Une fonction complètement multiplicative est déterminée par ses valeursf(p) avecp pre- mier, par la formule f(n) =Y p f(p)vp(n)

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Université de Nouakchott (Mauritanie) 12 avril 2014 Faculté des Sciences et Techniques, Département de Maths et Informatique (DMI) Master de Mathématiques, spécialité Algèbre, théorie des nombres et Applications Cours de Théorie Analytique des Nombres par Michel Waldschmidt 6 –16 avril 2014

Rappels pour le devoir du 13 avril Seul ce document sera autoris´e

La fonction caractéristique d’un sous-ensembleEde{1,2, . . .}est la fonction arithmétique qui prend la valeur 1 aux éléments de E et la valeur 0 ailleurs.

On ´ecrit la d´ecomposition en facteurs premiers d’un entier n≥1 sous la forme n=Y

p

p^v^p⁽ⁿ⁾

où le produit est étendu à l’ensemble des nombres premiers p et où les vp(n) sont des entiers ≥0. Pour chaquen≥2, l’ensemble

p | v_p(n)6= 0 est fini.

Une fonction multiplicative est déterminée par ses valeurs f(pâ) avec p premier et a≥1, par la formule

f(n) =Y

p

f(p^v^p⁽ⁿ⁾).

Une fonction complètement multiplicative est déterminée par ses valeursf(p) avecp premier, par la formule

f(n) =Y

p

f(p)^v^p⁽ⁿ⁾.

Une fonction fortement multiplicative est d´etermin´ee par ses valeursf(p) avecp premier, par la formule

f(n) =Y

p|n

f(p).

(2)

D(j , s) =ζ(s−k) =

p 1−p^−s+k, j(n) =n fonction identit´e,k∈C D(κ, s) =ζ(2s) =Y

p

1

1−p^−2s, κ fonction caract´eristique des carr´es D(µ, s) = 1

ζ(s) =Y

p

(1−p^−s), µfonction de M¨obius, µ ?1 =δ D(ϕ, s) = ζ(s−1)

ζ(s) =Y

p

1−p^−s

1−p^−s+1, ϕindicatrice d’Euler,ϕ=j ? µ D(|µ|, s) =D(µ², s) = ζ(s)

ζ(2s) =Y

p

(1 +p^−s), |µ|? κ= 1 D(σ_k, s) =ζ(s−k)ζ(s) =Y

p

1

(1−p^−s)(1−p^−s+k), σ_k=j^k?1, σ_k(n) =X

d|n

d^k

D(τ, s) =ζ(s)²=Y

p

1

(1−p^−s)², τ = 1?1, τ(n) =X

d|n

1 =σ0(n)

D(2^ω, s) = ζ(s)² ζ(2s) =Y

p

1 +p^−s

1−p^−s, τ = 2^ω? κ, 2^ω?|µ|=δ D(λ, s) = ζ(2s)

ζ(s) =Y

p

1

1 +p^−s, λ ?|µ|=δ, λ= (−1)^Ω fonction de Liouville D(log, s) =−ζ⁰(s)

D(Λ, s) =−ζ⁰(s)

ζ(s), Λ fonction de Von Mangoldt

http://www.math.jussieu.fr/~miw/enseignement.html

(3)

Devoir en temps limit´e: 13 avril 2014 10h-12h Seul document autoris´e : le rappel du cours (12 avril 2014)

1

Existe-t-il une fonction multiplicativef telle que f(2) =f(4) = 3?

Existe-t-il une fonction compl`etement multiplicative f telle que f(2) =f(4) = 3?

Existe-t-il une fonction fortement multiplicativef telle que f(2) =f(4) = 3?

Dans chacun des trois cas, si la r´eponse est oui, donner un exemple, si la r´eponse est non, dire pourquoi.

2

Montrer qu’une fonction arithmétiquef qui possède deux des trois propriétés suivantes possède aussi la troisième.

(a) f est compl`etement multiplicative.

(b) f est fortement multiplicative.

(c)f ne prend que les valeurs 0 ou 1, ce qui signifie quef est une fonction caract´eristique,

`

a savoir la fonction caract´eristique de {n≥1 | f(n) = 1}.

3

Soientaetbdeux entiers≥2. On d´esigne pardle pgcd (plus grand commun diviseur) de aetb et parm le ppcm (plus petit commun multiple) deaetb.

(a) Quel est le pgcd dedet m?

(b) ´Ecrire la d´ecomposition en facteurs premiers de det de m.

(c) Montrer que sif est une fonction multiplicative, on a

(4)

`(n) =

0 sinn’est pas un carr´e Quel est l’ensemble dont`² est la fonction caract´eristique?

Montrer que` est une fonction multiplicative.

Quelle est la fonction ` ? µ?

Quelle est la s´erie de Dirichlet D(`, s)? Quel est son produit eul´erien?

Quel est l’inverse de `pour la convolution dans l’anneau des fonctions arithm´etiques?

(5)

Corrig´e du devoir en temps limit´e: 13 avril 2014

1

Existe-t-il une fonction multiplicativef telle que f(2) =f(4) = 3?

Oui, il y en a beaucoup. Un exemple est 3^Ω. Un autre est f₁(n) =

(1 sinest impair, 3 sinest pair.

Un autre est

f2(n) =







1 sin= 1,

3 sin est une puissance de 2 0 sinon,

Quand on se donne, pour chaque couple p, a avec p premier et a ≥ 1, un nombre b_p,a, ici avec la condition b2,1 = b2,2 = 3, il existe une et une seule fonction f multiplicative satisfaisant f(p^a) =bp,a: elle est d´efinie par

f(n) =Y

p

p^b^p,a.

Existe-t-il une fonction compl`etement multiplicative f telle que f(2) =f(4) = 3?

Non, une fonction compl`etement multiplicative satisfaitf(4) =f(2)². Existe-t-il une fonction fortement multiplicative f telle que f(2) =f(4) = 3?

Oui: par exemple 3^Ω. Quand on se donne, pour chaque nombre premier p, un nombre bp, ici avec la seule condition b2 = 3, il existe une et une seule fonction f multiplicative

(6)

donc f(p)â=f(p) pour tout a≥1; il en résulte que pour tout n, f(n) vaut 0 ou 1, donc que f est une fonction caractéristique.

•Sifest complètement multiplicative et est une fonction caractéristique, alorsf(p) vaut 0 ou 1, doncf(p)â=f(p) pour touta≥1. Commef(pâ) =f(p)â, on en déduitf(pâ) =f(p) pour touta≥1, par conséquent f est fortement multiplicative.

•Sif est fortement multiplicative et est une fonction caractéristique, alorsf(p) vaut 0 ou 1, donc f(p)â=f(p) pour touta≥1. Il résulte alors de f(pâ) =f(p) quef(pâ) =f(p)â pour touta≥1, par conséquent f est complètement multiplicative.

3

(a) Le pgcd de det mest dpuisque ddivisem.

(b) On a

d=Y

p

p^min{v^p^(a),v^p^(b)}, m=Y

p

p^max{v^p^(a),v^p^(b)}.

(c) Posonsxp= min{v_p(a), vp(b)}etyp = max{v_p(a), vp(b)}. On a f(d) =Y

p

f(p^x^p), f(m) =Y

p

f(p^y^p).

Comme

{x_p, yp}={v_p(a), vp(b)}

on en d´eduit

f(p^x^p)f(p^y^p) =f(p^v^p^(a))f(p^v^p^(b)) et par cons´equentf(a)f(b) =f(d)f(m).

4

C’est un r´esultat du cours. L’ensemble dont fp0 est la fonction caract´eristique est l’ensemble des entiers dont tous les facteurs premiers sont≤p₀, ce que l’on noteP(n)≤p₀, et

D(fp0, s) = Y

p≤p0

1 1−p^−s.

(7)

5

Les entiersd≥1 tels queµ(d) soit non nul sont les nombres sans facteur carr´e, c’est-

`

a-dire les produits de nombres premiers distincts p1· · ·pr (avec r≥0). Les entiers n≥1 tels que `(n) soit non nul sont les carrés des nombres sans facteurs carrés, c’est-à-dire les nombresn de la formen=p²₁· · ·p²_r avec p1, . . . , pr premiers deux-à-deux distincts (et r ≥0). Ce sont aussi lesntels quevp(n) vaut 0 ou 2 pour tout p. La fonction`² =|`|est la fonction caractéristique de cet ensemble:

E ={p²₁· · ·p²_r | p₁, . . . , p_r premiers deux-`a-deux distincts etr ≥0}.

On inclut r= 0 parce que 1∈E.

Sipest un nombre premier etb un entier ≥0, on a

`(p^b) =







1 si b= 0,

−1 si b= 2, 0 sinon.

Pour n=pâ₁¹· · ·pâ_r^r avec ai ≥1 et pi premiers deux-à-deux distincts, on a

`(n) =

((−1)^r si a1=· · ·=ar= 2,

0 sinon.

Par conséquent`(n) =`(pâ₁¹)· · ·`(pâ_r^r), ce qui signifie queèst une fonction multiplicative.

La fonction` ? µest la fonction multiplicative d´efinie par les conditions, pourppremier eta≥1

(` ? µ)(p^a) =

a

X

b=0

`(p^b)µ(p^b−a) =







−1 sia= 1, 1 sia= 2, 0 sia≥3.

On peut noter que|`?µ|est la fonction caract´eristique des entiersntels quev_p(n)≤2 pour tout n (entiers sans facteurs cubiques). Pour n=p₁· · ·p_rp²_r+1· · ·p²_r+s, on a (` ? µ)(n) = (−1)^r.

Le produit eul´erien de `est

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On peut encore ´ecrire

`=µ ?|µ|

et

` ? µ=µ ? µ ?|µ|.