A nn´ee 2018-2019

(1)

Ann

´ee 2018

- 2019

(2)

Sà‹mè´d˚iffl, 1 ¯jˇu˚i‹nffl 2019

Interrogation d’Arithm´etique Ann´ee 2018-2019 (M1 Analyse)

L’˚u¯sfià`gé `dffl’˚u‹nè `cá˜lćˇu˜lá˚tˇr˚i`cé è˙sfi˚t ”nò“nffl à˚u˚tó˘r˚i¯sfi`é Dur´ ee : 1 heure

Exercice 1 (8 points) : On consid`ere dans Z

²

l’´equation diophantienne lin´eaire :

107 x − 132 y = 8. (⋆)

1. (a) Montrer que l’´equation (⋆) poss`ede des solutions dans Z

²

. (b) En utilisant l’algorithme d’Euclide (ou sa variante due ` a Blankinship), d´eterminer une solution particuli`ere pour (⋆) dans Z

²

.

2. R´esoudre (⋆) dans Z

²

.

3. Dans un plan muni d’un repère orthonormé, déterminer les points (x, y) ∈ Z

²

, solutions de (⋆), qui sont les plus proches de la droite ∆ d’´equation : y =

³₄

x + 10. Pr´eciser la va- leur commune des distances de ces points par rapport ` a cette droite.

Exercice 2 (6 points) : Déterminer les 3 derniers chiffres (i.e. les 3 chiffres ` a l’extrême droite) du nombre

127

²⁰⁷

(relativement au syst`eme d´ ecimal bien entendu).

Bon travail

B. Farhi

(3)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2018-2019 Faculté des Sciences Exactes Examen d’Arithmétique

Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes

23/06/2019

L’˚u¯sfià`gé `dffl’˚u‹nè `cá˜lćˇu˜lá˚tˇr˚i`cé è˙sfi˚t ”nò“nffl à˚u˚tó˘r˚i¯sfi`é

Exercice 1 (8 points) :

Considérons l’équation diophantienne linéaire :

47x+ 53y = 199221. (⋆)

1. En utilisant la méthode des congruences, résoudre (⋆) dans Z².

2. Déterminer le nombre exacte de solutions (x, y)de(⋆)telles que x etysoient des entiers strictement positifs et comportent le même nombre de chiﬀres dans leurs représentations décimales.

3. Déterminer les solutions (x, y)∈Z² de(⋆)pour lesquelles la quantité |x−y+ 8| est minimale.

Préciser cette valeur minimale.

Exercice 2 (7 points) : Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Montrer, en utilisant la méthode de la descente infinie, que l’équation diophantienne : x³+ 2y³+ 4z³ = 2(

x²y+ 2y²z+ 2z²x)

(1) n’a pas de solution dansZ^∗3.

2. Montrer, en utilisant une méthode de votre choix, que l’équation diophantienne :

x³+ 18y³ = 9xy³ (2)

n’a pas de solution dansZ², autre sa solution triviale (0,0).

Soient a etb deux entiers≥2 tels que : a est pair,b est impair et b divise a. On pose : n := a^b+ 1.

1. Montrer que n est composé (i.e. n n’est pas premier).

2. Montrer que n satisfait la congruence :

aⁿ ≡ a[n].

3. Application : Donner un exemple d’un nombre composé n qui satisfait la congruence : 6ⁿ ≡6[n].

(4)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2018-2019 Faculté des Sciences Exactes Examen de remplacement^∗

d’Arithmétique

03/07/2019

Soit p un nombre premier. Considérons l’équation diophantienne linéaire : ((p−1)! + 1)

x+(

(p−2)!−1)

y = p^p. (⋆)

1. Montrer que (⋆) possède des solutions dans Z².

2. Etant donnée (x0, y0) une solution particulière de (⋆) dans Z², donner la forme générale des autres solutions de(⋆)dans Z².

3. Montrer que pour p assez grand, l’équation (⋆) possède au plus une solution dans N². + Vous pouvez utiliser la formule de Stirling : n!∼+∞nⁿe⁻ⁿ√

2πn.

Montrer qu’il existe une infinité d’entiersn ≥2qui vérifient la propriété arithmétique : n(n−1) divise (2ⁿ−n+ 2).

Montrer que l’équation diophantienne :

x³+y³ = 4xy(x+y) + 2 n’a pas de solution dansZ².

Bon travail B. Farhi

∗. Les étudiants qui ont raté leur examen pour une raison acceptable ont le droit de passer un examen de remplacement. Toutefois, pour ne pas encourager les étudiants à s’absenter à leurs examens lorsqu’ils n’ont pas bien révisé leurs cours par exemple, on donne un examen de remplacement plus diﬃcile que le premier examen !

(5)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2018-2019 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage

d’Arithmétique

21/09/2019

Considérons dans Z² l’équation diophantienne linéaire :

1116x−1111y = 8979. (⋆)

1. Montrer que l’équation (⋆)possède des solutions dans Z². 2. Résoudre (⋆)dans Z² en utilisant une méthode de votre choix.

3. Déterminer les solutions (x, y) ∈ Z² de (⋆) pour lesquelles la quantité |x−y| est minimale.

4. Montrer qu’il existe une infinité de solutions (x, y)∈Z² de (⋆) telles quex soit un multiple de 5et y soit un multiple de 11.

En utilisant la méthode de la descente infinie, montrer que l’équation diophantienne : x² = 2y⁴(5z+ 1)

n’a pas de solution dansZ^∗3. Exercice 3 (6 points) :

Pour ce qui suit, n est un entier strictement positif qui vérifie la congruence : 3ⁿ ≡ 172 [n].

1. Montrer que n ne peut être ni un multiple de 2, ni un multiple de3, ni un multiple de 43.

2. Si n est un nombre premier, déterminer n.

3. Si n est de la forme 5p (avecp est un nombre premier diﬀérent de5), déterminer n.

(6)

Ann

´ee 2017

- 2018

(7)

Jéˇu`d˚iffl, 17 ”mà˚iffl 2018

Interrogation d’Arithm´etique Ann´ee 2017-2018 (M1 Maths)

L’˚u¯sfià`gé `dffl’˚u‹nè `cá˜lćˇu˜lá˚tˇr˚i`cé è˙sfi˚t ”nò“nffl à˚u˚tó˘r˚i¯sfi`é

Dur´ ee : 1 heure

Exercice 1 (9 points) : On consid` ere dans Z

²

l’´ equation diophantienne lin´ eaire :

4072 x − 3959 y = 2 (⋆)

1. En utilisant l’algorithme d’Euclide (ou sa variante due ` a Blankin- ship), d´ eterminer une solution particuli` ere pour (⋆) dans Z

²

. 2. R´ esoudre (⋆) dans Z

²

.

3. Dans un plan muni d’un rep` ere orthonorm´ e, d´ eterminer le point (x, y) ∈ Z

²

, solution de (⋆), qui soit le plus proche de la droite ∆ d’´ equation : y = x − 1. Pr´ eciser la valeur de la distance de ce point par rapport ` a cette droite.

4. Lorsque (x, y) ∈ N

^∗²

est solution de (⋆), quelles sont les valeurs possibles pour le nombre pgcd(x, y) ? Justifier.

Exercice 2 (5 points) : Montrer que l’´ equation diophantienne : 15 x

²

− 7 y

²

= 9

n’a pas de solution dans Z

²

.

(8)

03/06/2018

67x+ 62y = 20090 (⋆)

1. En utilisant une méthode de votre choix, résoudre (⋆) dans Z². 2. Déterminer les solutions de (⋆) dans N².

3. Déterminer les solutions (x, y) ∈ Z² de (⋆) pour lesquelles la quantité |x−2y| est minimale.

Pour ce qui suit, n est un entier strictement positif qui vérifie la congruence : 2ⁿ ≡ 4 [n].

1. Montrer que si n est un nombre premier alors on a forcément n= 2.

2. On suppose dans cette question que n est de la forme n = 4p, avec p est un nombre premier impair.

— Déterminern.

3. On suppose dans cette question que n est de la forme n = pq, avec p et q sont des nombres premiers impairs et distincts.

— Montrer que le nombre(2^p+q−8) est un multiple den.

En utilisant la méthode de la descente infinie, montrer que l’équation diophantienne : x³+ 2y³+ 4z³ = 9t⁶

n’a pas de solution dansZ⁴, autre sa solution triviale (0,0,0,0).

(9)

d’Arithmétique

28/06/2018

29x+ 18y = 1445 (⋆)

1. En utilisant des congruences, résoudre (⋆) dans Z². 2. Déterminer les solutions de (⋆) dans N².

3. Dans un plan muni d’un repère orthonormé, déterminer les points (x, y)∈Z², solutions de (⋆), qui soient les plus proches de la droite∆d’équation :y= ³₄x. Préciser la valeur (commune) de la distance de chacun de ces points par rapport à cette droite.

4. Déterminer la forme générale des solutions (x, y)∈Z² de(⋆) pour lesquelles x est un multiple de11et y est un multiple de 7.

En utilisant la méthode de la descente infinie, montrer que l’équation diophantienne : 2x⁶+ 3y⁶ = 7z³

n’a pas de solution dansZ³, autre sa solution triviale (0,0,0).

Soit A l’ensemble des entiers strictement positifs n qui satisfont la propriété :

« n divise (2ⁿ+ 1)» . 1. Expliquer pourquoi A est non vide.

2. Montrer que A contient un unique nombre premier que l’on demande de préciser.

3. (a) Montrer que si n∈A alors 3n ∈A. (b) En déduire que A est infini.

(10)

Ann

´ee 2016

- 2017

(11)

Jéˇu`d˚iffl, 8 ¯jˇu˚i‹nffl 2017

Interrogation d’Arithm´etique Ann´ee 2016-2017

Dur´ ee : 1 heure

Exercice 1 : On consid` ere l’´ equation diophantienne lin´ eaire :

3 x + 7 y = 20005 (⋆)

1. En utilisant la m´ ethode de votre choix, r´ esoudre (⋆) dans Z

²

. 2. D´ eterminer le nombre exacte de solutions (x, y) de (⋆) telles que

x et y soient des entiers strictement positifs et comportent le mˆ eme nombre de chiﬀres dans leurs repr´ esentations d´ ecimales.

3. Soit S l’ensemble des couples (x, y) ∈ Z

²

qui sont solutions de (⋆) et tels que (x − y) soit un multiple de 11.

(a) D´ eterminer la forme g´ en´ erale des couples de S.

(b) D´ eterminer les couples (x, y) de S pour lesquels la quantit´ e

| x − y | est minimale.

Exercice 2 : En utilisant la m´ ethode de la descente infinie, montrer que l’´ equation diophantienne

2 x

³

+ 3 y

³

= 7 z

⁶

n’a pas de solution dans Z

³

, autre la solution triviale (0, 0, 0).

Bon travail

B. Farhi

(12)

Département de Mathématiques Durée : 2 heures

11/06/2017

Pour ce qui suit, a désigne un paramètre entier. Considérons, dans Z², l’équation diophantienne (dépendant de a) suivante :

8948x−8704y = 6a+ 2 (⋆)

Partie I :

— Quelle est la condition que doit vérifiera pour que l’équation (⋆) possède des solutions dansZ²? Partie II :Dans toute cette partie, on prend a = 1.

1. Simplifier (⋆) puis, en utilisant l’algorithme d’Euclide (ou la méthode de Blankinship), déter- miner une solution particulière pour(⋆)dans Z².

2. Résoudre (⋆)dans Z².

3. Dans un plan muni d’un repère orthonormé, soit S l’ensemble des points (x, y)∈ Z² qui sont solutions de l’équation (⋆) et soit (∆) la droite d’équation : y=x+ 25.

— Déterminer le point A de S qui soit le plus proche de (∆), en précisant la valeur de la distancedist(A,(∆)).

On considère l’équation diophantienne :

x²−9y²+ 4x+ 6y−2 = 0 (I)

1. Résoudre (I) dans Z². 2. Résoudre (I) dans Q². Exercice 3 (6 points) :

Soit p un nombre premier≥5. On définit :

n := 4^p−1 3 . 1. Montrer que n est un entier strictement positif.

2. Montrer que n est composé (c’est-à-dire qu’il n’est pas premier).

3. (a) Montrer que n est impair.

(b) Montrer que l’on a : n≡1[p].

(c) En déduire que n est de la forme 2kp+ 1 (k ∈N).

(d) En se basant sur le résultat de la question (c), montrer que n vérifie la congruence^∗ : 2ⁿ ≡ 2[n].

∗. Un entier naturel composé qui vérifie une telle congruence s’appelle « un nombre pseudo-premier ».

(13)

d’Arithmétique

26/09/2017

Considérons, dansZ², l’équation diophantienne suivante :

104x−97y = 6 (⋆)

1. En utilisant l’algorithme d’Euclide (ou la méthode de Blankinship), déterminer une solution particulière pour (⋆) dans Z².

2. Résoudre (⋆)dans Z².

3. Dans un plan muni d’un repère orthonormé, soit S l’ensemble des points (x, y)∈ Z² qui sont solutions de l’équation (⋆) et soit (∆) la droite d’équation : y= ¹⁴₁₃(x−8).

— Déterminer le point A de S qui soit le plus proche de (∆), en précisant la valeur de la distancedist(A,(∆)).

En utilisant la méthode de la descente infinie, montrer que l’équation diophantienne :

x⁴+y⁴ = 5z⁸ (I)

n’a pas de solution dansZ³, autre la solution triviale (0,0,0).

Soit p un nombre premier impair. On définit :

n := 9^p−1 8 . 1. Montrer que n est un entier strictement positif.

2. Montrer que n est composé (c’est-à-dire qu’il n’est pas premier).

3. (a) Montrer que n est impair.

+ Utiliser le fait que p est impair, puis la congruence modulo 16.

(b) Montrer que l’on a : n≡1[p].

(c) En déduire que n est de la forme 2kp+ 1 (k ∈N).

(d) En se basant sur le résultat de la question (c), montrer que n vérifie la congruence^∗ : 3ⁿ ≡ 3[n].

(14)

Ann

´ee 2015

- 2016

(15)

Département de Mathématiques Durée : 2 heures

21/06/2016

Considérons, dansZ², l’équation diophantienne :

4181x−4069y = 18 (⋆)

1. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière pour l’équation (⋆) après avoir montrer qu’elle possède des solutions dans Z².

2. Résoudre (⋆) dansZ².

3. Déterminer les solutions (x, y)∈Z² de l’équation (⋆) pour lesquelles la quantité |x−y−2| est minimale. Préciser cette valeur minimale.

En utilisant la méthode de la descente infinie, montrer que l’équation diophantienne : x⁴+ 5y⁴ = 2z⁴

Soit p un nombre premier ayant la forme :p= 8k+ 3 (aveck ∈N).

I. Montrer qu’il existe a∈Z tel que :a² ≡ −2[p].

Pour toute la suite, on fixe un tel a.

II. Posons r :=⌊√p⌋ (où ⌊·⌋ est le symbole de la partie entière) et définissons : E :={0,1, . . . , r}.

1. Montrer qu’il existe deux couples distincts (x, y) et(x^′, y^′) deE² pour lesquels les deux entiers (x+ay) et (x^′+ay^′)ont le même reste modulo p.

2. En déduire qu’il existe (u, v)∈ Z², avec |u| ≤ r, |v| ≤r et (u, v)̸= (0,0) tel que l’entier (u+av) soit un multiple de p.

3. Soit(u, v)∈Z² comme dans la question précédente.

a) Montrer que le nombre entier (u²+ 2v²) est un multiple de p.

b) En déduire que : (u²+ 2v²)∈ {p,2p}.

c) Conclure que le nombre premier ppeut s’écrire sous la forme : p=α²+ 2β²,

avec α, β ∈N.

(16)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2015-2016

Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Arithmétique Département de Mathématiques Durée : 2 heures

27/09/2016

Considérons, dansZ², l’équation diophantienne :

606x−262y = 2 (⋆)

1. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière pour l’équation (⋆) après avoir montrer qu’elle possède des solutions dans Z².

2. Résoudre (⋆) dans Z².

3. Déterminer la solution (x, y) ∈ Z² de l’équation (⋆) pour laquelle la quantité x 4 − y

10 + 1 est minimale. Préciser cette valeur minimale.

En utilisant la méthode de la descente infinie, montrer que l’équation diophantienne : x⁶+ 7y⁶ = 3z⁶

1. Montrer que pour tout nombre premier p >3, on a : (−3

p )

= (p

3 )

,

où (^·_·) désigne le symbole de Legendre.

2. En déduire qu’étant donné n ∈ Z, tout diviseur premier p > 3 du nombre (n² + 3) est de la forme (3k+ 1) (k∈N^∗).

3. En déduire qu’étant donné n∈Z, tout diviseur impair (positif) du nombre (n²+ 3) est congru à 0ou à 1 modulo 3.

4. En déduire que l’équation diophantienne :

(x−1)(x²+ 1) = y²+y+ 1 n’a pas de solution à coordonnées entières.

(17)

Ann

´ee 2014

- 2015

(18)

Université A. Mira de Béjaia Faculté de Sciences Exactes Département de Mathématiques

Le 16 juin 2015

Interrogation d’Arithmétique (Master 1 Maths) Durée : 1h

Exercice 1 (8 points). Considérons l’équation diophantienne :

100 x + 85 y = 16960 (1)

1. Montrer que l’équation (1) possède des solutions dans Z

²

(sans la résoudre).

2. Simplifier puis résoudre l’équation (1) dans Z

²

.

3. Déterminer toutes les solutions de l’équation (1) dans N

²

. Combien y en a t-il ?

4. Déterminer la solution (x , y ) ∈ Z

²

de l’équation (1) pour laquelle la quantité

| x − y | est minimale. Quelle est alors cette valeur minimale ?

Exercice 2 (6 points). Soient p et q deux nombres premiers impairs distincts et n = 2pq.

1. Montrer que n est pseudo-premier

¹

si et seulement si l’on a : 2

^2p⁻¹

≡ 1[q] et 2

^2q−¹

≡ 1[p].

2. En déduire que si n est pseudo-premier alors p et q sont tous les deux de la forme 8k ± 1 (k ∈ N

^∗

).

Bon travail

B. F

ARHI 1. C’est à dire quenvérifie la congruence : 2ⁿ≡2[n].

(19)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2014-2015 Faculté des Sciences Exactes Examen d’Arithmétique

Département de Mathématiques Durée : 2 heures

16/06/2015

Lè˙s èˇr˚rèˇu˚r¯s `dè `cá˜lćˇu˜l ¯sfiò“n˚t ˚i‹m¯pà˚r`dò“n‹nà˜b˝lé˙s

Exercice 1 (5 points):

Le problème suivant est inspiré du livre du mathématicien arabe ABUKAMIL^∗, qui s’intitule “le livre des volatiles” (

Q ¢Ë@ H.AJ»

). Voici son énoncé en arabe :

éKAÓ ½JË@ © ¯Y ¯ ,ÑëPYK. áJk.Ag.X ð ÑëPYK. Q ¯A« éÔ g ð Ñë@PX éJ. é¢.

. ¬QåJK Jº ¯ . ¬A J B@ è Yë áÓ QKA£ éKAÓ AîE. øQ @ ½Ë ÉJ¯ ð ÑëPX

Et voici sa traduction en français :

On veut acheter pour cent dirhams cent volatiles de trois espèces : canards, poules et moineaux. Sachant qu’un canard vaut six dirhams, deux poules valent un dirham et cinq moineaux valent un dirham, combien doit-on acheter de volatiles de chaque espèce avec la somme donnée ?

Considérons l’équation diophantienne :

y² = x²+3x+2 (⋆)

1. Résoudre (⋆) dansQ²en utilisant la méthode de Diophante.

2. Montrer que (⋆) n’a pas de solution dansN².

3. (a) Montrer que si un couple (x,y)∈Z²est une solution de (⋆) alors les deux couples (x,|y|) et (−x−3,|y|) sont aussi des solutions de (⋆) dansZ².

(b) En déduire les solutions de (⋆) dansZ². Exercice 3 (4 points):

En utilisant la méthode de la descente infinie, montrer que l’équation diophantienne :

x³+7y³ = 2z³ (1)

n’a pas de solution (x,y,z)∈Z³, autre la solution triviale (0, 0, 0).

∗. ABUKAMIL(

¨Am. áK. YÒm× áK. ÕÎ@ áK. ¨Am. ÉÓA¿ ñK.@

) : Mathématicien arabe d’Egypte, né vers 850 et mort vers 930.

On lui doit en particulier l’algébrisation de l’arithmétique.

(20)

1. Calculer les symboles de Legendre suivants : ( 2

157 )

, ( 7

157 )

et

(126 157 )

. 2. En déduire que la congruence :

x²−x−8 ≡ 0[157]

possède des solutions dansZ(on ne vous demande pas de trouver ces solutions).

N.B :Le nombre 157 est premier.

Bon travail B. FARHI

2/2

(21)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2014-2015

Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Arithmétique

Département de Mathématiques Durée : 1h30mn 16/12/2015

Lè˙s èˇr˚rèˇu˚r¯s `dè `cá˜lćˇu˜l ¯sfiò“n˚t ˚i‹m¯pà˚r`dò“n‹nà˜b˝lé˙s

Exercice 1 (5 points): Problème de volatiles

On dispose de cent dirhams et on veut acheter cent volatiles de trois espèces : canards, poules et moineaux. Sachant qu’un canard vaut six dirhams, deux poules valent un dirham et sept moineaux valent un dirham, combien doit-on acheter de volatiles de chaque espèce ?

N. B :La somme d’argent dont on dispose doit être entièrement dépensée.

Exercice 2 (4 points): Résidus quadratiques

1. Calculer les symboles de Legendre suivants : (−1

307 )

, ( 2

307 )

, ( 5

307 )

et (−90

307 )

.

2. En déduire que la congruence :

x²+301x+99 ≡ 0[307]

n’a pas de solution dansZ. N.B :Le nombre 307 est premier.

Exercice 3 (11 points): Equations diophantiennes

I. En utilisant la méthode de la descente infinie, montrer que l’équation diophantienne :

2x³+7y³ = 3z³ (1)

n’a pas de solution (x,y,z)∈Z³, autre la solution triviale (0, 0, 0).

II. On considère l’équation diophantienne (dite de Pell) :

x²−2y² = 1 (2)

1. Résoudre l’équation (2) dansQ²en utilisant la méthode de Diophante.

2. Soient (a_n)_n∈Net (b_n)_n∈Nles deux suites d’entiers naturels définies par l’identité : an+bn

p2 = ( 3+2p

2 )_n

(∀n∈N).

(a) Calculera₀,b₀,a₁,b₁,a₂,b₂.

(b) Pour toutn∈N, exprimera_n+1etb_n+1en fonction dea_netb_n.

(c) Montrer que pour toutn∈N, le couple (a_n,b_n) est une solution de l’équation (2).

(d) En déduire que (2) possède une infinité de solutions dansN². Donner 4 de ces solutions.

(22)

Ann

´ee 2013

- 2014

(23)

Université A. Mira de Béjaia Faculté de Sciences Exactes Département de Mathématiques

Le 11 mai 2014

Interrogation d’Arithmétique (Master 1 Maths) Durée : 1h

Exercice 1 (9 points). On donne la décomposition du nombre 2014 en produit de nombres premiers :

2014 = 2 × 19 × 53 . On considère l’équation diophantienne linéaire :

58x + 34y = 2014 ( ⋆ )

1. Justifier pourquoi ( ⋆ ) possède des solutions dans Z

²

. 2. Simplifier puis résoudre ( ⋆ ) dans Z

²

.

3. Déterminer la solution (x, y ) ∈ Z

²

de ( ⋆ ) pour laquelle la quantité | x − y | est minimale, tout en précisant cette valeur minimale.

4. Résoudre ( ⋆ ) dans N

²

.

5. Lorsque (x, y ) ∈ Z

²

est solution de ( ⋆ ), quelles sont les valeurs possibles pour le nombre pgcd(x , y ) ?

Exercice 2 (5 points). Montrer que l’équation diophantienne : x

²

+ 3y

²

= 2z

²

n’a pas de solution à coordonnées entières, autre la solution triviale (0, 0, 0).

(24)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2013-2014 Faculté des Sciences Exactes Examen d’Arithmétique

Département de Mathématiques Durée : 2 heures 25/05/2014

On donne la décomposition du nombre 2015 en produit de nombres premiers : 2015 = 5×13×31 .

On considère l’équation diophantienne linéaire :

45x+85y = 2015 (1)

1) Justifier pourquoi (1) possède des solutions dansZ². 2) Simplifier puis résoudre (1) dansZ².

3) Déterminer les solutions (x,y)∈Z² de (1) pour lesquelles la quantité |x−y|est minimale. On demande de préciser cette valeur minimale.

4) Résoudre (1) dansN².

5) Lorsque (x,y)∈Z²est solution de (1), quelles sont les valeurs possibles pour le nombre pgcd(x,y) ? Exercice 2 (5 points):

x²+3y² = 2z² (2)

n’a pas de solution à coordonnées entières, autre la solution triviale (0, 0, 0).

1) Calculer chacun des symboles de Legendre suivants : (−1

181 )

, ( 2

181 )

, ( 5

181 )

et (−10

181 )

. 2) En déduire que la congruence :

x²+4x+14 ≡ 0[181]

n’a pas de solution entière.

Soientpetqdeux nombres premiers, vérifiant :

3p−2q = 1.

— Montrer que le nombrepqdivise le nombre (8^p−8).

Bonne chance B. FARHI

(25)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2013-2014

Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Arithmétique

Département de Mathématiques Durée : 2 heures 14/06/2014

On considère l’équation diophantienne linéaire :

96x+224y = 2016 (1)

1) Justifier pourquoi (1) possède des solutions dansZ². 2) Simplifier puis résoudre (1) dansZ².

3) Déterminer la solution (x,y)∈Z²de (1) pour laquelle la quantité|x−y|est minimale. On demande de préciser cette valeur minimale.

4) Résoudre (1) dansN².

5) Lorsque (x,y)∈Z²est solution de (1), quelles sont les valeurs possibles pour le nombre pgcd(x,y) ? Exercice 2 (5 points):

x²+7y² = 5z² (2)

n’a pas de solution à coordonnées entières, autre la solution triviale (0, 0, 0).

1) Calculer chacun des symboles de Legendre suivants : (−1

197 )

, ( 2

197 )

, ( 7

197 )

et (−14

197 )

. 2) En déduire que la congruence :

2x²+3x+103 ≡ 0[197]

1) Calculer chacun des nombres φ(7), φ(9),φ(32) etφ(2016), oùφ désigne la fonction indicatrice d’Euler.

2) Montrer que pour tout nombre natureln, premier avec 42, on a : n⁴⁸ ≡ 1[2016].

(26)

Ann

´ee 2012

- 2013

(27)

Université A. Mira de Béjaia Faculté de Sciences Exactes Département de Mathématiques

Le 07 janvier 2013

Interrogation d’Arithmétique (Master 1 Maths) Durée : 1h30mn

Exercice 1 : Considérons dans Z

²

l’équation diophantienne :

5x + 4y = 47 (I )

1. Résoudre l’équation (I ) dans Z

²

. 2. Résoudre l’équation (I ) dans N

²

.

3. Déterminer la solution (x , y ) de (I ) pour laquelle la quantité | x + 2 y | est mi- nimale.

Exercice 2 : Montrer qu’aucun terme de la suite :

31 , 331 , 3331 , 33331 , . . . etc

n’est multiple ni de 2, ni de 3, ni de 5, ni de 7, ni de 11, ni de 13 mais il existe une infinité de termes de cette suite qui sont des multiples de 17.

— En déduire que cette suite contient une infinité de nombres composés.

Exercice 3 : Trouver tous les nombres premiers p satisfaisant la propriété :

« p divise (2

^p

+ 13) ».

Exercice 4 : Montrer que la congruence : x

²

≡ 6[167]

possède des solutions entières.

N. B : Le nombre 167 est premier.

(28)

Université A. Mira de Béjaia

Faculté des Sciences Exactes Examen d’Arithmétique

Département de Mathématiques Master 1 Maths 23/01/2013

Exercice1(8 points):

Considérons dansZ²les deux équations diophantiennes :

32x+29y = 1 (I)

32x+29y = 2 (I I)

1. (a) En se servant des congruences, déterminer une solution particulière pour l’équation (I).

(b) En déduire une solution particulière pour l’équation (I I).

2. Expliquer brièvement pourquoi l’équation (I I) n’a pas de solution dansN². 3. Résoudre dansZ²l’équation (I I).

4. Montrer que pour tout (x,y)∈Z², solution de (I I), on a :

|x−y| ≥19 et que cette inégalité est optimale.

Choisir entre 1. et 2.

1. Montrer que 1 est l’unique nombre naturel impair qui satisfait la propriété :

«ndivise (3ⁿ+1) » 2. Montrer que tout nombre naturel impairnsatisfait la propriété :

«ndivise (2^n!−1) »

1. Calculer les symboles de Legendre : ( 2

59 )

, ( 7

59 )

et (14

59 )

x²+x+1 ≡ 0[59]

Pour ce qui suitσdésigne la fonction arithmétique « somme des diviseurs » etζdésigne la fonction zéta de Riemann définie par :

ζ(s) := ∑^∞

n=1

1

n^s (∀s>1).

— Montrer l’identité :

∑∞ n=1

σ(n)

n^s = ζ(s)ζ(s−1) (∀s>2).

Bonne chance B. FARHI

http://farhi.bakir.free.fr/

(29)

Université A. Mira de Béjaia Examen de remplacement Faculté des Sciences Exactes d’Arithmétique

Considérons dansZ²l’équation diophantienne :

7x+4y = 90 (⋆)

1. En utilisant les congruences, résoudre l’équation (⋆) dansZ². 2. Résoudre l’équation (⋆) dansN².

3. Déterminer la solution (x,y)∈Z²de (⋆) pour laquelle la quantité (x²+y²) est minimale.

On demande de préciser cette valeur minimale.

73 )

, ( 3

73 )

et (54

73 )

x²−x+1 ≡ 0[73]

possède des solutions entières.

Montrer que tout nombre naturel impairensatisfait la propriété :

«ndivise 2ppcm(1,2,...,n)−1 » . Exercice4(6 points):

On rappelle que les nombres de Fermat sont les nombres naturels s’écrivant sous la forme : F_n = 2²ⁿ+1 (n∈N).

Le but de cet exercice est de démontrer le théorème suivant :

Théorème (Euler) :Quandn≥2, tout diviseur premierpdeFnest de la forme :p=k2ⁿ⁺²+1 (k∈N).

Pour toute la suite, on suppose quen≥2. Soitpun diviseur premier deF_net e l’ordre de 2 modulop.

1. Montrer que l’on a : e=2ⁿ⁺¹.

2. En déduire, en utilisant le petit théorème de Fermat, quepest de la forme : p = ℓ2ⁿ⁺¹+1 (ℓ∈N).

3. En déduire de la question précédente que l’on a : (2

p )

=1, où (.

. )

désigne le symbole de Legendre.

4. En utilisant le critère d’Euler sur les résidus quadratiques, montrer queℓest pair et puis quepest de la forme :

p = k2ⁿ⁺²+1 (k∈N).

(30)

Université A. Mira de Béjaia Examen de rattrapage Faculté des Sciences Exactes d’Arithmétique

Considérons dansZ²l’équation diophantienne :

8x+5y = 101 (⋆)

1. En utilisant les congruences, résoudre l’équation (⋆) dansZ². 2. Résoudre l’équation (⋆) dansN².

3. Déterminer la solution (x,y)∈Z²de (⋆) pour laquelle la quantité|x+3y|est minimale.

On demande de préciser cette valeur minimale.

89 )

, ( 3

89 )

, (11

89 )

et (66

89 )

x²−x+1 ≡ 0[89]

1. Montrer que 1 est l’unique entier naturel, premier avec 6, qui satisfait la propriété :

«ndivise (5ⁿ+1) » . 2. Montrer que tout entier naturel impairensatisfait la propriété :

«ndivise 2ppcm(1,2,...,n)−1 » .

On rappelle que les nombres de Fermat sont les nombres naturels s’écrivant sous la forme : F_n = 2²ⁿ+1 (n∈N).

Le but de cet exercice est de démontrer le théorème suivant :

Théorème (Euler) :Quandn≥2, tout diviseur premierpdeF_nest de la forme :p=k2ⁿ⁺²+1 (k∈N).

Pour toute la suite, on suppose quen≥2. Soitpun diviseur premier deF_net e l’ordre de 2 modulop.

1. Montrer que l’on a : e=2ⁿ⁺¹.

2. En déduire, en utilisant le petit théorème de Fermat, quepest de la forme : p = ℓ2ⁿ⁺¹+1 (ℓ∈N).

3. En déduire de la question précédente que l’on a : (2

p )

=1, où (.

. )

désigne le symbole de Legendre.

4. En utilisant le critère d’Euler sur les résidus quadratiques, montrer queℓest pair et puis quepest de la forme :

p = k2ⁿ⁺²+1 (k∈N).

Bonne chance B. FARHI