Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage de Topologie Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes
03/01/2021
Questions de cours (6 points):
1. (a) Rappeler la définition d’un point isolé d’une partie d’un espace topologique.
(b) Soit A :“ r´2,´1rYNĂR, où R est muni de sa topologie usuelle.
— Donner (sans preuve) : A,˝ A etA1.
2. (a) Rappeler la définition d’une application lipschitzienne entre deux espaces métriques.
(b) Montrer que l’application définie par :
φ: pR2, d2q ÝÑ pR, dusq px, yq ÞÝÑ x
est lipschitzienne en précisant son rapport.
(c) Cette application φest-elle une isométrie ? Justifier votre réponse.
Exercice 1 (7 points) : Soitτ la famille constituée de partiesU deR qui satisfont l’une ou l’autre des deux conditions suivantes :
(i) 0RU. (ii) s0,`8rĂU.
1. Montrer que τ est une topologie sur R.
2. (a) Caractériser les parties fermées de l’espace topologiquepR, τq.
(b) Caractériser les parties de R qui sont ouvertes et fermées à la fois dans pR, τq.
3. Montrer que l’espace topologique pR, τq n’est pas séparé.
Exercice 2 (7 points) : Soitd :RˆRÑR` l’application définie par : dpx, yq :“
ˇ ˇ ˇ ˇ
x
1` |x|´ y 1` |y|
ˇ ˇ ˇ ˇ
p@x, y P Rq.
1. Montrer que d est une distance sur R.
2. Soit r ą 0. En distinguant les valeurs de r, déterminer explicitement la boule ouverte Bp0, rq de l’espace métriquepR, dq.
— En déduire que R est borné relativement à la distance d.
3. SoitA:“ r5,`8r. Déterminer la valeur exacte du diamètre deA(en tant que partie depR, dq).
Bon travail B. Farhi
