Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences Exactes Examen de Topologie
Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes
11/03/2020
Questions de cours (6 points):
1. (a) Rappeler la définition d’un point d’accumulation d’une partie d’un espace topologique.
(b) Soit A :“s0,1s Y t2u ĂR, où R est muni de sa topologie usuelle.
— Donner (sans preuve) : A,˝ A etA1.
2. Montrer qu’une application lipschitzienne entre deux espaces métriques est continue.
3. (a) Rappeler la définition d’une isométrie entre deux espaces métriques.
(b) Montrer qu’une isométrie entre deux espaces métriques est toujours injective.
(c) Montrer que l’application définie par :
φ: pR2, d2q ÝÑ pC, dusq px, yq ÞÝÑ x`iy est une isométrie.
Exercice 1 (7 points) :Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.
1. Pour tout n PN, on définit :
An :“ tn, n`1, n`2, . . .u et on considère la familleτ de parties deN donnée par :
τ “ tHu Y␣
An, nP N( . (a) Montrer que τ constitue une topologie sur N.
(b) Pour nP N, déterminer (en justifiant)tnudans l’espace topologique pN, τq.
(c) Montrer que l’espace topologique pN, τqn’est pas séparé.
2. Montrer que dans un espace topologique séparé, tout singleton est un fermé.
— La réciproque de ce résultat est-elle vraie ? Justifier.
Exercice 2 (7 points) : Soitd :RˆRÑR` l’application définie par : dpx, yq :“ |x´y|
?1`x2a
1`y2 p@x, y PRq.
1. Montrer que d est une distance sur R.
+ Pour montrer l’inégalité triangulaire, vous pouvez transformer l’expression de dpx, yq en posantx“tanα et y“tanβ (avecα, β Ps ´ π2,π2r).
2. Soit r ą 0. En distinguant les valeurs de r, déterminer explicitement la boule ouverte Bp0, rq de l’espace métriquepR, dq.
— En déduire que R est borné relativement à la distance d.
3. Montrer les deux propriétés suivantes :
(i) @x, y P R: dpx, yq ď 1, (ii) dp0, xq ÝÑ1
xÑ`8,
puis en déduire la valeur exacte du diamètre deR (en tant que partie de pR, dq).
Bon travail B. Farhi
