Ann
´ee 2018
- 2019
Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2018-2019 Faculté des Sciences Exactes Examen de Topologie
Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes
07/02/2019
Questions de cours (5 points):
1. Rappeler l’énoncé du théorème de Baire.
2. En utilisant le théorème de Baire, montrer que l’ensemble R des nombres réels n’est pas dénombrable.
3. Etant donnén PN˚, montrer par un calcul direct que les deux normes} ¨ }1 et} ¨ }2duR-espace vectoriel Rn sont équivalentes.
Exercice 1 (8 points) :
Pour ce qui suit, on note par dus la distance usuelle de s0,1s (i.e., la distance induite sur s0,1s de la distance usuelle deR). Définissons :
d: s0,1s2 ÝÑ R`
px, yq ÞÝÑ dpx, yq:“ 1´xy
p1`x2qp1`y2q|x´y| .
1. Montrer que d est une distance sur s0,1s.
2. Montrer que d etdus sont topologiquement équivalentes mais qu’elles ne sont pas équivalentes.
3. Montrer que l’espace métrique ps0,1s, dq n’est pas complet.
Exercice 2 (7 points) :
Soient pE, dq un espace métrique et f : E ÑE une application lipschitzienne d’un certain rapport ką0. On définit :
F :“ txPE : fpxq “xu.
1. Montrer que F est une partie fermée de E.
2. Donner (en justifiant) des conditions suffisantes sur E et sur k pour que F soit non vide.
3. Soit
h: pE, dq ÝÑ pR, dusq
x ÞÝÑ hpxq:“dpx, fpxqq (où dus désigne la distance usuelle deR).
(a) Montrer que h est lipschitzienne en précisant son rapport.
(b) En supposant que F “ H et que E est compact, montrer qu’il existe α ą0 pour lequel on ait :
hpxq ě α p@xPEq.
Bon travail B. Farhi
Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2018-2019 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage
de Topologie
Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes
14/09/2019
Exercice 1 (10 points) : Espaces topologiques
Soit τ la famille constituée de parties U de R qui satisfont l’une ou l’autre des deux conditions suivantes :
(i) 0RU; (ii) r0,1s ĂU.
1. Montrer que τ constitue une topologie sur R.
2. (a) Caractériser les parties fermées de l’espace topologiquepR, τq.
(b) Caractériser les parties de R qui sont ouvertes et fermées à la fois dans pR, τq. 3. Montrer que l’espace topologique pR, τq n’est pas séparé.
4. Montrer que l’application :
f : pR, τq ÝÑ pR, τq x ÞÝÑ x
2 est continue. Est-elle un homéomorphisme ? Justifiez.
Exercice 2 (10 points) : Espaces métriques
Soient E :“s1,`8r et d:E2 ÑR` l’application définie par :
dpx, yq :“ |x´y|
px´1qpy´1q p@x, y PEq.
1. Montrer que d constitue une distance sur E.
2. Montrer que l’espace métrique pE, dqn’est pas complet.
3. Soient F :“s1,2s etd1 la distance induite de la distance d deE surF. (a) Montrer que l’espace métrique pF, d1q est complet.
(b) Montrer que pF, d1q n’est pas compact.
(c) Montrer que l’application :
f : pF, d1q ÝÑ pF, d1q
x ÞÝÑ 12xpx´1q `1 est lipschitzienne tout en précisant son rapport.
Bon travail B. Farhi
