TESTER SI UN NOMBRE EST PREMIER
Notions réinvesties : petit théorème de Fermat, congruences
Un nombre étant donné, comment savoir le plus rapidement possible s’il est premier ? Sinon, quelle est sa décomposition en facteurs premiers ?
La question est facile pour les petits nombres : il suffit d’utiliser naïvement la définition de la primalité et de tester tous les diviseurs possibles avec un ordinateur. En revanche, dès qu’on traite de grands nombres (à partir de 20 chiffres), la question se révèle très délicate, encore davantage pour la factorisation.
Ce sujet étant intimement lié à la cryptographie numérique moderne (comme le système R.S.A.), dont les enjeux politiques et économiques sont importants, un effort considérable a été entrepris de toutes parts, et de nouvelles méthodes donnent aujourd’hui à un micro-ordinateur assez de puissance pour déterminer si un nombre de 1 000 chiffres est premier, problème qu’on imaginait inaccessible autrefois.
Du fait de leur utilisation dans les algorithmes utilisés pour coder et protéger des données confidentielles, les nombres premiers peuvent faire partie des outils mis à la disposition des entreprises.
Ainsi, le mathématicien Roger Schlafly a déposé en 1994 un brevet commercial sur les deux nombres premiers ci-dessous, exprimés en hexadécimal. Dans cette base, les symboles utilisés sont les chiffres de 0 à 9 puis les lettres A, B, C, D, E et F pour désigner respectivement 10, 11, 12, 13, 14 et 15. Par exemple 9 E 7 D 416 est le nombre 9×164+14×163+7×162+13×16+4 c’est-à-dire 649 172 en décimal.
98A3DF52AEAE9799325CB258D767EBD1F4630E9B9E21732A4AFB1624BA6DF911466AD8DA960586F4A0D5E3C36AF099660BDDC 1577E54A9F402334433ACB14BCB
93E8965DAFD9DFECFD00B466B68F90EA68AF5DC9FED915278D1B3A137471E65596C37FED0C7829FF8F8331F81A2700438ECD CC09447DC397C685F397294F722BCC484AEDF28BED25AAAB35D35A65DB1FD62C9D7BA55844FEB1F9401E671340933EE43C54E 4DC459400D7AD61248B83A2624835B31FFF2D9595A5B90B276E44F9
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Pour déterminer si un entier n est premier, il suffit donc de tester si k divise n, pour tous les entiers k inférieurs à n. Mais si n est très grand, cela peut-être extrêmement long…
Heureusement, d’autres méthodes existent.
Create a table with 180 columns and write down positive integers from 1 in increasing order from left to right, top to bottom.
When we mark the prime numbers on this table, we obtain the linear pattern as shown in the figure. [Iris Yoon]
A . L e c r i b l e d ’ É r a t o s t h è n e A . L e c r i b l e d ’ É r a t o s t h è n e
Cet algorithme a été mis au point par Ératosthène (276-194 avant J.-C.), mathématicien grec aussi connu pour ses fonctions de conservateur à la bibliothèque d’Alexandrie, poète, historien, géographe, astronome (il fut le premier à mettre en évidence la rotondité de la Terre) et athlète.
L’algorithme procède par élimination : il s’agit de supprimer d’une table des entiers de 2 à N tous les multiples d’un entier. En supprimant tous les multiples, à la fin il ne restera que les entiers qui ne sont multiples d’aucun entier, et qui sont donc les nombres premiers.
Utilisons cet algorithme pour déterminer les nombres premiers inférieurs à 100.
On barre 1 car il n’est pas premier.
On ne barre pas 2, qui est premier.
Mais on barre alors tous les multiples de 2 (autres que 2). Pourquoi ? Le premier nombre non barré est alors 3, qui est premier.
On barre donc tous les multiples de 3 (autres que 3).
Procéder de même avec 5 puis avec 7.
1. Le prochain nombre non barré est alors 11. Pourquoi peut-on s’arrêter ?
2. Pour dresser la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 1000, jusqu’à quel nombre premier p faudrait-il barrer les multiples ?
3. Lors de l’algorithme, pour éliminer les multiples de a, à quel nombre peut-on commencer ? Pour visualiser la crible d’Ératosthène jusqu’à 120, voir ici :
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/New_Animation_Sieve_of_Eratosthenes.gif
B . T E S T D E P R I M A L I T É
B . T E S T D E P R I M A L I T É : U N C R I T È R E D ’ A R R Ê T : U N C R I T È R E D ’ A R R Ê T
Soit n un entier naturel non premier tel que n⩾2.
On note E l’ensemble des diviseurs positifs de n, autres que 1 et n.
1. Démontrer que E est non vide.
En déduire que E admet un plus petit élément, noté p.
2. Démontrer que p est premier. Quel théorème vient-on de démontrer ? 3. L’entier n s’écrit donc n=pq où p⩽q.
En déduire que : p⩽
√
n.4. Conclure en écrivant un test de primalité : TEST DE PRIMALITÉ
TEST DE PRIMALITÉ : CRITÈRE D’ARRÊT: CRITÈRE D’ARRÊT
C . T E S T S D E F E R M A T C . T E S T S D E F E R M A T
Le « petit » théorème de Fermat indique que si p est premier et ne divise pas a, alors ap−1 ≡ 1 [p].
Autrement dit :
PETIT THÉORÈME DE FERMAT PETIT THÉORÈME DE FERMAT
Soit p un nombre premier. Pour tout entier a : Si p ne divise pas a, alors : ap−1 ≡ 1 [p].
Par conséquent, pour un entier p donné, si on trouve un entier a tel que p ne divise pas a mais ap−1 1 [p], alors c’est que p n’est pas un nombre premier.
En choisissant a entre 2 et p−1, on obtient ce qu’on appelle le test de non-primalité de Fermat : TEST DE NON-PRIMALITÉ DE FERMAT
TEST DE NON-PRIMALITÉ DE FERMAT Soit p un entier.
S’il existe un entier a compris entre 2 et p−1 tel que ap−1 1 [p], alors p n’est pas premier.
U N E X E M P L E U N E X E M P L E
On se demande si le nombre 1111 111111 111 est premier.
1. Calculer 21 111 111111 110 modulo 1111 111111 111. 2. Que peut-on en déduire ?
L E S N O M B R E S D E P O U L E T
L E S N O M B R E S D E P O U L E T ( o u 2 - P S E U D O - P R E M I E R S ) ( o u 2 - P S E U D O - P R E M I E R S ) Utilisons le test de Fermat pour 341.
1. Le nombre 341 est-il premier ?
2. Faire le test de Fermat avec a=2. Que constate-t-on ?
On dit que 341 est un nombre 2-pseudo-premiers, ou que c’est un nombre de Poulet (d’après le mathématicien Paul Poulet qui s’intéressa à ces nombres et en calcula un grand nombre dans les années 1920).
3. 341 est-il 3-pseudo-premiers ?
Les nombres 2-pseudo-premiers sont-ils fréquents Les nombres 2-pseudo-premiers sont-ils fréquents ?? On sait que si n est un nombre 2-pseudo-premier, alors 2n−1 l’est aussi.
Par conséquent, il existe une infinité de nombres 2-pseudo-premiers.
En 1949, Erdös montra le joli résultat suivant : pour tout entier k>1 donnée, il existe une infinité de nombres 2-pseudo-premiers qui sont chacun produit de k facteurs premiers distincts.
En 1971, E. Lieuwens généralisa ce résultat en remplaçant le 2 par un a.
Un calcul exhaustif montre que, parmi les nombres inférieurs à 25 milliards, il y a 1 091 987 405 nombres premiers, mais seulement 21 853 nombres 2-pseudo-premiers. Autrement dit, si vous choisissez au hasard un nombre n inférieur à 25 milliards :
• il vérifiera 2n−1 1 [n] dans 95,64 % des cas et on saura qu’il n’est pas premier ;
• il vérifiera 2n−1 ≡ 1 [n] dans 4,36 % des cas,
et ce sera alors un nombre premier dans 99,998 % des cas.
Au total, en testant si un nombre est 2-pseudo-premier (test de Fermat avec a=2), on se trompe dans moins de 0,00009 % des cas.
Avec un intervalle plus grand, le risque diminue encore…
En 1989, Su Hee Kim et Carl Pomerance, des universités de Caroline du Sud et de Géorgie, ont mené une étude théorique sur le risque d’erreur quand on considère premier un nombre n, pris au hasard entre 2 et N, qui passe le test suivant :
TEST PROBABILISTE DE PRIMALITÉ DE FERMAT TEST PROBABILISTE DE PRIMALITÉ DE FERMAT
Choisir un nombre a au hasard entre 2 et n−1. Si an−1 ≡ 1 [n], on déclare que n est premier.
Le risque est inférieur à 0,0000028 % pour N=10100.
Autrement dit, si vous choisissez au hasard un nombre n de moins de 100 chiffres et que le test probabiliste de Fermat le déclare premier après avoir tiré au hasard un nombre a, alors la probabilité que n soit effectivement premier est supérieure à 99,9999972 %.
Le risque est inférieur à 7,2 % pour un nombre n de moins de 60 chiffres.
Le risque est inférieur à 3,9×10−25 % pour un nombre n de moins de 200 chiffres.
Le risque est inférieur à 1,2×10−121 % pour un nombre n de moins de 1000 chiffres.
Le risque est inférieur à 1,6×10−1329 % pour un nombre n de moins de 10 000 chiffres.
Le risque de croire premier un nombre composé choisi par le test probabiliste de Fermat cesse d’être notable dès qu’on s’intéresse à des nombres de plus de 100 chiffres.
Pour des nombres plus courts, le risque ne devient acceptable que si l’on répète plusieurs fois le test.
Il existe d’autres tests probabilistes, le plus connu et utilisé étant le test de Miller-Rabin.
On considère que les tests probabilistes actuels ont une probabilité d’erreur inférieure à la probabilité que le système informatique qui réalise le test commette une erreur (par exemple une erreur de microprocesseur).
L E S N O M B R E S D E C A R M I C H A E L
L E S N O M B R E S D E C A R M I C H A E L ( o u P S E U D O - P R E M I E R S ) ( o u P S E U D O - P R E M I E R S ) Prenons 561=3×11×17, qui n’est donc pas premier.
1. Vérifier que 561 est 2-pseudo-premier (c’est-à-dire un nombre de Poulet).
2. Ce nombre est-il 4-pseudo-premier ? 5-pseudo-premier ?
3. Écrire un algorithme pour tester si 561 est a-pseudo-premier pour a allant de 2 à 560 avec a≠3, a≠11, a≠17 (on ne prend pas ces trois nombres ni leurs multiplescar alors a et 561 ne sont pas premiers entre eux).
Ces nombres sont aujourd’hui nommés nombres de Carmichael, qui les a étudiés en 1912 (bien que A. Korselt en ait parlé le premier dans un article de 1899, passé inaperçu). Par définition, ce sont les nombres n qui trompent le test de Fermat pour toutes les valeurs de a pour lesquelles il est envisageable qu’il soit trompé.
Il y a 7 nombres de Carmichael inférieurs à 10 000 : 561 ; 1105 ; 1729 ; 2465 ; 2821 ; 6601 ; 8911.
Entre 10 000 et 100 000, on en trouve 9 autres.
Il en existe 105 212 inférieurs à 1015.
En 1992 (parution en 1994), W. Alford, A. Granville et C. Pomerance ont résolu une énigme qui a préoccupé de nombreux chercheurs : ils ont montré qu’il existe une infinité de nombres de Carmichael, et qu’ils sont tous impairs.
En revanche, on ignore toujours si, pour tout k fixé, il existe des nombres de Carmichael ayant exactement k facteurs premiers distincts, et s’il existe une infinité de nombres de Carmichael ayant exactement trois facteurs premiers.
En 2013, Thomas Wright a démontré qu’il existe une infinité de nombres de Carmichael dans toute suite arithmétique (an+b) où pgcd(a , b)=1.
L E S N O M B R E S D E M E R S E N N E L E S N O M B R E S D E M E R S E N N E
A ce jour (février 2017), les sept plus grands nombres premiers connus sont :
Tous ces records sont de la forme 2n−1. Ce n’est pas un hasard : les grands nombres premiers sont souvent recherchés sous cette forme car il existe un test efficace (le test de primalité de Lucas-Lehmer, voir plus bas) pour déterminer si un tel nombre est premier ou non.
U n p r e m i e r r é s u l t a t q u i r é d u i t c o n s i d é r a b l e m e n t l e s p o s s i b i l i t é s U n p r e m i e r r é s u l t a t q u i r é d u i t c o n s i d é r a b l e m e n t l e s p o s s i b i l i t é s
1. Vérifier que, pour tout entier n ∈ℕ* : an−1=(a−1)(an−1+an−2+…+a2+a+1). 2. En déduire que si n n’est pas premier, alors Mn n’est pas premier.
3. Que donne la contraposée de ce résultat ? ………
U n t h é o r è m e q u i a f f i n e e t p e r m e t d e c o n c l u r e a s s e z r a p i d e m e n t U n t h é o r è m e q u i a f f i n e e t p e r m e t d e c o n c l u r e a s s e z r a p i d e m e n t
Pour trouver les nombres premiers de Mersenne, le théorème suivant, dû à Fermat, est très utile :
Un diviseur premier d’un nombre de Mersenne Mp=2p−1 (avec p premier, p>2) est toujours de la forme 2k p+1.
D é
m o n s t r a t i o n
Soit p un nombre premier, p>2.
Supposons que Mp admette un diviseur premier d avec d>2. On note I l’ensemble des entiers n ∈ ℕ* tels que 2n ≡ 1 [d].
1. Justifier que I n’est pas vide puis qu’il admet un plus petit élément p0 et que p0>1 . 2. En écrivant la division euclidienne de n par p0, montrer que p0 divise tout élément de I.
En déduire que p=p0.
3. Montrer que p0 divise d−1, puis qu’il existe un entier naturel k tel que d=2k p+1. Nombre Nombre de chiffres Année
277 232 917– 1 23 249 425 2018
274 207 281– 1 22 338 618 2016
257 885 161 – 1 17 425 170 2013
Nombre Nombre de chiffres Année
243 112 609 – 1 12 978 189 2008
242 643 801 – 1 12 837 064 2009
237 156 667 – 1 11 185 272 2008
232 582 657 – 1 9 808 358 2006
A p p l i c a t i o n s
Grâce à ce théorème, on trouve assez rapidement ceux des nombres de Mersenne Mp qui sont premiers.
Par exemple, pour étudier la primalité de M13=213−1=8191, il suffit de tester si ce nombre est divisible par un nombre premier de la forme 2×13k+1 inférieur à
√
8 191≈90,504.Les nombres de la forme 26k+1 inférieurs à 91 sont 27, 53 et 79.
Seuls 53 et 79 sont premiers. Comme aucun de ces deux nombres ne divise M13, on peut s’arrêter et conclure que M13 est premier.
Prenons l’exemple d’un autre nombre de Mersenne, M11=2 047.
Avec la même méthode que celle utilisée ci-dessus, tester la primalité de M19 et M23.
T e s t d e L u c a s - L e h m e r T e s t d e L u c a s - L e h m e r
Ce test fut originellement développé par Édouard Lucas en 1878 et amélioré de façon notable par Derrick Henry Lehmer dans les années 1930.
Il permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier.
TEST DE LUCAS-LEHMER POUR LES NOMBRES DE MERSENNE TEST DE LUCAS-LEHMER POUR LES NOMBRES DE MERSENNE
On note (un) la suite définie par u0=4 et pour tout entier naturel n : un+1=un2−2.
Si n⩾2, le test permet d’affirmer que : Mn est premier ⇔ un −2 ≡ 0 [Mn].
1. Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne M5 est premier.
2. Soit n⩾3.
L’algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne Mn est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer.
Compléter cet algorithme, et éventuellement le programmer.
MM6 76 7 : : uun e d é m o n s t r a t i o n s i l e n c i e u s en e d é m o n s t r a t i o n s i l e n c i e u s e
Au XVIIe siècle, le père Mersenne affirma que 267 – 1 est un nombre premier, ce qu’on crut vrai pendant 250 ans.
Lors d’une réunion de la Société américaine de mathématiques en 1903, Frank Nelson Cole, de l’Université Columbia, était annoncé pour une conférence intitulée « Sur la factorisation des grands nombres ».
Eric Temple Bell, qui assistait à la séance, raconte :
« Cole - qui n’était pas un homme bavard - s’avança vers le tableau, écrivit soigneusement les puissances de 2 jusqu’à la soixante-septième, retira 1 à cette dernière, ce qui donna le monstrueux résultat 147 573 952 589 676 412 927. Puis il gagna une partie propre du tableau et, toujours sans un mot, calcula le produit 193 707721×761 838 257 287.
[ndlr : environ une heure de calculs]
Les deux résultats coïncidaient. La conjecture de Mersenne, si c’en était une, tombait dans les limbes de la mythologie mathématique. Pour la première fois, une assemblée de la Société américaine de mathématiques applaudit vigoureusement un conférencier. Cole retourna à son siège sans prononcer un seul mot. Personne ne lui posa de questions. »
Plus tard, Cole admit que cette factorisation lui avait pris « trois ans de dimanches ».
Figure centrale de la vie intellectuelle du XVIIe siècle, Marin Mersenne (1588 - 1648) fait ses études chez les oratoriens du Mans, puis chez les jésuites au collège de La Flèche (où étudiera aussi Descartes), avant de prendre l’habit des minimes (ordre qui doit son nom au désir de ses moines d’être les plus humbles des serviteurs de Dieu). Il enseigne la philosophie à Nevers, puis s’établit à Paris.
Il y publie divers ouvrages de sciences et de philosophie, dont celui-ci, au titre charmant : L 'impiété des déistes, athées et libertins, renversée et confondue. En dépit de cette attaque contre les libres penseurs, il défend la théorie de Galilée contre les critiques théologiques et s’oppose vigoureusement à l’alchimie et à l’astrologie, qu’il dénonce comme pseudosciences.
Le père Mersenne entretient une correspondance avec les plus grands savants de son époque : Descartes, Pascal, Torricelli, Gassendi, Hobbes, Huygens, Roberval, etc. Après sa mort, on trouvera dans ses affaires des lettres de 78 savants.
Il est le premier à utiliser le pendule pour mesurer l’intensité de la pesanteur (qui est, en première approximation, inversement proportionnelle au carré de la période du battement).
Ce touche-à-tout, bien de son époque, conçoit également un hygromètre et un télescope à miroir parabolique, mesure la vitesse du son et découvre la loi des tuyaux sonores et des cordes vibrantes : il comprend ainsi le rapport entre la hauteur des notes de la gamme musicale et la fréquence.
Mersenne s’est bien sûr intéressé aux mathématiques et, notamment, à la primalité des nombres de la forme 2p–1. Ces nombres étaient déjà connus d’Euclide, mais ils sont désignés depuis le XVIIe siècle sous le nom de nombres de Mersenne, et notés Mp.
L’ecclésiastique français énonce en effet à leur sujet une conjecture qui fera couler beaucoup d’encre : en 1644, il affirme que Mp=2p−1 est un nombre premier pour p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, et composé pour les autres exposants jusqu’à 257. En 1732, Leonhard Euler pense allonger la liste en affirmant que M41 et M47 sont des nombres premiers, mais il se trompe. En 1883, I. Pervushin trouve une première erreur dans la liste de Mersenne : il prouve que M61, absent de la liste, est premier. Quatre autres erreurs seront découvertes par la suite : M67 et M257 ne sont pas premiers, alors que M89 et
M107, absents de la liste, le sont.
Aujourd’hui, on ignore toujours si, parmi les nombres de Mersenne, une infinité sont premiers.
On ignore également s’il existe une infinité de nombres de Mersenne composés.
Bien sûr, l’une au moins de ces deux affirmations est vraie, probablement les deux.
A n e c d o t e A n e c d o t e
Ronald Graham, des Laboratoires Bell, raconte qu’il a connu un mathématicien qui ne dormait avec son épouse que les jours du mois dont le numéro est un nombre premier : « En début de mois, c’est assez bien - deux, trois, cinq, sept -, mais ça devient plus difficile vers la fin, quand les nombres premiers se raréfient : 19, 23, et le grand saut jusqu’à 29. Ce type était sérieusement frappé. Il est d’ailleurs en prison pour une peine de 20 ans dans le pénitencier de l’Oregon pour kidnapping et tentative de meurtre. »
En mathématiques, la spirale d’Ulam est une méthode simple pour la représentation des nombres premiers qui révèle un motif qui n’a jamais été pleinement expliqué.
Elle fut découverte par le mathématicien Stanislaw Marcin Ulam, lors d’une conférence scientifique en 1963 : Ulam se trouva coincé, contraint d’écouter « un exposé très long et très ennuyeux ».
Il passa son temps à crayonner et se mit à gribouiller des entiers consécutifs, commençant par 1 au centre, dans une espèce de spirale tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Il obtient une grille régulière de nombres, démarrant par un 1 au centre, et spiralant vers l’extérieur puis entoura tous les nombres premiers, il obtint alors l’image suivante :
À sa surprise, les nombres entourés tendaient à s’aligner le long de lignes diagonales. L’image suivante illustre ceci. C’est une spirale d’Ulam de 200 × 200, où les nombres premiers sont noirs. Les diagonales noires sont clairement visibles.
Ces alignements correspondent à des polynômes du seconde degré du type : y=a x2+b x+c.
Sources :
Merveilleux nombres premiers, J.-P. Delahaye, éd. Belin Pour la Science (2ème édition, 2012) MATH'x, manuel scolaire, éd. Didier, Tle S spécialité (2016)
http://villemin.gerard.free.fr Wikipedia
