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Le petit théorème de Fermat

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Academic year: 2022

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Le petit théorème de Fermat

Soit p un nombre premier et un entier naturel a non multiple de p.

On a alors :

a

p−1 ≡ 1 (p)

Une démonstration intéressante

Considérons les p–1 premiers multiples de a : …...

Démontrons que si on appelle

r

1,

r

2 , ...

, r

p−1 les restes dans la division par p de ces entiers, ces restes sont deux à deux distincts.

Raisonnons pour cela par …... : En effet, supposons que …... pour i ≠ j .

On a alors

a

i−

a

j ≡ …... (p) c'est à dire

a

(i−j) ≡ …... ; (p) donc

a

(i−j) serait …... de p ce qui est impossible car …...

r

1,

r

2 , … ,

r

p−1 sont donc des restes non nuls et deux à deux distincts on a alors

r

1×

r

2×…×

r

p−1 = …... = …...

Or on sait que

a

×2

a

×…×(

p

−1)

a

≡ …... (p) donc

a

×2

a

×…×(

p

−1)

a

≡ …... (p)

…... ≡ …... (p)

…... ≡ 0 (p)

…... est donc multiple de p or p et …... sont premiers entre eux donc d'après le th de Gauss p divise …... d'où

a

p−1 ≡ 1 (p)

M. PHILIPPE 1 / 1

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