :
• La distance AB vaut AB =
• La norme deu~vautku~k=
1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
−1
Exemple 4 :
SoientM(2,1),N(5,2)etP(6,5).
Déterminer les coordonnées deRpour queMNPRsoit un parallélogramme.
Quelle est sa particularité ? 1
2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
IV- Colinéarité
−11) Définition et caractérisation Définition :
On dit que deux vecteursu~ et~vsontcolinéairessi
Exemple 5 :
Les vecteursu~et~vsont-ils colinéaires ?
~
u ~v u~
~
v u~ ~v
Propriété :
• Deux vecteurs sont dits colinéaires si et seulement si ils ont
• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
2) Applications géométriques Propriété :
• Les droites (AB) et(CD) sont parallèles si et seulement si
• Les points A, B et C sont alignés si et seulement si
3) Critère de colinéarité Propriété :
Soientu~ x y
!
et~v x′ y′
! .
~
uet~vsont colinéaires si et seulement si
Définition :
La quantitéxy′−yx′ est appellé ledéterminantdes vecteursu~et~v.
Exemple 6 :
1) Les vecteursu~ 6
−9
!
et~v −8 12
!
sont-ils colinéaires ?
2) Les vecteurs~a 2
−6
!
et~b −3 7
!
sont-ils colinéaires ?
Exemple 7 :
Dans un repère on considère les pointsA(4; 2),B
3;7 2
,C
1;5 2
etD
1;1 2
. 1) Démontrer que ABCD est un trapèze.
2) SoitE(6,y). Déterminerypour queA,DetEsoient alignés. 1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
−1
V- Vecteurs et droites
Il existe deux types d’équations de droitesy=mx+petx=k. Nous allons les regrouper en un seul groupe appelé équation cartésienne de droite.
1) Vecteur directeur d’une droite
Définition :
SoitD une droite, A et B deux points deD. On appelle vecteur directeur deD tout vecteur non nul #»u colinéaire à # »
AB.
Exemple 8 :
SoitA(−1; 3)etB(3;−3). Déterminer plusieurs vecteurs directeurs de(AB).
2) Equation cartésienne d’une droite a) Exemple
SoitD la droite passant par A(−1; 3) et dirigé par #»u 2 5
!
et M(x;y) un point du plan.
Déterminer une condition surxety pour que M appartienne àD. b) Théorème
Théorème :
• Toute droite du plan admet une équation de la formeax+by+c= 0 oùa,betcsont des nombres réels tels que (a;b),(0; 0)
Une telle équation est appeléeéquation cartésiennedeD Un point M(x;y) appartient àD si et seulement siax+by+c= 0.
• Soita,betcdes réels tels que (a;b),(0; 0).
L’ensemble des points M(x;y) vérifiantax+by+c= 0 est une droiteD de vecteur directeur #»u −b a
!
Démonstration Remarque :
Une droite admet une infinité d’équations cartésiennes qui sont toutes proportionnelles.
Exemple 9 :
1) Déterminer une équation cartésienne de(AB).
2) Les pointsC(−2; 6)etD(3;−1)appartiennent-ils à(AB)? 3) Déterminer l’abscisse du pointEde(AB)d’ordonnée 3.
Exemple 10 :
Représenter les droites suivantes :
1. D1: 3x−2y+ 6 = 0 2. D2: 2x+ 5y+ 4 = 0 3. D3: 2x−5 = 0 3) Parallèlisme et intersection
Exemple 11 :
SoientD1,D2etD3les droites d’équations cartésiennes : D1:−6x+ 4y−5 = 0,D2: 9x−6y+ 1 = 0etD3: 2x−3y+ 5 = 0.
1) Les droitesD1etD2sont-elles parallèles ?
Si non déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
2) Même question avecD1etD3.
4) Lien entre équation cartésienne et équation réduite Objectif : Passer d’une équation cartésienne à une équation réduite Exemple 12 :
1) SoitD1la droite d’équation réduitey= 32x−2.
Déterminer une équation cartésienne deD1et un de ses vecteurs directeurs.
2) SoitD2la droite d’équation cartésienne3x+ 5y−7 = 0. Déterminer l’équation réduite deD2et en déduire son coefficient directeur.
3) SoitD3la droite d’équation cartésienne3x+ 4 = 0.
Déterminer l’équation réduite deD3
VI- Décomposition d’un vecteur dans une base
1) Exemple
Exprimer les vecteurs #»s, #»t, w#»et#»z en fonction des vecteurs #»u et #»v.
~t
~s
~z
~ w
~v
~ u
2) Décomposition dans une base Définition :
On appelle base du plan tout couple de vecteurs (#»u ,#»v) non colinéaires.
Propriété :
Soit (#»u ,#»v) une base du plan.
Tout vecteurw#»peut se décomposer sous la formew#»=k#»u +m#»v oùketmsont deux réels.
Exemple 13 :
ABCDEF est un hexagone régulier.
O
A B
C
D
E F
1) Exprimer dans la base(# » OA,# »
OB): a) # »
AC. b) # »
DF. c) # »
CE.
2) Exprimer dans la base(# » CD,# »
CF):
a) EB.# » b) # »
EA. c) # »
CB.
3) Application à la résolution de problème Soit RSTU un parallèlogramme.
Soit E l’image de U par la translation de vecteur # »
TU et F le point tel que # » RF =13# »
RT.
1) Démontrer queEF =# » 43UT +# » 23UR# » 2) Exprimer # »
ES en fonction de # » UT et # »
UR.
Exercices : Les vecteurs
Exercice 1
Construire les points M,N,P,Q et R tels que : (On laissera apparaitre les traits de construction.)
−−−→GM =~v+w~+u~; −−−→
HN = 3
2u~; −→
IP =w~−u~ −−→
JQ = 2w~+3 4v~
~ u
~ v
b
G
~ w
b
H
b
I
b
J
Exercice 2
Dans un repère (O,I,J), soient A(2; 1), B(x; 4) et C(x+ 2; 3).
Pour quelle(s) valeur(s) dex, les points A, B et C sont-ils alignés ? Exercice 3
Soit ABC un triangle. Les points M et N sont définis par :
1) Faire une figure.
2) Donner les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère (A,B,C).
3) Démontrer que (MN) et (AC) sont parallèles.
Exercice 4
Soient ABC un triangle ; M et N les points tels que
# » AM =−1
2
# »
AC ; # »
CN = 3# » AB
1) Placer les points M et N.
2) a. Exprimer# »
MB en fonction de # » AB et # »
AC.
b. Exprimer# »
MN en fonction de # » AB et # »
AC.
3) Conclure sur l’alignement des points M, B et N.
Exercice 5
On considère les vecteurs suivants :
• u# »1= 2# » AB−3# »
AC +# » BC
• u# »2=# » CA +# »
BC + 3(# » AC−# »
AB)
• u# »3= 2# » CA−# »
BC + 3# » AC−# »
AB
1) Exprimer chacun des vecteurs en fonction de # » AB et# »
AC.
2) Exprimer chacun des vecteurs en fonction de # » BA et# »
BC.
3) Exprimer chacun des vecteurs en fonction de # » BC et # »
AC.
Exercice 6
Soit ABCD un parallélogramme.
1) Construire les points H, K et E tels que # » AH = 3
4
# » AB, # »
AK = −3 4
# » AD et BE =# » 1
8
# » BD
2) a. Exprimer# »
AC en fonction de # » AB et# »
AD.
b. Exprimer# »
KH en fonction de # » AB et # »
AD.
c. En déduire que (KH) et (AC) sont parallèles.
3) a. Exprimer# »
KE en fonction de # » AB et # »
AD.
Exercice 7
Dans cet exercice toutes les affirmations seront justifiées par un calcul sur les vecteurs ou sur les coordonnées.
Dans un repère orthonormé d’unité 1 cm, on considère les points A(-2 ;2), B(2 ; 1), C(3 ;-3) et D(-1 ; -2).
1) Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
2) Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Calculer les coordonnées de son centre G.
3) Calculer les longueurs AB et AD. Peut-on préciser la nature de ABCD
?
4) Placer le point K(−52; 3). Les points A, D et K sont-ils alignés ?
5) Déterminer l’ordonnéeydu point L(92,y) telle que (KL) soit parallèle à (AB).
Exercice 8
On considère les points A(2 ; 6), B (2 ;1) et C(6 ;3) dans un repère orthonor- mal d’unité graphique 1cm.
1) Faire un figure que l’on complétera au fur et à mesure.
2) Calculer les longueurs des cotés du triangle ABC. Que peut-on en conclure ?
3) a. Calculer les coordonnées du milieu I de [BC]. Que représente la droite (AI) pour le triangle ABC ?
b. Calculer les coordonnées du point G tel que# » AG =2
3 AI.# » Que représente le point G pour le triangle ABC ? 4) Calculer la mesure de l’angle IAB arrondie au degré près.
5) a. Calculer les coordonnées du milieu J de [AB].
b. SoitΩle point de coordonnéeΩ(134;72). Démontrer que A, I etΩ sont alignés.
Que représente le pointΩpour le triangle ABC ?
6) Soit D le point de coordonnées (6;−2). Démontrer que ABDC est un parallélogramme. Que peut-on dire de plus de ABDC ?
−−−→GM =~v+w~+u~; −−−→
HN = 3
2u~; −→
IP =w~−~u −−→
JQ = 2w~+3 4~v
~ u
~ v
b
G
~ w
b
H
b
I
b
J
Exercice 10
Dans un repère orthonormal (O,~i,~j) on considère les points A(2; 2), B(7 2;−1) et C(-1 ;-2).
1) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.
2) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallèlo- gramme. Placer D et tracer ABCD.
Est-ce un losange ?
3) Calculer les coordonnées du point I intersection des diagonales de ABCD.
4) Construire le point M du plan défini par −−−→
AM = −−→
CI +3−−→
AB .
