Classe de TS 3 f´evrier 2011
Devoir de Sp´ ecialit´ e Math´ ematiques N
o4 (1 heure)
Le but de l’exercice est d’´etudier certaines propri´et´es de divisibilit´e de l’entier 4n−1, lorsque n est un entier naturel. On rappelle la propri´et´e connue sous le nom de petit th´eor`eme de Fermat :si p est un nombre entier etaun entier naturel premier avecp, alorsap−1−1≡0 modp.
Partie A.Quelques exemples.
1. D´emontrer que, pour tout entier natureln,4n est congru `a 1 modulo 3.
2. Prouver `a l’aide du petit th´eor`eme de Fermat, que 428−1 est divisible par 29.
3. Pour 1 6 n 6 4 , d´eterminer le reste de la division de 4n par 17. En d´eduire que, pour tout entier k, le nombre 44k−1 est divisible par 17.
4. Pour quels entiers naturelsnle nombre 4n−1 est-il divisible par 5 ?
5. `A l’aide des questions pr´ec´edentes, d´eterminer quatre diviseurs premiers de 428−1.
Partie B.Divisibilit´e par un nombre premier Soitpun nombre premier diff´erent de 2.
1. D´emontrer qu’il existe un entiern>1 tel que 4n≡1 modp.
2. Soitn>1 un entier naturel tel que 4n ≡1 modp. On noteb le plus petit entier strictement positif tel que 4b≡1 modpet rle reste de la division euclidienne denparb.
a) D´emontrer que 4r≡1 modp. En d´eduire quer= 0.
b) Prouver l’´equivalence : 4n−1 est divisible parpsi et seulement sinest multiple deb.
c) En d´eduire queb divisep−1.
Classe de TS 3 f´evrier 2011
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o4 (1 heure)
Le but de l’exercice est d’´etudier certaines propri´et´es de divisibilit´e de l’entier 4n−1, lorsque n est un entier naturel. On rappelle la propri´et´e connue sous le nom de petit th´eor`eme de Fermat :si p est un nombre entier etaun entier naturel premier avecp, alorsap−1−1≡0 modp.
Partie A.Quelques exemples.
1. D´emontrer que, pour tout entier natureln,4n est congru `a 1 modulo 3.
2. Prouver `a l’aide du petit th´eor`eme de Fermat, que 428−1 est divisible par 29.
3. Pour 1 6 n 6 4 , d´eterminer le reste de la division de 4n par 17. En d´eduire que, pour tout entier k, le nombre 44k−1 est divisible par 17.
4. Pour quels entiers naturelsnle nombre 4n−1 est-il divisible par 5 ?
5. `A l’aide des questions pr´ec´edentes, d´eterminer quatre diviseurs premiers de 428−1.
Partie B.Divisibilit´e par un nombre premier Soitpun nombre premier diff´erent de 2.
1. D´emontrer qu’il existe un entiern>1 tel que 4n≡1 modp.
2. Soitn>1 un entier naturel tel que 4n ≡1 modp. On noteb le plus petit entier strictement positif tel que 4b≡1 modpet rle reste de la division euclidienne denparb.
a) D´emontrer que 4r≡1 modp. En d´eduire quer= 0.
b) Prouver l’´equivalence : 4n−1 est divisible parpsi et seulement sinest multiple deb.
c) En d´eduire queb divisep−1.
