(1)V Douine – 1SPEMATHS – Travail à distance 21 - CORRECTION Page 1 Dans un parallélogramme On considère un parallélogramme de dimensions L et l

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Dans un parallélogramme

On considère un parallélogramme de dimensions L et l. On note D et d les dimensions des deux diagonales. On étudie les quantités :

2 2 2

1 2

L  l d

  ,

2 2 2

2 2

D L l

  et

2 2

3 4

D d

  .

Démontrer, en faisant intervenir les quantité p et q proposées ci-dessus que       _{1 2 3} .

 

 

 

2 2 2 2 2

2 2 2

1

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

L p q L p q

L l d

L p q L p pL q pL

pL

    

    

     

  

 ^{2 2 2}  ^{2 2}

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

L p q L p q

D L l

L p pL q L p q pL

pL

    

    

     

  

    

 

2 2 2 2

2 2

3

2 2 2 2 2 2

4 4

2 2 4

4 4

L p q L p q

D d

L p pL q L p pL q pL

pL

    

   

      

  

Donc       _{1 2 3} car  (voir travail à distance n°20) correspond à la quantité p L .

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Dans la configuration proposée ci-dessus, ABDC est un parallélogramme. On note ABu et AC v. La somme des vecteurs uv donne le vecteur AD. La différence des vecteurs uv donne le vecteur CB. On peut donc réécrire la relation précédente de la façon suivante :

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

u  v  u v uv  u  v uv  u v

    .