I (4 points)
2
ndeContrôle sur les vecteurs (1 heure)
I (4 points)
On considère les points A, B et C représentés ci-dessous.
×
A
×
B×
C×
D×
E-1 0 1 2 3 4 5 6
1. Pour construire D tel que−→
AD=−→
AB+−→
AC, on place D tel que−→
AC=−→
BD.
2. De même, pour construire E, on place E tel que−→
AE=−→
BC.
3. Par construction, les quadrilatères ABDC et BAEC sont des parallélogrammes et les vecteurs définis aux question 1. et 2. sont des diagonales de ces parallélogrammes.
4. Puisque ABDC est un parallélogramme,−→AB=−→CD ; de même, BAEC est un parallélogramme, donc−→AB=−→EC.
On en déduit que−→
EC=−−→C D, donc C est le milieu de [ED].
II (3 points)
Dans un repère (O ; I ; J), on considère les points A(1 ; 3), B(5 ; -1) et C(2 ; 5).
ABCD est un parallélogramme si, et seulement si,−→
AB=
−→DC.
On notexDetyDles coordonnées de D.
−→AB µ4
−4
¶
;−→
DC µ2−xD
5−yD
¶ .
Les deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs co- ordonnées sont égales.
On en déduit
½ 2−xD=4
5−yD= −4 d’oùxD= −2 et yD=9 donc D(−2 ; 9).
III (3 points) Soient les vecteurs→−u
µp 3+1
1
¶ et−→v
µ 2 p3−1
¶ . On applique la condition de colinéaires :
³p
3+1´ ³p 3−1´
−1×2=p
32−12−2=3−1−2=0 donc les deux vecteurs sontcolinéaires.
IV (3 points)
Dans un repère (O ; I ; J), on considère les points M(2 ; 3),N(5 ; 7) etP(−7 ;−9).
−−→MN µ3
4
¶ et−−→
MP µ−9
−12
¶ .
On applique la condition de colinéaires :
3×(−12)−4×(−9)= −36+36=0 : les vecteurs−−→
MN et−−→
MP sont colinéaires, donc les points M, N et P sontalignés.
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V (4 points)
V (4 points)
Dans la figure ci-dessous, ABCD, ABDE et ACDF sont des parallélogrammes.
bA
bB
b C
bD
bE
bF
b H
1. • ACDF est un parallélogramme, donc −→
AF=−→
CD .
• ABCD est un parallélogramme donc −→
CD=−→
BA.
• ABDE est un parallélogramme donc −→
BA=−→
DE. On en déduit−→
AF=−→
CD=−→
BA=−→
DE donc −→
AF=−→
DE. 2. On en déduit que le quadrilatère AFED est unparal-
lélogramme.
3. On construit le point H tel que CAEH soit un parallé- logramme.
4. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Comme −→CD= −→DE, D est le milieu de la diagonale [CE], donc D est lemilieu de l’autre diagonale [AH].
VI (6 points)
Dans un repère (O;I; J), on considère les points A(2 ; - 2), B(12 ; -3) et C(8 ; 6). (voir figure ci-dessous)
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−1
−2
−3
×
×
A
×
C
bM
B
bD
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
1. xM = xA+xC
2 = 2+8
2 = 5 et yM = yA+Y−C
2 =
−2+6
2 =2 donc M(5 ; 2)
2. D est le symétrique de B par rapport à M. (voir figure) 3. −→
AB µ10
−1
¶ . Soit D¡
xD; yD¢
; M est le milieu de [BD].
On en déduitxM =xB+xD
2 doncxB+xD=2xM d’où xD=2xM−xB=2×5−12=10−12= −2.
De même : yD =2M−yB =2×2−(−3)=7. On en déduit D(−2 ; 7).
Alors−→
DC
µ8−(−2)=10 6−7= −1
¶
donc −→
DC µ10
−1
¶
Les deux vecteurs−→
AB et−→
DC sont égaux puisqu’ils ont les mêmes coordonnées. On en déduit que ABCD est unparallélogramme.
4. (a) A(2 ; -2), B(12 ; -3) et M(5 ; 2).
−−→AM µ3
4
¶
doncAM=p
32+42=p 25= 5
−−→M B µ7
−5
¶
doncM B=p
(7)2+(−5)2= p 74.
−→AB µ10
−1
¶
doncAB=p
101+(−1)2= p 101. AB26=B M2+AM2.
(b) La plus grande longueur est AB : AB2 = 101 ;M B2+AM2=74+25=99. Le triangle AMB n’est doncpas rectangleen M, d’après le théo- rème de Pythagore.
5. Le parallélogramme ABCD a des diagonales non per- pendiculaires ; ce n’est donc pas un losange, c’est un parallélogramme quelconque.
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