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: correction du contrôle sur les vecteurs (1 heure)

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

2

nde

: correction du contrôle sur les vecteurs (1 heure)

I (2 points)

On considère ABC le triangle représenté ci- dessous.

1. D est l’image de B par la translation de vecteur

−→AC. (voir figure ci-dessous)

2. E est l’image de A par la translation de vecteur

−→BC. (voir figure ci-dessous)

1 2 3 4 5 6

1

2

−3

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

×

A

×

B

×

C

O

×

D

×

E

II (3 points)

Sur la figure ci-dessous, on a représenté un tri- angle ABC.

• M est défini par−−→AM=−→AB+−→BC=−→AC par la relation de Chasles, donc M=C.

• N est défini par : −−→AN = −→AB +−→AC. [AN] est donc la diagonale du parallélogramme construit sur les deux côtés consécutifs [AB] et [AC].

• P est défini par :−→AP=−→AB+C B−→.

Soit P le point tel que−→B P =C B−→(donc P est le symé- trique de C par rapport à B).

Alors :−→

AB+−→

C B=−→

AB+−→

B P=−→

AP(d’après la relation de Chasles).

• Q est défini par :−−→

AQ=−→

AB+−−→

C A.

−−→AQ =−→AB+−−→C A=−−→AQ =−−→C A+−→AB =C B−→ (d’après la relation de Chasles).

On doit avoir−−→AQ=C B−→

1 2 3

1

−2

3

4

5

1 2 3 4

−1 O

bA

bB

bC=M

×

N

×

P

×

Q

III (3 points)

Dans un repère (O ; I ; J), on considère les points A(-2 ; 3), B(5 ; 7) et C(7 ; 8).

On a : −→AB µ7

4

¶ et−→AC

µ9 5

¶ . 7×5−4×9=35−36= −16=0.

D’après la condition de colinéarité, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les trois points A, B et C ne sontpas alignés.

IV (3 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(4 ; 1) et B

µ

−3 2; 6

¶ . 1. • −−→

O A µ4

1

donc O A = p

42+12 = p 17 : O A=p

17

OB−−→

−3 62

doncOB= s

µ

—3 2

2

+62

= r9

4+36= r153

4 : OB= p153

4

• −→AB

−3 2−4 6−1

 donc −→AB

−11 52

 donc AB = Page 1/2

(2)

s µ

−11 2

2

+52 =

r121

4 +25 =

r221

4 :

AB= r221

4 2. On aAB2=221

4 . O A2+OB2=17+153

4 =68+153 4 =221

4 . On en déduit que AB2=O A2+OB2.

D’après la réciproque du théorème de Pytha- gore, le triangle OAB estrectangleen O.

V (3 points)

ABC est un triangle quelconque . 1. D est tel que−−→

B D=−→

AC, puis J est tel que A soit le milieu de [BJ]. (voir figure)

2. (a) Par construction,−−→B D=−→ACdonc ABDC est un parallélogramme.

On en déduit−−→

DC =−→

AB. Par construction,−→B A=−→

A J.

On en déduit −−→

DC =−→

A J .

(b) Puisque−−→DC =−→A J, DCJA est unparallélo- gramme.

bA

bB

bC

bD

b

J

VI (3 points)

1. [AC] et [B D] sont les diagonales du quadrila- tère ABCD. Comme ce sont deux diamètres du

cercle, ils se coupent en leur milieu, donc ABCD est un parallélogramme.

De plus, ces deux segments ont la même lon- gueur, donc ABCD est un rectangle.

2. Alors, comme ABCD est un parallélogramme,

−−→AD+−→ABest le vecteur représentant la diagonale du parallélogramme ABCD, donc−→AC.

1 2 3 4

1

2

1 2 3 4

1

2

bO

bA

bB

bC

bD

VII (3 points)

SoitABC un triangle etM le point tel que

−−→B M=1 3

−→BC.

1. −→AC−−→AB=−→AC+−→B A= −→AC d’après la relation de Chasles.

2. −−→

AM=−→

AB+−−→

B M=−→

AB+1 3

−→BC =−→

AB+1 3

³−→

AC−−→

AB´

= −→AB + 1 3

−→BC − 1 3

−→AB = µ

1−1 3

¶−→AB + 1 3

−→BC =

2 3

−→AB+1 3

−→AC

3. SoitNle point tel que−−→

AN=2−→

AB+−→

AC.

On a −−→AM = 2 3

−→AB+ 1 3

−→AC = 1 3׳

2−→AB+−→AC´

= 1

3

−−→AN .

On en déduit que les vecteurs−−→AM et−−→AN sont colinéaires; les points A, M et N sont doncali- gnés.

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