Vecteurs du plan
I ) Translation et vecteurs 1°) Définition
A et B sont deux points distincts du plan. Le vecteur AB a pour :
• DIRECTION, la direction de la droite ( AB)
• SENS, le sens de A vers B
• NORME, la longueur AB
Remarque : Si A et B sont confondus AB = AA = 0 , le vecteur NUL Le point A est l’origine du vecteur et le point B l’extrémité.
2°) Translation Définition
Soit A et B deux points du plan. Pour tout point C du plan, on construit l’unique point D tel que ABDC soit un parallélogramme (éventuellement aplati). On dit alors que le point D est l’image du point C par la translation qui transforme A en B. Cette translation est aussi appelée translation de vecteur 𝐴𝐵#####⃗.
Cas général : C n’appartient pas à (AB). Cas partiulier : C appartient à (AB)
Définition
𝐴𝐵#####⃗ = 𝐶𝐷#####⃗ signifie que la translation qui transforme A en B transforme C en D
Représentation d’un vecteur Si 𝐴𝐵#####⃗ = 𝐶𝐷#####⃗ = 𝐸𝐹#####⃗ = 𝐺𝐻######⃗ = 𝑢#⃗
On dit que les vecteurs 𝐴𝐵#####⃗, 𝐶𝐷 ######⃗ , 𝐸𝐹,######⃗ 𝐺𝐻######⃗ sont des représentants du vecteur 𝑢#⃗
𝑢#⃗
D C
A
B
F
E G
H
A
B
A
B
C
D
A
B C
D
3°) Propriété d’égalité
ABCD est un parallélogramme ssi 𝐴𝐵#####⃗ = 𝐷𝐶#####⃗ OU 𝐴𝐶#####⃗ = 𝐵𝐷######⃗
Cas général : C n’appartient pas à (AB). Cas partiulier : C appartient à (AB)
De plus
𝐴𝐵#####⃗ = 𝐶𝐷#####⃗ si et seulement si ces vecteurs ont même direction, même sens et même norme
Exercices d’application :
A
B
C
D A
B C
D
4°) Caractérisation du milieu
I est le milieu de [AB] ssi 𝐴𝐼####⃗ = 𝐼𝐵####⃗ ou 𝐼𝐴####⃗ + 𝐼𝐵####⃗ = 0#⃗
II ) Somme de vecteurs
B
• Addition : la relation de Chasles A C 𝐴𝑩######⃗ + 𝑩𝐶 #######⃗= 𝐴𝐶 ######⃗
• Règle du parallélogramme
A, B et C sont trois points. 𝑨𝐵#####⃗ + 𝑨𝐶#####⃗ = 𝑨𝐷######⃗ ssi ABDC est un parallélogramme.
B
D A
C
• 𝐵𝐴#####⃗ = - 𝐴𝐵#####⃗ les vecteurs 𝐴𝐵#####⃗ et 𝐵𝐴#####⃗ sont OPPOSES ( même direction, même norme, mais de sens contraire) A B
A B
I B A
Savoir construire des sommes de vecteurs
Construire les points R,T et P tels que 𝐴𝑅#####⃗ = 𝐴𝐵#####⃗ + 𝐶𝐷#####⃗ , 𝑁𝑇#####⃗ = 𝐹𝐸#####⃗ + 𝐴𝐵#####⃗ , 𝐶𝑃#####⃗ = 𝐶𝐷#####⃗ + 𝐵𝐴#####⃗ + 𝐸𝐹#####⃗
III) Produit d’un vecteur par un réel . Colinéarité de deux vecteurs.
1°) Exemples Ex 1
On a un vecteur 𝐴𝐵#####⃗ et on construit 𝐸𝑅#####⃗ = 𝐴𝐵#####⃗ + 𝐴𝐵#####⃗
On obtient en fait le vecteur 2𝐴𝐵#####⃗ : c’est le produit du vecteur 𝐴𝐵#####⃗ et du réel 2.
- Sa direction est celle de 𝐴𝐵#####⃗
- Sa longueur est 2AB - Son sens est celui de 𝐴𝐵#####⃗
Ex 2
On a un vecteur 𝐴𝐵#####⃗ et on construit 𝐿𝑇####⃗ = - 𝐴𝐵#####⃗ - 𝐴𝐵#####⃗ - 𝐴𝐵#####⃗
On obtient en fait le vecteur -3𝐴𝐵#####⃗ : c’est le produit du vecteur 𝐴𝐵#####⃗ et du réel -3.
- Sa direction est celle de 𝐴𝐵#####⃗
- Sa longueur est 3AB - Son sens est celui de 𝐵𝐴#####⃗
A
B C
D
N
E
F R
T P
A
B
A
B
E
R
L
T
2°) Définition
Le produit du vecteur 𝐴𝐵#####⃗ par le réel k est le vecteur k 𝐴𝐵#####⃗ défini ainsi : - Sa direction est celle de 𝐴𝐵#####⃗
- Sa longueur est |𝑘| AB
- Son sens est celui de 𝐴𝐵#####⃗ si k positif et Contraire à celui de 𝐴𝐵#####⃗ si k négatif
Remarque : 𝐴𝐵#####⃗ = 1𝐴𝐵#####⃗
Exemple
On a un vecteur 𝐴𝐵#####⃗ et on construit 𝐻𝐼####⃗ = !" 𝐴𝐵#####⃗
H
Le vecteur 𝐻𝐼####⃗ a pour longueur !" AB.
Construire le vecteur 𝐺𝐾#####⃗ = #$" 𝐴𝐵#####⃗
3°) Règles de calcul
Pour tous réels k, k’ et tous vecteurs 𝑢#⃗ et 𝑣⃗
REGLE 1 : k(𝑢#⃗ + 𝑣⃗ ) = k 𝑢#⃗ + k𝑣⃗
REGLE 2 : k( 𝑘′𝑢#⃗) = ( kk’) 𝑢#⃗
REGLE 3 : (k + k’)𝑢#⃗ = k 𝑢#⃗ + k’𝑢#⃗
REGLE 4 : k𝑢#⃗ = 0#⃗ équivaut à k = 0 ou 𝑢#⃗ = 0#⃗
Exemples :
corrigé
A B I
K G
Exercices d’application :
4°) Colinéarité de deux vecteurs et conséquences Définition
On dit que deux vecteurs non nuls 𝐴𝐵#####⃗ et 𝐶𝐷#####⃗ sont COLINEAIRES s’ils ont LA MEME DIRECTION C’est-à-dire si (AB) // (CD).
Ces deux vecteurs sont colinéaires
Théorème
Etant donnés deux vecteurs 𝑢#⃗ et 𝑣⃗ NON NULS .
𝑢#⃗ et 𝑣⃗ sont COLINEAIRES ssi il existe un réel k non nul tel que 𝒖##⃗ = k𝒗##⃗
CONSEQUENCES
1- Parallélisme Propriété
( AB )//( CD) SSI il existe un nombre k non nul tel que 𝐴𝐵#####⃗ = k 𝐶𝐷#####⃗ c’est-à-dire 𝐴𝐵#####⃗ et 𝐶𝐷#####⃗ colinéaires Exercice
On considère un triangle ABC.
I est le milieu du segment [AB] et J est le milieu du segment [AC]. Montrer que les vecteurs 𝐼𝐽###⃗ et 𝐵𝐶#####⃗ sont colinéaires.
2- Alignement Propriété
Les points A,B et C sont alignés SSI il existe un nombre k non nul tel que 𝐴𝐵#####⃗ = k 𝐴𝐶#####⃗ c’est-à-dire 𝑨𝑩######⃗ et 𝑨𝑪#####⃗ colinéaires Exercice : ABCD est un trapèze tel que 𝐷𝐵######⃗ = %! 𝐷𝐶#####⃗ + 𝐷𝐴 #######⃗ . On considère le point E tel que 𝐷𝐸#####⃗ = !& 𝐷𝐴#####⃗
1°) Construire une figure
2°) Montrer que les points C,B et E sont alignés.
A 𝐴𝐸#####⃗ = %" 𝐴𝐵#####⃗
E
B C 𝐴𝐸#####⃗ et 𝐴𝐵#####⃗ sont colinéaires B
A C D
A
B C
I J
Méthode 1 : I milieu de [AB] et J milieu de [AC] donc d’après l’un des théorèmes de la droite des milieux on a (IJ)//(BC). Les vecteurs 𝐼𝐽###⃗ et 𝐵𝐶#####⃗ sont donc colinéaires
Méthode 2 : 𝐼𝐽###⃗ = 𝐼𝐴####⃗ + 𝐴𝐽####⃗
𝐵𝐶#####⃗ = 𝐵𝐴#####⃗ + 𝐴𝐶#####⃗ = 2 𝐼𝐴####⃗ + 2 𝐴𝐽####⃗ = 2 (𝐼𝐴####⃗ + 𝐴𝐽####⃗) = 2 𝐼𝐽###⃗
𝐵𝐶#####⃗ = 2 𝐼𝐽###⃗ donc les vecteurs 𝐼𝐽###⃗ et 𝐵𝐶#####⃗ sont donc colinéaires.
A B
On va démontrer par exemple que les vecteurs 𝐶𝐵#####⃗ et 𝐶𝐸#####⃗ sont colinéaires :
𝐶𝐵#####⃗ =𝐶𝐷#####⃗ + 𝐷𝐵 #######⃗ = 𝐶𝐷#####⃗ + %! 𝐷𝐶#####⃗ + 𝐷𝐴 #######⃗= #&! 𝐷𝐶#####⃗ +𝐷𝐴 #######⃗ =&! (-𝐷𝐶#####⃗ + !& 𝐷𝐴#####⃗) E
Vecteurs dans un repère 1°) Coordonnées d’un vecteur
Remarque : On notera désormais le repère ( O ; 𝚤⃗ , 𝚥⃗) au lieu de ( O ; I , J ) Définition
Dans le repère ( O ; 𝚤⃗ , 𝚥⃗)
Soit 𝑢 ###⃗ un vecteur et M le point de coordonnées ( x ; y ) qui est l’unique point du plan tel que 𝑂𝑀######⃗ = 𝑢#⃗
On dit alors que le vecteur 𝑢#⃗ a pour coordonnées ( x ; y ) et on note 𝑢#⃗ 0!"1 ou 𝑢#⃗ (x ; y ) . Exemple :
Propriété
Soit 𝑢"⃗ (x ; y ) et 𝑣⃗ (x’; y’ ). 𝑢"⃗ = 𝑣⃗ équivaut à & 𝒙 = 𝒙′
𝒚 = 𝒚′
Deux vecteurs sont égaux ssi leurs coordonnées sont égales.
Voir exercices P 304
2°) Coordonnées du vecteur 𝒖##⃗ + 𝒗##⃗ ; de k 𝒖##⃗ où k est un réel quelconque Si 𝑢#⃗ ( x ; y ) et 𝑣⃗ ( x’ ; y’ ) alors 𝒖##⃗ + 𝒗##⃗ ( x + x’ ; y + y’ ) k 𝒖##⃗ ( kx ; ky )
Exemple :𝑢#⃗ ( -3; 2 ) et 𝑣⃗ ( 4 ; -5 ) donc 𝑢#⃗ + 𝑣⃗ ( -3 + 4 ; 2 – 5 ) soit 𝑢#⃗ + 𝑣⃗ ( 1 ;-3 ) 2𝑢#⃗ (2 x-3; 2x2) d’où 2𝑢#⃗ (-6; 4 ). 𝐴𝐵#####⃗= 𝑢#⃗ ; 𝐶𝐷#####⃗= 𝑣⃗ ; 𝑢#⃗ + 𝑣⃗ = 𝐸𝐺#####⃗ ; 𝐼𝐾####⃗= 2𝑢#⃗
𝑢#⃗
𝑣⃗
M
Dans le repère ci- contre M ( 3 ; 1 ) et N( -2 ; -4) 𝑂𝑀######⃗ = 𝑢#⃗ donc 𝑢#⃗ ( 3 ; 1 ) ou 𝑢#⃗ 6#$7 𝑂𝑁######⃗ = 𝑣⃗ donc 𝑣⃗ ( -2 ; -4 ) ou 𝑣⃗ 6%&%'7
N
𝚤⃗
𝚥⃗
O
3°) Coordonnées du vecteur 𝑨𝑩######⃗
Propriété
Dans un repère si A( xA ; yA ) et B( xB ; yB ) sont deux points alors on a AB#####⃗ (xB - xA ; yB – yA ) .
Exercice
Dans un repère on donne les points A( 1 ; 3) , B( 2 ; 0 ) et C( -1 ; -2) . 1°) Déterminer les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵#####⃗
2°) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
4°) Colinéarité dans un repère
Théorème
𝒖##⃗ ( x ; y ) et 𝒗##⃗ ( x’ ; y’ ) sont COLINEAIRES équivaut à det ( 𝒖##⃗; 𝒗##⃗ ) =
xy’- yx’ = 0
x x'
y y'
det ( 𝒖##⃗; 𝒗##⃗ ) est le déterminant des vecteurs 𝒖##⃗ 𝒆𝒕 𝒗##⃗ .
Exemples :Les vecteurs 𝑢#⃗ ( 2 ;-5 ) et 𝑣⃗ (-8 ; 20) sont colinéaires car 2x20 - (-8 ) x ( -5 ) = 40-40 = 0 Les vecteurs 𝑢#⃗ ( -3 ;4 ) et 𝑣⃗ (5 ; 2) ne sont pas colinéaires car -3 x 2 - 4 x 5 = -26 Exercice
Dans un repère on donne les points A( 2 ; 1) , B( 3 ; -1 ) C( -2 ; -2) D( -4 ;2 ).
1°) Déterminer les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵#####⃗ et du vecteur 𝐶𝐷#####⃗
2°) Montrer que ( AB) // ( CD ) . 𝐴𝐵#####⃗ <')!# '"
!# )"= soit 𝐴𝐵#####⃗>#%# %! # &? c’est-à-dire 𝐴𝐵#####⃗>#&%? On a aussi 𝐶𝐷#####⃗ <')## '$
## )$= soit 𝐶𝐷#####⃗>#"*&
&*&? c’est-à-dire 𝐶𝐷#####⃗>#&"?
det ( 𝐴𝐵#####⃗; 𝐶𝐷#####⃗ ) = 1x 4 – (-2)(-2) = 4-4 = 0 donc 𝐴𝐵#####⃗ 𝑒𝑡 𝐶𝐷#####⃗ sont colinéaires.
On en déduit que (AB) //(CD) .
4°) Vecteur directeur d’une droite. Equation cartésiene Propriété et définition
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
Soit a, b , et c , 3 réels tels que ( a ; b)≠ ( 0 ; 0 ) . L’ensemble d des points de coordonnées ( x ; y ) vérifiant :
ax + by +c =0 est une droite dont un vecteur directeur est 𝒖##⃗ 4!𝒃𝒂5 . Il s’agit de l’équation cartésienne de la droite d.
AB#####⃗ (xB - xA ; yB – yA ) donc AB#####⃗ (2 - 1; 0 – 3) Soit encore AB#####⃗ (1; –3).
On pose D (xD ; yD) or ABCD est un parallélogramme ssi AB#####⃗ = DC#####⃗ c’est-à-dire
xC – xD = 1 soit -1 - xD = 1 on trouve D( -2 ; 1 ) yC – yD = -3 -2 – yD = -3
A
𝚤⃗ B
𝚥⃗
O C D
Remarque : Si y = mx + p est l’équation réduite d’une droite d alors 𝒖##⃗ 4𝒎𝟏5 est un vecteur directeur de d.
Exemples :
1° ) Soit la droite d d’équation réduite y = 2x + 3 . Déterminer une équation cartésienne et un vecteur directeur de d.
Corrigé : -2x + y – 3 = 0 u#⃗ 4!&!'5 .
2° ) Soit la droite d passant par le point A( 1 ; 4 ) et dont un vecteur directeur est u#⃗ 4'(5 . Déterminer une équation cartésienne et un vecteur directeur de d.
Corrigé : 3x - 2 y + c = 0 soit c = 5 d’où 3x - 2 y + 5 = 0 3°) Soit d : 4x + 2y - 5 = 0. Déterminer l’équation réduite de d.
Corrigé : y = - 2 x + )'
Remarque : une droite n’a qu’une équation réduite mais une infinité d’équations cartésiennes
