OLIVIER CASTÉRA
Résumé. Deux espaces dont les métriques ont mêmes coefficients en un point sont dits tangents en ce point. Deux espaces dont les métriques ont mêmes coefficients en un point et mêmes dérivées de ces coefficients sont dits osculateurs en ce point. Cette notion ne s’applique pas aux espaces euclidiens (dont la droite et le plan sont des exemples). Ils peuvent être tangents mais ne peuvent pas être osculateurs.
Table des matières
1 En deux dimensions 1
1.1 Droite tangente 1
1.2 Cercles tangents 2
1.3 Cercle osculateur 4
2 En trois dimensions 5
2.1 Plan tangent 5
2.2 Sphères tangentes 7
2.3 Sphère osculatrice 8
1 En deux dimensions
1.1 Droite tangente
Exemple 1.1. Soit ( o, x, y ) un repère cartésien de l’espace euclidien de dimension deux (le plan euclidien). Le carré de l’élément de longueur s’écrit ds
2= dx
2+ dy
2. On considère la parabole d’équation y = x
2. En différentiant :
dy = 2xdx Si l’élément de longueur appartient à la parabole :
ds
2= dx
2+ dy
2= dx
2+ 4 x
2dx
2= 4x
2+ 1 dx
2Le tenseur métrique de la parabole n’a qu’un élément :
g
xx= 4x
2+ 1
On note que c’est également le tenseur métrique de la parabole d’équation y = − x
2. On considère la droite d’équation y = ax + b (espace euclidien de dimension un). En différentiant :
dy = adx
Date: 5 décembre 2020.
Si l’élément de longueur appartient à la droite : ds
2= dx
2+ dy
2= dx
2+ a
2dx
2= a
2+ 1 dx
2Le tenseur métrique de la droite n’a qu’un élément :
g
xx= a
2+ 1
Si en un point M (x
0, y
0) appartenant à deux courbes les métriques sont égales alors les courbes sont tangentes en ce point. Les droites tangentes en M (x
0, y
0) à la parabole sont telles que les métriques sont égales en ce point :
a
2+ 1 = 4x
20+ 1 a = ± 2x
0On conserve le signe positif car le signe négatif correspond aux droites tangentes à la parabole d’équation y = − x
2:
a = 2x
0Le point M ( x
0, y
0) appartient à la parabole, y
0= x
20, et à la droite y
0= ax
0+ b : b = y
0− ax
0= x
20− 2 x
20= − x
20L’équation de la tangente en M ( x
0, y
0) à la parabole s’écrit : y = 2 x
0x − x
20Par exemple au point (1 , 1) de la parabole :
y = 2 x − 1
Si l’on tente de chercher la droite osculatrice à la parabole on obtient,
∂
∂x
a
2+ 1
x0
= ∂
∂x
4x
2+ 1
x0
0 = 8 x
0x
0= 0 ce qui n’a pas de sens.
1.2 Cercles tangents
Exemple 1.2. On considère le cercle de centre (x
c, y
c) et de rayon r, d’équation : ( x − x
c)
2+ ( y − y
c)
2= r
2En différentiant :
2 ( x − x
c) dx + 2 ( y − y
c) dy = 0
dy = − ( x − x
c) y − y
cdx dy
2= ( x − x
c)
2(y − y
c)
2dx
2Si l’élément de longueur appartient au cercle :
ds
2= dx
2+ dy
2= dx
2+ (x − x
c)
2(y − y
c)
2dx
2=
"
( x − x
c)
2(y − y
c)
2+ 1
#
dx
2Le tenseur métrique du cercle n’a qu’un élément :
g
xx= (x − x
c)
2(y − y
c)
2+ 1
= (x − x
c)
2+ (y − y
c)
2(y − y
c)
2= r
2r
2− ( x − x
c)
2Au point de tangence M(x
0, y
0) les métriques sont égales :
4x
20+ 1 = (x
0− x
c)
2(y
0− y
c)
2+ 1 4x
20(y
0− y
c)
2= (x
0− x
c)
2(y
0− y
c)
2=
x
0− x
c2x
0 2y
0− y
c= ± x
0− x
c2 x
0y
c= y
0∓ x
0− x
c2x
0On conserve le signe positif car le signe négatif correspond aux cercles tangents à la parabole d’équation y = − x
2:
y
c= y
0+ x
0− x
c2x
0(1)
Cherchons si le fait que le point M appartienne aux deux courbes apporte une nouvelle équation.
Reprenons le calcul en utilisant le rayon :
4x
20+ 1 = r
2r
2− (x
0− x
c)
24 x
20r
2− 4 x
20+ 1 ( x
0− x
c)
2= 0
r
2= 4x
20+ 1 4 x
20(x
0− x
c)
2r = ±
q 4x
20+ 1 2 x
0( x
0− x
c)
Le point M ( x
0, y
0) appartient à la parabole et au cercle : (x
0− x
c)
2+ (y
0− y
c)
2= r
2x
20− y
c= ±
q
r
2− ( x
0− x
c)
2y
c= x
20∓
q
r
2− (x
0− x
c)
2= x
20∓
v u u
t 4 x
20+ 1 4x
20( x
0− x
c)
2− ( x
0− x
c)
2= x
20∓
s 1 4x
20(x
0− x
c)
2= x
20∓ x
0− x
c2x
0Nous retrouvons l’équation (1). Nous n’avons donc qu’une seule équation pour les deux incon- nues x
c, y
c. Alors qu’il n’existe qu’une droite tangente en un point quelconque de la parabole, il existe une infinité de cercles tangents en chaque point M (x
0, y
0) de la parabole. Les centres de ces cercles constituent la droite perpendiculaire à la parabole au point considéré. Par exemple au point (1 , 1) de la parabole,
r = ±
√ 5
2 (1 − x
c) et y
c= 1 + 1 − x
c2 Si l’on prend x
c= − 1,
r = √
5 et y
c= 2 1.3 Cercle osculateur
La tangente enM
M
y
x y = x
2Le cercle osculateur
enM Un cercle
tangent enM
Exemple 1.3. On considère le cercle de centre ( x
c, y
c) et de rayon r , d’équation :
(x − x
c)
2+ (y − y
c)
2= r
2osculateur à la parabole d’équation y = x
2. Nous avons alors toujours l’égalité des métriques au point M ( x
0, y
0) qui donne,
( y
0− y
c)
2=
x
0− x
c2 x
0 2Le cercle étant osculateur à la parabole, nous avons aussi l’égalité des dérivées des métriques au point M ( x
0, y
0) :
∂
∂x
4x
2+ 1
x
0
= ∂
∂x
"
(x − x
c)
2(y − y
c)
2+ 1
#
x0
8 x
0= 2 (x
0− x
c) ( y
0− y
c)
2(y
0− y
c)
2= x
0− x
c4 x
0Si bien que,
x
0− x
c2x
0 2= x
0− x
c4x
0x
0− x
c= x
0x
c= 0
Le centre du cercle osculateur à la parabole est sur l’axe des ordonnées, et son ordonnée vaut : y
c= y
0+ x
0− x
c2x
0= y
0+
12Par exemple au point (1 , 1) le centre du cercle osculateur a pour coordonnées (0; 1 , 5) et pour rayon :
r
2= (x
0− x
c)
2+ (y
0− y
c)
2= 1
2+ (1 − 1 , 5)
2= 5 4 r =
√ 5
2 ≈ 1 , 118
2 En trois dimensions
2.1 Plan tangent
Exemple 2.1. Soit (o, x, y, z) un repère cartésien de l’espace euclidien de dimension trois. Le carré de l’élément de longueur s’écrit ds
2= dx
2+ dy
2+ dz
2. On considère le paraboloïde de révolution d’équation z = x
2+ y
2. En différentiant :
dz = 2 xdx + 2 ydy
Si l’élément de longueur appartient au paraboloïde de révolution : ds
2= dx
2+ dy
2+ dz
2= dx
2+ dy
2+ 4 x
2dx
2+ 4 y
2dy
2+ 8 xydxdy
= 4x
2+ 1 dx
2+ 4y
2+ 1 dy
2+ 8xydxdy
Le tenseur métrique du paraboloïde de révolution a pour éléments :
g
xx= 4 x
2+ 1 g
yy= 4y
2+ 1 g
xy= g
yx= 4 xy
On note que c’est également le tenseur métrique du paraboloïde de révolution d’équation z =
− x
2− y
2. On considère le plan euclidien d’équation ax + by + cz + d = 0 (espace euclidien de dimension deux). En différentiant :
adx + bdy + cdz = 0 Si l’élément de longueur appartient au plan :
ds
2= dx
2+ dy
2+ dz
2= dx
2+ dy
2+ 1
c
2( − adx − bdy)
2= a
2c
2+ 1
!
dx
2+ b
2c
2+ 1
!
dy
2+ 2ab c
2dxdy Le tenseur métrique du plan a pour éléments :
g
xx= a
2c
2+ 1 g
yy= b
2c
2+ 1 g
xy= g
yx= ab
c
2Les plans tangents en M (x
0, y
0, z
0) au paraboloïde de révolution sont tels que les métriques sont égales en ce point :
a
2c
2+ 1 = 4 x
20+ 1 b
2c
2+ 1 = 4y
02+ 1 ab
c
2= 4 x
0y
0⇒
a = ± 2 cx
0b = ± 2 cy
0ab = 4c
2x
0y
0Les deux premières égalités donnent ab = ± 4c
2x
0y
0. Pour être conforme à la troisième égalité on doit avoir la condition suivante : Si a = 2cx
0alors b = 2cy
0, et si a = − 2cx
0alors b = − 2cy
0. On conserve le signe négatif car le signe positif correspond aux plans tangents au paraboloïde de révolution d’équation z = − x
2− y
2:
( a = − 2 cx
0b = − 2cy
0Le point M (x
0, y
0, z
0) appartient au paraboloïde de révolution, z
0= x
20+ y
02et au plan :
ax
0+ by
0+ cz
0+ d = 0
− 2cx
20− 2cy
02+ cz
0+ d = 0
− 2cz
0+ cz
0+ d = 0
d = cz
0Nous avons alors :
a = − 2cx
0b = − 2cy
0d = cz
0L’équation du plan tangent en M (x
0, y
0, z
0) a pour équation :
− 2cx
0x − 2cy
0y + cz + cz
0= 0
− 2x
0x − 2y
0y + z + z
0= 0
Par exemple le plan tangent au paraboloïde de révolution au point (1, 1, 2) a pour équation :
− 2x − 2y + z + 2 = 0. En chaque point du paraboloïde de révolution il n’existe qu’un seul plan tangent.
2.2 Sphères tangentes
Exemple 2.2. On considère la sphère de centre ( x
c, y
c, z
c) et de rayon r , d’équation : (x − x
c)
2+ (y − y
c)
2+ (z − z
c)
2= r
2En différentiant :
2 (x − x
c) dx + 2 (y − y
c) dy + 2 (z − z
c) dz = 0 dz = − (x − x
c)
z − z
cdx − (y − y
c) z − z
cdy dz
2= ( x − x
c)
2( z − z
c)
2dx
2+ ( y − y
c)
2( z − z
c)
2dy
2+ 2 ( x − x
c) ( y − y
c) ( z − z
c)
2dxdy Si l’élément de longueur appartient à la sphère :
ds
2= dx
2+ dy
2+ dz
2= dx
2+ dy
2+ (x − x
c)
2(z − z
c)
2dx
2+ (y − y
c)
2(z − z
c)
2dy
2+ 2 (x − x
c) (y − y
c) (z − z
c)
2dxdy
=
"
(x − x
c)
2(z − z
c)
2+ 1
#
dx
2+
"
(y − y
c)
2(z − z
c)
2+ 1
#
dy
2+ 2 (x − x
c) (y − y
c) (z − z
c)
2dxdy Le tenseur métrique de la sphère a pour éléments :
g
xx= ( x − x
c)
2( z − z
c)
2+ 1 g
yy= (y − y
c)
2(z − z
c)
2+ 1
g
xy= g
yx= (x − x
c) (y − y
c) (z − z
c)
2Les sphères tangentes en M (x
0, y
0, z
0) au paraboloïde de révolution sont telles que les métriques sont égales en ce point :
( x
0− x
c)
2(z
0− z
c)
2+ 1 = 4x
20+ 1 ( y
0− y
c)
2( z
0− z
c)
2+ 1 = 4 y
02+ 1 (x
0− x
c) (y
0− y
c)
( z
0− z
c)
2= 4 x
0y
0⇒
( x
0− x
c)
2= 4 x
20( z
0− z
c)
2(y
0− y
c)
2= 4y
02(z
0− z
c)
2(x
0− x
c) (y
0− y
c) = 4x
0y
0(z
0− z
c)
2
x
0− x
c= ± 2x
0(z
0− z
c) y
0− y
c= ± 2y
0(z
0− z
c)
( x
0− x
c) ( y
0− y
c) = 4 x
0y
0( z
0− z
c)
2Donc x
0− x
cet y
0− y
csont du même signe. On conserve le signe négatif :
( x
c= x
0+ 2x
0(z
0− z
c)
y
c= y
0+ 2y
0(z
0− z
c) ⇒
( x
c= x
0[1 + 2(z
0− z
c)]
y
c= y
0[1 + 2(z
0− z
c)]
Nous n’avons que deux équations pour trois inconnues x
c, y
c, z
c. Il existe donc une infinité de sphères tangentes en chaque point du paraboloïde de révolution. Les centres de ces sphères constituent la droite perpendiculaire au paraboloïde au point concerné. Par exemple au point M (1, 0, 1) nous avons :
( x
c= 3 − 2 z
cy
c= 0
Si l’on prend x
c= − 1 le centre de la sphère tangente a pour coordonnées ( − 1 , 2 , 0). Nous retrouvons ce que nous avions trouvé en 2D avec la parabole et le cercle.
2.3 Sphère osculatrice
Exemple 2.3. On considère la sphère de centre (x
c, y
c, z
c) et de rayon r, d’équation : (x − x
c)
2+ (y − y
c)
2+ (z − z
c)
2= r
2osculatrice au paraboloïde de révolution d’équation z = x
2+ y
2. Nous avons toujours l’égalité des métriques au point M(x
0, y
0, z
0) qui donne,
( x
c= x
0[1 + 2(z
0− z
c)]
y
c= y
0[1 + 2(z
0− z
c)]
et l’égalité des dérivées des métriques au point M ( x
0, y
0) :
∂
∂x
4 x
2+ 1
M
= ∂
∂x
"
(x − x
c)
2( z − z
c)
2+ 1
#
M
∂
∂y
4y
2+ 1
M
= ∂
∂y
"
(y − y
c)
2(z − z
c)
2+ 1
#
M
