• Aucun résultat trouvé

Partie B On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Partie B On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Spé Maths TS Exercice Amérique du Nord mai 2011 2010-2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théo- rème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :

« Si pest un nombre premier et q un entier naturel premier avecp, alors

qp1≡1 (modulop) ».

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnnon nul par :

un= 2n+ 3n+ 6n−1.

1. Calculer les six premiers termes de la suite.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,un est pair.

3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul,un est divisible par 4.

On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un).

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ?

5. Soitpun nombre premier strictement supérieur à 3.

(a) Montrer que : 6×2p2 ≡ 3 (modulop) et 6×3p2≡2 (modulop).

(b) En déduire que 6up2≡0 (modulop).

(c) Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ?

Partie A : Soienta, betctrois entiers non nuls ; supposons que adivise le produit bcet queaetb soient premiers entre eux.

Il existe donc un entier k tel quebc=ka. D’autre part puisque a et b sont premiers entre eux, il existe d’après le théorème de Bezout deux entiers relatifs uet v tels que : au+bv= 1 et en multipliant parc non nul :

acu+bcv=c et en remplaçantbcparka: acu+kav=c ⇐⇒ a(cu+kv) =c.

Cette égalité montre queadivisec. Partie B :

1. On calcule :u1= 2 + 3 + 6−1 = 10 ; u2= 4 + 9 + 36−1 = 48 ;

u3= 8 + 27 + 216−1 = 250 ; u4= 16 + 81 + 1 296−1 = 1 392 ; u5= 32 + 243 + 7 776−1 = 8 050 ; u6= 64 + 729 + 46 656−1 = 47 448.

2. On a : 2≡0 mod 2⇒2n≡0 mod 2 ; 3≡1 mod 2⇒3n≡1 mod 2 ; 6≡0 mod 2⇒6n≡0 mod 2.

Doncun= 2n+ 3n+ 6n−1≡0 + 1 + 0−1≡0 mod 2 un est donc pair.

3. nest pair : il existe donck∈N tel quen= 2k.

On peut donc écrire : un = u2k = 22k+ 32k+ 62k −1 = 4k+ 9k+ 22k×32k−1 = 4k+ 4k×9k+ 9k−1.

Comme 4≡0 mod 4,4k ≡0 mod 4 ; 4k×9k ≡0 mod 4 ;

9≡1 mod 4, donc 9k≡1 mod 4, d’où par somme : u2k ≡0 + 0 + 1−1 = 0 mod 4, c’est àdire queu2k est un multiple de 4.

4. On voit que 2 diviseu1, que 3 diviseu2, que 5 diviseu3 et 7 diviseu5.

Ainsi 2, 3, 5 et 7 appartiennent à l’ensemble (E)

5. (a) D’après le théorème de Fermat, 2 étant premier avec p, on a 2p1≡1 modp.

Donc 6×2p2= 3×2p1≡3 modp.

D’autre part 3 étant premier avecp,3p1≡1 modp.

Donc 6×3p2= 2×3p1≡2 modp.

(b) Par définition : 6up2= 6 2p2+ 3p2+ 6p2−1

= 6×2p2+ 6×3p2+ 6p1−6.

On a vu que 6×2p2 ≡3 mod p, que 6×3p2 ≡2 modpet on a 6p1≡1 modpcar p premier avec 6.

En effet, p>3, et les seuls diviseurs premiers de 6 sont 2 et 3.

Donc 6×up2≡3 + 2 + 1−6 modpsoit 6×up2≡0 modp.

(c) On vient de démontrer que 6×up2≡0 modp: donc pdivise

up2, mais p et 6 sont premiers entre eux, donc d’après le théorème de Gausspdiviseup2.

Conclusion : tout entier ppremier appartient à l’en- semble (E)

My Maths Space 1 sur 1

Références

Documents relatifs

Il restera dans l'histoire des mathématiques pour son annotation placée en marge d'un de ses ouvrages de Diophante, indiquant que cette dernière était trop petite pour contenir

[r]

[r]

continuer les calculs (qui sont très longs pour des nombres p très grands) mais on peut chercher le premier nombre premier qui divise p (c'est ce que nous avons fait pour les

sont premiers entre eux donc d'après le th de Gauss p

[r]

Dans le cas présent, la part du cuisinier serait de trois pièces, mais les pirates se querellent et six d’entre eux sont tués, ce qui porte la part du cuisinier à quatre pièces..

Quelle conjecture peut on faire sur la limite ´eventuelle de la suite lorsque n tend vers +∞.. Utiliser le tableur pour calculer les premiers terme de