Université A. Mira de Béjaia Département de Mathématiques Année universitaire 2019/2020 SÉRIES DE TD D’ARITHMÉTIQUE (

Département de Mathématiques 2019/2020

SÉRIES DE TD D’ARITHMÉTIQUE (

41 EXERCICES)

1. Congruences et équations diophantiennes

¹

linéaires

Exercice 1.1. Résoudre dans N

²

l’équation diophantienne suivante : 3x + 4y = 31.

Exercice 1.2.

(1) Considérons l’équation diophantienne :

5x + 4y = 47. (I)

— Déterminer les solutions (x, y) ∈ Z

²

de (I) pour lesquelles la quantité |x + 2y| est minimale. On demande de préciser cette valeur minimale.

(2) Considérons l’équation diophantienne :

7x + 4y = 90. ( II )

— Déterminer la solution (x, y) ∈ Z

²

de (II) qui soit la plus proche de l’origine (0, 0) (dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé).

Date:Dimanche, 27 octobre 2019.

1. L’adjectif « diophantien(ne) » est relatif à Diophante d’Alexandrie qui fut un mathématicien grec, né vers l’an 200et mort vers l’an 284. Diophante est connu pour son étude des équations dont les inconnus sont des nombres rationnels ou entiers. Ignorant l’algèbre (qui ne fut inventée que quelques siècles plus tard par al-Khawarizmi),Diophantese débrouille du mieux qu’il pouvait pour résoudre ses problèmes. Par exemple, pour résoudre une équation quadratique à deux inconnus surQ, il se sert d’une astuce qui correspond à ce que l’on appelle maintenant « la méthode de la sécante (ou de la corde) ». Cette méthode est d’ailleurs présentée d’une manière claire et rigoureuse par le mathématicien arabe Abu Kamil, à qui on doit l’algébrisation de l’arithmétique. L’ouvrage principal deDiophanteest son « Arithmétique », qui est composé de13tomes mais dont certains sont perdus. Diophante a influencé aussi bien les mathématiciens arabes (dont al-Karaji et al-Khazin) que les mathématiciens occidentaux (dontBachetetFermat).

1

Exercice 1.3. Un individu multiplie le jour de son anniversaire par 4 et le mois de son anniversaire par 17 et en additionnant les deux résultats, il trouve 124.

— Déterminer la date d’anniversaire de cet individu.

Exercice 1.4 (supplémentaire).

(1) Montrer que tout intervalle ouvert ]α, β[ de R (avec α, β ∈ R , α < β ), qui est de longueur strictement supérieure à 1 , contient au moins un entier.

(2) En déduire que pour tous a, b, c ∈ N

^∗

, avec pgcd(a, b) = 1 et c ≥ (a − 1)(b − 1), l’équation diophantienne :

a x + b y = c possède au moins une solution dans N

²

.

Exercice 1.5 (supplémentaire - Examen 2015-2016).

Considérons, dans Z

²

, l’équation diophantienne :

4181 x − 4069 y = 18. ( ⋆ )

(1) En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière pour l’équation (⋆) après avoir montrer qu’elle possède des solutions dans Z

²

.

(2) Résoudre (⋆) dans Z

²

.

(3) Déterminer les solutions (x, y) ∈ Z

²

de l’équation (⋆) pour lesquelles la quantité |x − y − 2|

est minimale. Préciser cette valeur minimale.

Exercice 1.6. En utilisant l’algorithme d’ Euclide

²

(ou sa variante, due à Blankinship), dé- terminer une solution particulière dans Z

²

pour chacune des équations diophantiennes linéaires suivantes :

69 x + 31 y = 1 (1.1)

71 x − 93 y = 1 (1.2)

81 x − 230 y = 2 (1.3)

296 x + 137 y = 5 . (1.4)

Exercice 1.7.

(1) Résoudre chacune des congruences suivantes :

3x + 5 ≡ 0[11] ; 13x ≡ 7[20] ; 5x + 7 ≡ 0[31]

x

²

+ 1 ≡ 0[17] ; x

²

+ x − 1 ≡ 0[11].

(2) Montrer que l’entier 5 possède un inverse modulo 29.

— Déterminer cet inverse et utiliser le pour résoudre la congruence 5x ≡ 12[29] .

2. Euclide d’Alexandrie : (vers325 av J.C—vers 265 av J.C) : Mathématicien grec. Il est le fondateur du raisonnement déductif en mathématiques. On doit à Euclide les premières théories mathématiques tel qu’on l’entend aujourd’hui ; c’est à dire des théories fondées sur des axiomes et des postulats, à partir desquels toute autre proposition est démontrée par un raisonnement déductif rigoureux. Son ouvrage principal est intitulé

« les éléments » et est composé de13tomes. Dans cet ouvrage se trouve les fondements de la géométrie plane et de l’arithmétique de base. Euclide a beaucoup influencé les mathématiques arabes puis les mathématiques occidentales.

Exercice 1.8.

(1) Déterminer le reste de la division euclidienne du nombre 2015

²⁰¹⁵

sur 7.

(2) Etudier les restes de la division euclidienne de 3

ⁿ

(n ∈ N ) sur 11.

— En déduire le reste de la division euclidienne du nombre 2016

²⁰¹⁸

sur 11 . Exercice 1.9.

(1) Montrer que le nombre (2 × 1954

¹⁹⁶²

+ 89) est multiple du nombre 1001 . + Remarquer que 1001 = 7 × 11 × 13.

(2) En déduire le reste de la division euclidienne du nombre 1954

¹⁹⁶²

sur 1001 .

Exercice 1.10. En utilisant les congruences, résoudre dans Z

²

l’équation diophantienne li- néaire :

17x + 15y = 1.

Exercice 1.11. Considérons dans Z

²

l’équation diophantienne linéaire :

16x + 11y = 52846. (1.5)

(1) Résoudre (1.5) en utilisant la congruence modulo 11.

(2) Montrer que l’équation (1.5) possède un nombre fini de solutions dans N

²

. On demande de déterminer ce nombre.

(3) Déterminer la solution (x, y) de (1.5) pour laquelle la différence |x − y| est la plus petite possible.

Exercice 1.12. Le problème suivant est inspiré du livre du mathématicien arabe Abu Kamil

³

, intitulé “le livre sur les volatiles” ( Q ¢Ë@ H.AJ» ). Son énoncé en arabe est le suivant :

éKAÓ ½JË@ © ¯Y ¯ ,ÑëPYK. Q ¯A’« Ô g ð ÑëPYK. áJk.Ag.X ð Ñë@PX éJ‚. é¢.

. ¬Qå”JK ­Jº ¯ . ¬A J“ B@ è Yë áÓ QKA£ éKAÓ AîE. øQ ƒ@ ½Ë ÉJ¯ ð ÑëPX

Sa traduction en français est la suivante :

On vous donne une somme de 100 dirhams et on vous demande d’acheter 100 volatiles de trois espèces : canards, poules et moineaux. Sachant qu’un canard coûte 6 dirhams, deux poules coûtent 1 dirham et cinq moineaux coûtent 1 dirham, combien de volatiles vous devez acheter de chaque espèce

^a

?

a. La somme d’argent qu’on vous donne doit être entièrement dépensée.

3. Abu Kamil(

¨Am.… áK. YÒm× áK. Õ΃@ áK. ¨Am.… ÉÓA¿ ñK.@

) : Mathématicien arabe d’Egypte, né vers850et mort vers 930. Il est le deuxième grand algébriste arabe (après le fondateur al-Khawarizmi) et il est le plus grand mathématicien de son temps. On lui doit d’une part le développement de l’algèbre et son utilisation pour résoudre des problèmes de géométrie plane et d’autre part l’algébrisation de l’arithmétique. Il a écrit plusieurs livres mais le plus important étant celui qui s’intitule «

éÊK.A®ÒË@ ð Q.m.Ì'@ H.AJ»

», lequel a exercé une influence considérable et pendant plusieurs siècles aussi bien dans le monde musulman que dans le monde occidental.

Précisons aussi que l’algèbre d’Abu Kamilest d’un degré d’abstraction plus élevé que celle d’al-Khawarizmi. En effet,al-Khawarizmis’est limité uniquement à l’étude des équations quadratiques à coefficients rationnels alors qu’Abu Kamilétudia des équations jusqu’à celles de degré8, à coefficients pouvant être irrationnels.

2. Congruences et équations diophantiennes non linéaires

Exercice 2.1. Montrer que les équations diophantiennes suivantes n’ont pas de solution à coordonnées entières.

x

³

= 9y + 2 (2.1)

x

²

+ y

²

= 4z + 3 (2.2)

x

²

+ 2y

²

= 8z + 5 (2.3)

x

²

+ y

²

+ z

²

= 8t + 7. (2.4)

Exercice 2.2.

(1) Montrer que l’unique solution dans Z

⁴

de l’équation diophantienne : x

²

+ y

²

= 3(z

²

+ t

²

)

est (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0) .

(2) Reprendre la même question avec l’équation diophantienne : x

³

+ 2y

³

= 7(z

³

+ 2t

³

).

+ Remarquer que ces équations sont homogènes.

Exercice 2.3. Montrer que l’unique solution dans Z

³

de l’équation diophantienne : x

²

+ y

²

+ z

²

= 2xyz

est (x, y, z) = (0, 0, 0).

+ Procéder par l’absurde et introduire d := pgcd(x, y, z) .

3. Congruences - Niveau avancé Exercice 3.1 (Rattrapage 2013-2014).

(1) Calculer chacun des nombres φ(7) , φ(9) , φ(32) et φ(2016) , où φ désigne la fonction indi- catrice d’ Euler

⁴

.

(2) Montrer que pour tout nombre naturel n, premier avec 42, on a : n

⁴⁸

≡ 1[2016].

Exercice 3.2 (supplémentaire - Formule de Gauss

⁵

).

Montrer que pour tout n ∈ N

^∗

, on a :

∑

d|n

φ(d) = n,

où φ désigne la fonction indicatrice d’Euler.

Exercice 3.3.

(1) En se servant du petit théorème de Fermat

⁶

, déterminer le reste de la division euclidienne du nombre 2016

²⁰¹⁸

sur 17.

(2) En se servant du théorème d’ Euler , déterminer l’inverse du nombre 29 modulo 108.

Exercice 3.4. Résoudre dans Z les systèmes de congruences suivants : a)

{ x ≡ 2[5]

x ≡ 3[8] b)

{ x ≡ 3[7]

x ≡ 2[8] c)

 



x ≡ 1[2]

x ≡ 2[3]

x ≡ 3[5]

.

4. Leonhard Euler(1707-1783) : Eminent mathématicien suisse et l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps. On lui doit plusieurs importantes découvertes aussi bien en mathématiques (analyse, arithmé- tique, théorie des graphes) qu’en physique (mécanique, dynamique des fluides, optique). Une citation célèbre de Laplacequi atteste de l’influence qu’exerçaitEulerà son époque énonce : « LisezEuler, lisez Euler, c’est notre maître à tous ». Sa formule en analyse : “e^iθ = cosθ+isinθ (∀θ ∈ R)” fut considérée par Lagrange comme étant « la plus grande découverte mathématique de son époque ». En théorie des nombres, Eulerfut également une figure capitale. Beaucoup de conjectures deFermatont été démontrées ou réfutées par lui d’une part, et d’autre part, il est « le père de la théorie analytique des nombres ».

5. Carl Friedrich Gauss(1777-1855) : Eminent mathématicien, physicien et astronome allemand et l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps.Gaussa apporté des contributions très remarquables à toutes les disciplines qu’il a étudié. Son ouvrage d’arithmétique intitulé « Disquisitiones arithmeticae » (qui veut dire

« Recherches arithmétiques ») a apporté des avancées considérables à l’arithmétique et est resté un chef d’œuvre depuis sa publication en1801jusqu’à présent. C’est dans cet ouvrage qu’il a introduit sathéorie des congruences dont le but est de simplifier les démonstrations des grands théorèmes classiques d’arithmétique supérieure. Parmi les grands succès arithmétiques de Gausssa démonstration de « la loi de réciprocité quadratique » (après les échecs de ses prédécesseursEuleret Legendre). C’est aussiGauss qui a démontré le premier « le théorème fondamental de l’algèbre » de façon rigoureuse. Parmi les étudiants de Gauss, deux sont devenus de grands mathématiciens ; il s’agit de Riemann et Dedekind.

6. Pierre de Fermat (1601-1665) : Mathématicien français. Il a énoncé (sans démonstration) plusieurs propositions remarquables en arithmétique qui ont été confirmées (ou réfutées) beaucoup plus tard par d’autres mathématiciens. Sa dernière conjecture affirme que l’équation «xⁿ + yⁿ = zⁿ» n’a pas de solution dans Z^∗3 lorsque n ≥ 3. Le premier cas de cette conjecture a été traité par le mathématicien arabe al-Khazin (

à PA mÌ'@ Q ®ªk. ñK.@

) à la première moitié du 10^èmesiècle. En 1994, le mathématicien britannique A. Wilesa démontré la conjecture de Fermat dans son cas général. La conjecture en question est nommée depuis « le théorème deFermat-Wiles».

Exercice 3.5. On introduit préalablement les trois définitions suivantes :

Définition 1: Un entier n ≥ 2 est dit pseudo-premier s’il n’est pas premier et s’il vérifie : 2

ⁿ

≡ 2[n].

Définition 2: Soient p et q deux nombres premiers. On dira que p est attaché à q si : 2

^p

≡ 2[q].

On dira que p et q sont attachés si “ p est attaché à q ” et “ q est attaché à p ”.

Définition 3: Un entier n ≥ 2 est dit de Carmichael

⁷

s’il n’est pas premier et s’il vérifie : a

ⁿ

≡ a[n] (pour tout a ∈ Z ).

(1) Soient p et q deux nombres premiers distincts. Montrer que le nombre p × q est pseudo-- premier si et seulement si p et q sont attachés.

(2) En appliquant ce dernier résultat, montrer que le nombre composé 341 = 11 × 31 est pseudo-premier.

(3) Montrer que le nombre composé 561 = 3 × 11 × 17 est de Carmichael . Exercice 3.6.

(1) Soit p un nombre premier impair. Montrer que le nombre (2

^p

− 1) n’est multiple d’aucun nombre premier dans l’intervalle [1, 2p].

(2) Montrer que l’unique nombre premier p satisfaisant la propriété

« p divise (2

^p

+ 1) » est p = 3.

(3) Montrer que l’unique entier naturel n satisfaisant la propriété

« n divise (2

ⁿ

− 1) » est n = 1 .

+ Raisonner par l’absurde et introduire p le plus petit diviseur premier de n.

(4) Montrer que si n est un nombre pseudo-premier alors le nombre (2

ⁿ

− 1) est aussi pseudo-- premier.

— En déduire l’existence d’une infinité de nombres pseudo-premiers impairs.

+ Voir l’exercice 3.5 pour la définition d’un nombre pseudo-premier.

(5) Montrer que pour tout entier naturel n, le nombre (

2

²ⁿ

+ 1 )

est ou bien premier ou bien pseudo-premier.

+ On peut s’en servir de l’inégalité : 2

ⁿ

≥ n + 1 ( ∀n ∈ N ).

Exercice 3.7. Le but de cet exercice est de démontrer l’important théorème suivant qui est conjecturé par Fermat et démontré par Euler .

7. Robert Daniel Carmichael(1879-1967) : Mathématicien américain. En1899, A. Korseltétablit un théorème important qui caractérise les entiers composés n≥2 qui satisfont la propriété «∀a∈Z:aⁿ≡a[n]», mais il ne fournit aucun exemple de tels nombres. En1909,Carmichaelen donna les premiers exemples de tels nombres, qui sont nommés depuis « les nombres deCarmichael» en son honneur. Les trois premiers nombres deCarmichaelsont :561=3×11×17; 1105=5×13×17et 1729=7×13×19. En1992,W. R. Alford, A. GranvilleetC. Pomeranceont réussi à montrer qu’il existe une infinité de nombres deCarmichael.

Théorème : Pour qu’un nombre premier impair puisse s’écrire comme une somme de deux carrés parfaits, il faut et il suffit qu’il soit de la forme (4k + 1) ( k ∈ N ).

(1) En se servant du théorème d’ Ibn Al-Haytham

⁸

, montrer que pour tout nombre premier

impair p, on a : (

p − 1 2

)

!

²

(−1)

^p−12

+ 1 ≡ 0[p].

(2) En déduire que si p est un nombre premier de la forme (4k + 1) (k ∈ N ) alors il existe a ∈ N tel que (a

²

+ 1) soit un multiple de p .

(3) Soit p un nombre premier ayant la forme (4k + 1) (k ∈ N ) et soit a ∈ N tel que (a

²

+ 1) soit un multiple de p (l’existence d’un tel a est établie à la question précédente).

On note par r la partie entière du nombre √

p et par E l’ensemble : {0, 1, . . . , r} .

(a) Montrer qu’il existe deux couples distincts (x

1

, y

1

) et (x

2

, y

2

) de E

²

pour lesquels les deux entiers naturels (x

₁

+ ay

₁

) et (x

₂

+ ay

₂

) aient le même reste de la division euclidienne sur p.

(b) En déduire l’existence d’un couple (x

0

, y

0

) ∈ E

²

, avec (x

0

, y

0

) , (0, 0) , pour lequel l’un des deux entiers (x

0

+ ay

0

) et (x

0

− ay

0

) est multiple de p.

(c) Montrer qu’un tel couple (x

0

, y

0

) vérifie x

²₀

+ y

²₀

= p.

(4) Montrer que si un nombre premier p est de la forme (4k + 3) alors p ne peut pas s’écrire comme une somme de deux carrés parfaits.

Conclure.

8. Ibn al-Haytham (

øQå”J.Ë@ ÕæJêË@ áK. á‚mÌ'@ áK. á‚mÌ'@ úΫ ñK. @

) : Savant arabe et l’un des plus grands savants de tous les temps. Ibn al-Haytham est né en965en Irak et mort en1039en Egypte. Son prénom latinisé a donné l’Alhazendes européens. Il est à la fois mathématicien, physicien et philosophe et a apporté des contributions originales à chacune de ces disciplines. En arithmétique, on lui doit la caractérisation remarquable des nombres premiers, selon laquelle « un entiern ≥2 est premier si et seulement si le nombre (n−1)!+1 est un multiple de n» et que certains attribuent (à tort) à Wilson. On lui doit également l’énoncé (avec une tentative de démonstration) de la réciproque du théorème d’Euclidesur les nombres parfaits pairs. En algèbre, on lui doit une importante contribution dans la résolution (géométrique) des équations de 3^ème degré et de 4^ème degré.

Cependant, c’est en physique qu’il atteint sa plus grande renommée. Il est, en effet, le père de « la physique théorique », de « la physique expérimentale », de « l’optique géométrique » et de « l’optique physiologique ».

4. Résolution des équations diophantiennes par la méthode de la sécante Exercice 4.1. Considérons l’équation diophantienne :

x(x + 1) = 4y(y + 1). (4.1)

(1) Résoudre (4.1) dans Z

²

.

(2) Résoudre (4.1) dans Q

²

en utilisant la méthode de la sécante.

Exercice 4.2. Considérons l’équation diophantienne :

y

²

= x

²

+ 2. (4.2)

(1) Montrer que l’équation (4.2) n’a pas de solution dans Z

²

. (2) Résoudre (4.2) dans Q

²

.

Exercice 4.3. Considérons l’équation diophantienne :

x

²

− y

²

+ xy = 1. (4.3)

(1) Résoudre (4.3) dans Q

²

en utilisant la méthode de la sécante.

Pour la suite, on s’intéresse aux solutions de (4.3) dans N

²

.

(2) Montrer que si un couple (x, y) ∈ N

²

est solution de (4.3) alors le couple (x + y, x + 2y) est aussi une solution de (4.3).

— En déduire que (4.3) possède une infinité de solution dans N

²

tout en précisant le procédé qui permet d’en trouver autant de solutions que l’on veut.

— En utilisant ce procédé, déterminer 5 solutions distinctes de (4.3) dans N

²

.

(3) Montrer que toute solution (x, y) ∈ N

²

de (4.3) s’obtient par le procédé que vous avez utilisez à la question précédente et ceci en partant de la solution particulière (1, 0).

— Exprimer la solution générale de (4.3) dans N

²

en fonction de la suite de Fibonacci

⁹

. Exercice 4.4 (En liaison avec le théorème de Fermat - Wiles

¹⁰

).

(1) Montrer que l’équation :

xy(x + y) = 1 n’a pas de solution dans Q

²

.

9. Leonardo Fibonacci(1175-1250) : Mathématicien italien et premier mathématicien de l’occident. Ayant accompagné son père (commerçant) à la ville de Béjaia(en Algérie), il s’initia aux mathématiques arabes.

Quelques années plus tard, il voyagea enEgypteet enSyrieoù il approfondit ses connaissances mathématiques.

En1202, il publia son principal ouvrage, qui s’intitule « Liber Abaci » et dans lequel il exposa (aux occidentaux) les mathématiques arabes. L’ouvrage contient en particulier : le système décimal utilisant les chiffres arabes, de l’algèbre, de l’arithmétique et la suite qui porte son nom. Ce que l’on appelle « suite de Fibonacci» est la suite d’entier naturels, notée(F_n)_n∈N et définie par :F₀=0,F₁ =1et F_n+2 =F_n+F_n+1 (∀n∈ N). Il semble que c’est l’arithméticien français Edouard Lucasqui baptisa cette suite au nom de Fibonacciaprès l’avoir profondément étudiée.

10. Andrew John Wiles(1953-) : Mathématicien britannique. Il est surtout connu pour avoir démontré en 1994la conjecture de Fermat selon laquelle « l’équation diophantiennexⁿ+yⁿ=zⁿ ne possède pas de solution dansZ^∗3 lorsque nest un entier≥3». Cette conjecture (appelée également « le dernier théorème de Fermat » ou « le grand théorème de Fermat ») constituait l’un des problèmes les plus célèbres en Mathématiques et sur lequel plusieurs grands mathématiciens (parmi lesquelsEuler,Cauchy,Dirichlet,Kummer, . . .etc) se sont cassés les dents.

(2) Plus généralement, soient α, β, γ ∈ N

^∗

tels que pgcd(α, β + γ) = pgcd(β, α + γ) = pgcd(γ, α + β) = 1. Montrer que l’équation :

x

^α

y

^β

(x + y)

^γ

= 1

n’a pas de solution dans Q

²

.

5. Résolution des équations diophantiennes par la méthode de la descente infinie

Exercice 5.1 (Examen 2013-2014). Montrer que l’équation diophantienne : x

²

+ 3y

²

= 2z

²

n’a pas de solution à coordonnées entières, autre la solution triviale (0, 0, 0) .

Exercice 5.2. Montrer, en utilisant la méthode de la descente infinie, que l’équation diophan- tienne :

x

²

+ 7y

²

= 3z

⁶

n’a pas de solution entière autre la solution triviale (0, 0, 0).

+ Commencer par montrer que si (x, y, z) ∈ Z

³

est solution de l’équation proposée alors z est forcément un multiple de 7 .

Exercice 5.3.

(1) En utilisant la méthode de la descente infinie, montrer que l’équation diophantienne : x

⁴

− y

⁴

= z

²

n’a pas de solution entière non triviale (i.e. de solution (x, y, z) ∈ Z

^∗3

).

(2) En déduire qu’il n’existe pas de triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs entières et dont la surface est un carré parfait

¹¹

.

Exercice 5.4 (supplémentaire).

Montrer que l’équation diophantienne :

x

³

+ 2y

³

+ 4z

³

= 6xyz n’a pas de solution dans Z

^∗3

.

Exercice 5.5 (supplémentaire - Interrogation 2016-2017).

Montrer que l’équation diophantienne :

2x

³

+ 3y

³

= 7z

⁶

n’a pas de solution dans Z

³

, autre sa solution triviale (0, 0, 0).

Exercice 5.6 (supplémentaire - Rattrapage 2016-2017).

Montrer que l’équation diophantienne :

x

⁴

+ y

⁴

= 5z

⁸

n’a pas de solution dans Z

³

, autre sa solution triviale (0, 0, 0) .

11. En fixant une certaine unité de mesure.

6. Les résidus quadratiques

Exercice 6.1. Pour chacune des congruences suivantes, dire (en se justifiant) si elle possède ou non des solutions dans Z (on ne vous demande pas de trouver ces solutions).

i) x

²

+ 1 ≡ 0[997]

ii) x

²

− 2 ≡ 0[997]

iii) x

²

+ 2 ≡ 0[997]

iv) x

²

+ 30 ≡ 0[4999].

N.B : Les nombres 997 et 4999 sont premiers.

Exercice 6.2. Soit p un nombre premier ≥ 5 .

— Quelle est la condition que doit satisfaire p pour que la congruence x

²

≡ 6[p] possède des solutions dans Z ?

Exercice 6.3 (d’après E. Lucas

¹²

). Soit n un entier naturel. On suppose que les deux nombres (4n + 3) et (8n + 7) sont premiers.

— Montrer que le nombre de Mersenne

¹³

(2

⁴ⁿ⁺³

− 1) est composé.

+ Considérer (

²_p

) , avec p = 8n + 7 . Exercice 6.4 (Examen 2012-2013).

(1) Calculer les symboles de Legendre

¹⁴

: ( 2

59 )

, ( 7

59 )

et ( 14

59 )

. (2) En déduire que la congruence :

x

²

+ x + 1 ≡ 0[59]

n’a pas de solution entière.

Exercice 6.5 (Rattrapage 2012-2013).

(1) Calculer les symboles de Legendre : ( 2

89 )

, ( 3

89 )

, ( 11

89 )

et ( 66

89 )

.

12. Edouard Lucas(1842-1891) : Mathématicien français. Il publia plusieurs livres dont les quatre fameux volumes intitulés « Récréations mathématiques » et publiés entre1882 et 1894. Lucas est surtout connu pour son test de primalité concernant les nombres de Mersenne (i.e., les nombres Mp =2^p−1, avecp premier), qui est amélioré par le mathématicien américain Derrick Lehmeren1930et qui est toujours d’actualité. Lucas est aussi connu pour son étude approfondie de la suite deFibonacci(F_n)_n∈N, à laquelle il associa une nouvelle suite(L_n)_n∈N qui porte son nom.

13. Marin Mersenne (1588-1648) : Religieux, philosophe et mathématicien français. Il entretient une cor- respondance scientifique volumineuse et importante, dont on a tiré profit, avec plusieurs savants de son temps.

Parmi ses amis, on compte Descartes et Fermat. Un nombre de Mersenne est un entier naturel s’écrivant sous la forme(2^p−1), avecpest un nombre premier. Etant donné que ces nombres sont tous premiers ou pseudo-pre- miers, ils ont de fortes chances d’être premiers. Mersenne dressa la liste des premiers « nombres de Mersenne premiers » jusqu’à l’exposantp=257mais cette liste était erronée et ne fut corrigée que plus tard par d’autres mathématiciens.

14. Adrien-Marie Legendre (1752-1833) : Mathématicien français. On lui doit d’importantes contribu- tions à la théorie des nombres, à l’analyse et à la géométrie. Il conjectura (après Euler) la « loi de réciprocité quadratique » et conjectura aussi (après Gauss) le « théorème des nombres premiers ». En théorie additive des nombres, il partage avec Gauss un théorème important selon lequel « un nombre naturel est une somme de3 carrés si et seulement s’il n’est pas de la forme4^h(8k+7), avech,k∈N». Son ouvrage principal d’arithmétique s’intitule « Essai sur la théorie des nombres » et il est publié en1798. En dehors de la théorie des nombres, on lui doit d’importants travaux sur les fonctions elliptiques et les intégrales elliptiques, ainsi que l’invention de la

« méthode des moindres carrés ».

(2) En déduire que la congruence :

x

²

− x + 1 ≡ 0[89]

n’a pas de solution entière.

Exercice 6.6 (Examen de remplacement 2012-2013).

(1) Calculer les symboles de Legendre : ( 2

73 )

, ( 3

73 )

et ( 54

73 )

. (2) En déduire que la congruence :

x

²

− x + 1 ≡ 0[73]

possède des solutions entières.

Exercice 6.7 (d’après Euler ). Montrer que l’équation diophantienne : 4xy − x − y = z

²

n’a pas de solution dans N

^∗3

.

Exercice 6.8 (d’après V. A. Lebesgue

¹⁵

). Montrer que l’équation diophantienne : x

²

− y

³

= 7

n’a pas de solution dans Z

²

. Exercice 6.9.

(1) Montrer qu’étant donné n ∈ Z , tout diviseur premier p > 3 du nombre (n

²

+ 3) est de la forme (3k + 1) ( k ∈ N

^∗

).

(2) En déduire qu’étant donné n ∈ Z , tout diviseur impair (positif) du nombre (n

²

+ 3) est congru à 0 ou à 1 modulo 3.

(3) En déduire que l’équation diophantienne :

(x − 1)(x

²

+ 1) = y

²

+ y + 1 n’a pas de solution entière.

B. Farhi E-Mail : bakir.farhi@gmail.com http://farhi.bakir.free.fr/

15. Victor-Amédée Lebesgue(1791-1875) : Mathématicien français (à ne pas confondre avecHenri-Léon Lebesgue, l’inventeur de la théorie d’intégration qui porte son nom). Ses travaux portent essentiellement sur l’arithmétique.