A nn´ee 2018-2019

Ann

´ee 2018

- 2019

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2018-2019 Faculté des Sciences Exactes Examen de T.A.N

Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes

10/02/2019

Exercice 1 (7 points) :

1. (a) En utilisant le calcul asymptotique, montrer qu’il existe une constante réelle absolue ctel que l’on ait :

∑N

n=2

logn n = 1

2(logN)²+c+O

(logN N

) .

(b) En déduire l’estimation asymptotique :

∑

N <n≤2N

logn

n = (log 2)(logN) + 1

2(log 2)²+O

(logN N

) .

2. Montrer, en utilisant la formule sommatoire d’Abel et le théorème des nombres premiers, que

l’on a : ∑

ppremier p≤x

(logp)³ ∼+∞ x(logx)².

Exercice 2 (7 points) :

1. Montrer que pour tout m∈N^∗ et tout x∈R\ {1}, on a :

m∑−1

k=0

(k+ 1)x^k = mx^m+1−(m+ 1)x^m+ 1 (1−x)² . 2. En déduire que pour tout entier strictement positif n, on a :

σ(n) = ∑

d/n

τ(d)φ (n

d )

,

oùτ désigne la fonction arithmétique qui compte le nombre de diviseurs, σ désigne la fonction arithmétique qui compte la somme des diviseurs et φest la fonction indicatrice d’Euler.

Exercice 3 (6 points) : Soientk ∈N^∗ et φ_k :N^∗ →R la fonction multiplicative définie par :

φ_k(n) := n^k ∏

ppremier p/n

( 1− 1

p^k )

(∀n ∈N^∗).

1. Montrer que la série de Dirichlet de φ_k :

S(φ_k)(s) :=

+∞

∑

n=1

φ_k(n) n^s

est convergente pour touts∈C tel que Res > k+ 1.

2. En utilisant la formule du produit eulérien, exprimer S(φ_k) en fonction de la fonction ζ de Riemann.

Bon travail B. Farhi

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2018-2019 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage de T.A.N Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes

28/04/2019 Exercice 1 (8 points) :

1. (a) En utilisant le calcul asymptotique, montrer qu’il existe une constante réelle absolue ctel que l’on ait :

∑N

n=2

(logn)²

n = 1

3(logN)³+c+O

((logN)² N

) .

(b) En déduire une estimation asymptotique pour la somme :

∑

N <n≤2N

(logn)² n , qui soit de la forme :

α(logN)²+β(logN) +γ+O

((logN)² N

) ,

où α, β etγ sont des constantes réelles à déterminer.

2. Montrer, en utilisant la formule sommatoire d’Abel et le théorème des nombres premiers, que

l’on a : ∑

ppremier p≤x

(logp)⁴ ∼+∞ x(logx)³.

Exercice 2 (5 points) : Montrer que pour tout entier strictement positifn, on a : n τ(n) = ∑

d/n

σ(d)φ (n

d )

,

où τ désigne la fonction arithmétique qui compte le nombre de diviseurs, σ désigne la fonction arithmétique qui compte la somme des diviseurs et φest la fonction indicatrice d’Euler.

Exercice 3 (7 points) :

1. Montrer que pour tout z ∈C tel que |z|<1, on a :

∑+∞

k=1

kz^k = z (1−z)². 2. Soit f la fonction arithmétique multiplicative définie par :

f(1) = 1

f(p^k) = 3k (pour tout p premier et tout k∈N^∗) etS(f) sa série de Dirichlet donnée par :

S(f)(s) :=

+∞

∑

n=1

f(n)

n^s (s∈C, de partie réelle assez grande).

— En utilisant la formule du produit eulérien, exprimer S(f)en fonction de la fonction zéta de Riemann.

Bon travail B. Farhi

Ann

´ee 2017

- 2018

S`a‹m`e´d˚iffl, 27 ¯j´a‹n‹v˘i`eˇrffl 2018

Interrogation du module :

≪

M´ ethodes Analytiques en Th´ eorie des Nombres

Ann´ee 2017-2018

Dur´ee : 1 heure

Rappel de la formule sommatoire d’Abel :

Soient (a_n)_n≥1 une suite r´eelle etf une fonction de classe C¹ sur[α,+∞[ (α >0). Alors, pour tous x, y ∈R tels queα ≤x≤y, on a :

∑

x≤n≤y

a_nf(n) =

( ∑

x≤n≤y

a_n )

f(y)−

∫ y x

( ∑

x≤n≤t

a_n )

f^′(t)dt.

Exercice 1 (10 points) :

1. En utilisant le calcul asymptotique, montrer qu’il existe une constante r´eelle absolue c telle que :

∑N

n=2

1

nlogn = log logN+c+O

( 1 NlogN

) .

2. Montrer, en se servant de la formule sommatoire d’Abel, que l’on a :

∑

ppremier

1 plogp =

∫ _+∞

2

π(t)logt+ 1 t²log²t dt

(o`u π d´esigne la fonction de d´ecompte des nombres premiers).

3. Conclure que la s´erie ∑

ppremier

1

plogp est convergente.

Exercice 2 (10 points) : Soit f :N^∗ →R la fonction arithm´etique d´efinie par :

f(n) := ∏

ppremier p/n

( 1 + 1

p )

(∀n ∈N^∗).

1. Montrer que f est multiplicative mais qu’elle n’est pas compl`etement multipli- cative.

2. (a) ´Etant donn´es p un nombre premier, r ∈ N^∗ et d = p^r, ´ecrire l’expression la plus simple possible de df(d)φ(d) en fonction de p et r (o`u φ d´esigne la fonction indicatrice d’Euler).

(b) Montrer l’identit´e :

∑

d/n

df(d)φ(d) = n² (∀n∈N^∗).

(c) En d´eduire l’identit´e :

∑

d/n

µ(d)

d² = f(n)φ(n)

n (∀n∈N^∗) (o`u µ d´esigne la fonction de M¨obius).

Bon travail B. Farhi

Le bar`eme :

Exo 1 :

Question 1 −→ 3 pts Question 2 −→ 4 pts Question 3 −→ 3 pts

Exo 2 :

Question 1 −→ 3 pts (2 + 1) Question 2. (a) −→ 2 pts

Question 2. (b) −→ 3 pts Question 2. (c) −→ 2 pts

2

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2017-2018 Faculté des Sciences Exactes Examen de T.A.N

Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes

01/03/2018

Exercice 1 (5 points) : Montrer la formule asymptotique :

∑

ppremier p≤x

(logp)² ∼+∞ xlogx.

Exercice 2 (8 points) : Soitf :N^∗ →R la fonction arithmétique définie par :

f(n) := ∏

ppremier p/n

( 1 + 1

p+ 1 p²

)

(∀n ∈N^∗).

1. Montrer que f est multiplicative.

2. Montrer l’identité : ∑

d/n

d²f(d)φ(d) = n³ (∀n∈N^∗),

oùφdésigne la fonction indicatrice d’Euler.

3. En déduire l’identité :

∑

d/n

µ(d)

d³ = f(n)φ(n)

n (∀n∈N^∗),

oùµdésigne la fonction de Möbius.

4. Question indépendante : En utilisant la seconde formule d’inversion de Möbius, montrer que pour tout x≥1, on a :

∑

1≤n≤x

µ(n)

n H

(x n

)

= 1,

où

H: [1,+∞[ −→ R

t 7−→ ∑

1≤n≤t

1 n

.

Exercice 3 (7 points) :

1. Montrer que pour tout z ∈C tel que |z|<1, on a :

+∞

∑

k=0

(k+ 1)²z^k = 1 +z (1−z)³.

2. En déduire (en utilisant la formule du produit eulérien) que pour tout s∈C tel que Res >1, on a :

+∞

∑

n=1

τ(n)²

n^s = ζ⁴(s) ζ(2s),

oùτ désigne la fonction arithmétique qui compte le nombre de diviseurs d’un entier strictement positif.

Bon travail B. Farhi

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2017-2018 Faculté des Sciences Exactes Examen de remplacement de

T.A.N

Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes

08/03/2018

Exercice 1 (5 points) : Calculer la limite :

x→lim+∞



1 x²

∑

ppremier p≤x

plogp



.

Exercice 2 (8 points) : Les deux questions de cet exercice sont complètement indépen- dantes.

1. Montrer que pour tout entier strictement positif n, on a :

σ(n) = ∑

d/n

τ(d)φ (n

d )

,

oùτ désigne la fonction arithmétique qui compte le nombre de diviseurs, σ désigne la fonction arithmétique qui compte la somme des diviseurs et φest la fonction indicatrice d’Euler.

2. Soit H₂ la fonction réelle définie sur l’intervalle [1,+∞[ par :

H₂(t) := ∑

1≤n≤t

1

n² (∀t ∈[1,+∞[).

— Montrer la formule :

∑

1≤n≤x

µ(n) n² H₂

(x n

)

= 1 (∀x∈[1,+∞[).

Exercice 3 (7 points) : Montrer que pour tout s∈C tel que Res >2, on a :

+∞

∑

n=1

τ(n)σ(n)

n^s = ζ²(s)ζ²(s−1) ζ(2s−1) ,

où τ désigne la fonction arithmétique qui compte le nombre de diviseurs et σ désigne la fonction arithmétique qui compte la somme des diviseurs.

Bon travail B. Farhi

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2017-2018 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage de T.A.N Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes

16/04/2018

Exercice 1 (8 points) :

1. Montrer la formule asymptotique :

∫ x 2

dt

(logt)² = O

( x (logx)²

) ,

lorsque x est au voisinage de+∞.

+ Vous pouvez décomposer l’intégrale∫_x

2 en∫^√_x

2 +∫_x

√x.

2. En déduire, en utilisant la formule sommatoire d’Abel, que l’on a :

∑

ppremier p≤x

log logp ∼+∞ xlog logx logx .

Exercice 2 (7 points) : Soitf :N^∗ →R la fonction arithmétique multiplicative définie par : f(1) = 1

f(p) = 1

2(p−2) (pour tout ppremier) f(p^k) = 1

k+ 1p^k (

1− 1 p

)2

(pour tout p premier et toutk ≥2 entier).

1. La fonction f est-elle complètement multiplicative ? Justifier.

2. Montrer l’identité : ∑

d/n

f(d)τ(d) = φ(n) (∀n∈N^∗),

où φ désigne la fonction indicatrice d’Euler et τ la fonction comptant le nombre de diviseurs d’un entier strictement positif.

3. En déduire l’identité :

f(n) = 1 τ(n)

∑

d/n

µ(d)φ (n

d )

(∀n∈N^∗),

oùµest la fonction de Möbius.

Exercice 3 (5 points) : Soitf la fonction arithmétique multiplicative définie par : f(1) = 1

f(p^k) = (−1)^k(p+ 1) (pour tout p premier et tout k∈N^∗).

— En utilisant la formule du produit eulérien, montrer l’identité :

+∞

∑

n=1

f(n)

n^s = ζ(2s)

ζ(s)ζ(s−1) (∀s >2), oùζ est la fonction zéta de Riemann.

Bon travail B. Farhi