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Topologie des espaces métriques
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Université d’Eleuthéria-Polites
Résumé de cours de Licence—/
Bruno Deschamps Version.
Vit dans tes profondeurs, forêt aromatique...
Table des matières
Espaces métriques.
. Espaces métriques et espaces veoriels normés. . .
.. Espaces métriques. . .
.. Espaces veoriels normés. . .
. Suites dans un espace métrique. . .
.. Convergence. . .
.. Valeurs d’adhérence. . .
. Topologie. . .
.. Boules, voisinages. . .
.. Boules dans un e.v.n. . .
.. Topologie induite . . .
. Complétude. . .
.. Suites de Cauchy. . .
.. Espaces complets. . .
. Compacité. . .
Applications continues.
. Limites et continuité. . .
.. Limites dans un espace métrique. . .
.. Cas des espaces veoriels normés. . .
.. Propriétés des applications continues. . .
. Applications linéaires continues. . .
.. Caraérisation. . .
.. Algèbre normée. . .
Espace veoriel normé en dimension finie.
. Topologie des e.v.n. de dimension finie. . .
Espaces métriques et espaces veoriels normés
Espaces métriques.
. Espaces métriques et espaces ve oriels normés.
.. Espaces métriques.
Définition .— Etant donné un ensemble E non vide, on appelle diance (ou métrique) sur E toute application
d:E×E−→R+ vérifiant les trois axiomes suivants :
(A) Pour toutx, y∈E,d(x, y) =d(y, x)(Symétrie).
(A) Pour toutx, y∈E,d(x, y) = 0si et seulement six=y(Séparation).
(A) Pour toutx, y, z∈E,d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z)(Inégalité triangulaire).
Le couple(E, d)ealors appélé espace métrique.
Définition.—SoientEun ensemble etdetd0deux diances surE. On dit quedetd0sont équivalentes s’il exie deux réelsαetβriement positifs tels que
∀(x, y)∈E2, αd(x, y)≤d0(x, y)≤βd(x, y)
Remarque.—La relation "être équivalente à" eun relation d’équivalence sur l’ensemble des dis- tances sur un ensemble.
Définition.—Soient(E, d)un espace métrique etA, Bdeux sous-ensembles deE.
•On appelle diamètre de la partieAl’élément δ(A) = sup
x,y∈A
{d(x, y)} ∈R+∪ {+∞}
Siδ(A)∈R+, on dit queAebornée.
•Pourx∈E, on appelle diance dexà la partieAle réel notéd(x, A)et défini par d(x, A) = inf
y∈Ad(x, y)
•on appelle diance de la partieAà la partieBle réel notéd(A, B)et défini par d(A, B) = inf
x∈A,y∈Bd(x, y) = inf
x∈Ad(x, B) = inf
y∈Bd(y, A)
Définition.—Etant donnés(E, d)et(F, d0)deux espaces métriques, on appelle isométrie deEsurFtoute applicationϕ:E−→Fvérifiant
∀x, y∈E, d0(ϕ(x), ϕ(y)) =d(x, y)
Proposition-Définition.— Si(E, d)eun espace métrique, alors pour toute partieF ⊂E non vide, l’applicationdrereinte àF×F eune diance surF. On dit qued ela diance induite surF et que (F, d)eun sous-espace métrique de(E, d).
Suites dans un espace métrique
.. Espaces veoriels normés.
Dans cette seionKdésignera le corpsRouC.
Définition.—Etant donné unK-espace veorielE, on appelle norme surEtoute application N :E−→R+
vérifiant les trois axiomes suivants :
(A) Pour toutx∈E,N(x) = 0si et seulement six= 0.
(A) Pour toutx∈Eet toutλ∈K,N(λx) =|λ|N(x).
(A) Pour toutx, y∈E,N(x+y)≤N(x) +N(y).
Le couple(E, N)ealors appélé espace veoriel normé.
Proposition.—Soit(E, N)un espace veoriel normé, l’applicationd:E×E−→R+définie, pourx, y∈E, par
d(x, y) =N(x−y)
eune diance surE. On l’appelle diance associée surEà la normeN. Proposition.—Pour tout couple(x, y)∈E2, on a:
|N(x)−N(y)| ≤N(x−y)≤N(x) +N(y)
Définition.—SoitE unK-espace veoriel etN etN0 deux normes surE. On dit queN etN0 sont équivalentes s’il exie deux réelsαetβriement positifs tels que:
∀x∈E, αN(x)≤N0(x)≤βN(x)
Remarques.—/ La relation "être équivalente à" eun relation d’équivalence sur l’ensemble des normes d’unK-espace veoriel normé.
/ Deux normes sur un même espace veoriel normé sont équivalentes si et seulement si leurs diances associées le sont aussi.
Définition.—Soit(E, N)un e.v.n etFun sous espace veoriel deE. Pour toutx∈F, on poseN0(x) = N|F(x).(F, N0)ealors un e.v.n, on dit queN0ela norme induite parN surF. On note alors abusivement N(x)a la place deN0pour parler de cette norme.
Proposition-Définition.—Soient≥1et(E1, N1),· · ·,(En, Nn)desK-espaces veoriels normés etE= E1× · · · ×Enl’espace veoriel produit. SurE, on considère l’applicationN définie, pourx= (x1,· · ·, xn)∈E, par
N(x) =N1(x1) +· · ·+Nn(xn)
L’applicationN ealors une norme surEet l’espace veoriel normé(E, N)ealors appelé "espace veoriel normé produit" des espaces(E1, N1),· · ·,(En, Nn).
. Suites dans un espace métrique.
.. Convergence.
Définition.—Soient(E, d)un espace métrique et(xn)n une suite d’éléments deE. On dit que(xn)n converge versl∈Esi la suite numérique(d(xn, l))nconverge vers0, autrement dit, si
∀ >0,∃N ∈N,∀n≥N , d(xn, l)<
Suites dans un espace métrique
on appelle alorsl la limite de(xn)net on notelimnxn=l. Si une suite ne converge pas, on dit qu’elle e divergente.
Lemme.—Si une suite converge, sa limite eunique.
Cas des e.v.n. Dans le cas ou (E,||.||) e un e.v.n., la convergence de (xn)n versl se traduit de la manière suivante:
∀ >0,∃N ∈N,∀n≥N ,||xn−l||<
On a alors
Lemme.—Il y a équivalence entre i)limnxn=l
ii)limn||xn−l||= 0
Dans ces conditions, on alimn||xn||=||l||.
Théorème.—L’ensemble des suites convergentes d’un e.v.n. eun sous-espace veoriel de l’espace des suites. Par ailleurs, si(xn)n et(yn)nsont deux suites convergentes etα∈Kun scalaire, on alimn(αxn+ yn) =αlimnxn+ limyn.
Proposition.—SoientN1etN2deux normes sur unK-espace veorielE. Il y a équivalence entre:
i) Toute suite convergente vers0au sens deN1econvergente vers0au sens deN2, ii) il exieα >0tel queN2≤αN1.
Preuve:Pour toutx,0 on poseα(x) =N2(x)
N1(x). Supposons que l’ensembleA={α(x), x∈E}ne soit pas borné. Alors pour toutn∈N∗il exiexn∈Etel queα(xn) =N2(xn)
N1(xn)≥n. Posons alorsyn=√ xn
nN1(xn), on a:
√
nN2(yn) =N2(yn)
N1(yn)=N2(xn) N1(xn)> n par suite N2(yn)> √
net donc (yn)n ne converge pas vers 0 au sens deN2 alors queN1(yn) = 1
√ converge vers 0, c’eà dire que (yn)nconverge vers 0 au sens deN1, ce qui eabsurde. n
Corollaire.—Si une famille de normes sont équivalentes surE, alors la notion de convergence de suites surEeindépendante du choix d’une de ces normes.
Proposition.— Soit(Ei, Ni), i = 1,· · ·, p, une famille finie de K-espaces veoriels normés et(E, N) l’espace veoriel normé produit. Soit (xn)n une suite d’éléments de E, pour tout n∈ N, on notexn = (x(1)n ,· · ·, x(p)n )∈E1× · · · ×Ep. On a l’équivalence:
i)(xn)nconverge versl= (l1,· · ·, lp)∈E1× · · · ×Epdans(E, N) ii) pour touti= 1,· · ·, p(xn(i))nconverge versli dans(Ei, Ni).
.. Valeurs d’adhérence.
On considère (E, d) un espace métrique.
Définition.—Soit(xn)nune suite d’éléments deEetl∈E. On dit queleune valeur d’adhérence de (xn)nsi
∀ >0,∀N≥0,∃n≥N , d(xn, l)<
Théorème.—Il y a équivalence entre
Topologie
i)levaleur d’adhérence de(xn)n
ii) il exie une sous-suite(xϕ(n))nqui converge versl.
Corollaire.—Toute sous-suite d’une suite convergente econvergente et sa limite eégale à celle de la suite de départ.
Corollaire.—Si une suite possède au moins deux valeurs d’adhérence diines, alors elle diverge. Une suite convergente possède une unique valeur d’adhérence : sa limite.
. Topologie.
.. Boules, voisinages.
Dans cette partie, (E, d) désigne un espace métrique.
Définition.—Soient(E, d)un espace métrique, x∈E etε >0un réel. On appelle boule ouverte de centrexet de rayonεl’ensemble
B(x, ε) ={y∈E/ d(x, y)< ε} On appelle boule fermée de centrexet de rayonεl’ensemble
Bf(x, ε) ={y∈E/ d(x, y)≤ε} On appelle sphère de centrexet de rayonεl’ensemble
S(x, ε) ={y∈E/ d(x, y) =ε}
Définition .— Soient (E, d) un espace métrique, x∈ E et V ⊂ E une partie. On dit que V eun voisinage dex(ou queV voisinex), s’il exie une boule ouverteB⊂V telle quex∈B. On noteV(x) l’ensemble des voisinages dexdansE.
Proposition.—Soient(E, d)un espace métrique,x∈EetV⊂E. Les propositions suivantes i)V ∈V(x),
ii) il exieε >0tel queB(x, ε)⊂V, sont équivalentes.
Proposition.—Soientx∈Eet(Vi)i∈I une famille de voisinage dex. La partie[
i
Vi eun voisinage dex. SiI efini, alors\
i
Vi eun voisinage dex.
Définition.—On appelle ouvert deEtoute partieOqui voisine tous ses points. On appelle fermé deE, toute partie qui ele complémentaire d’un ouvert.
La colleion formée par les ouverts deEs’appelle la topologie deE.
Théorème.—Deux diances équivalentes définissent la même topologie.
Proposition.—Soit(E, d)un espace métrique.
•Eet∅sont des parties ouvertes deE.
•Toute réunion de parties ouvertes deEeune partie ouverte deE.
•Toute interseion finie de parties ouvertes deEeune partie ouverte deE.
•Eet∅sont des parties fermées deE.
Topologie
•Toute interseion de parties fermées deEeune partie fermée deE.
•Toute réunion finie de parties fermées deEeune partie fermée deE.
Adhérence
Définition.—SoitA⊂E, on dit qu’un pointx∈Eeadhérent àAsi pour tout voisinageV dexon a V∩A,∅. On noteAl’ensemble des points adhérents àA, on appelle cet ensemble l’adhérence deA.
Lemme.—/ Pour tout partieA⊂E, on aA⊂A.
/ SiA, B⊂Esont deux parties telles queA⊂B, on aA⊂B.
/ Pour tout partieA⊂E, on aA=A.
Proposition.—SoitA⊂E. L’ensembleAeun fermé, c’ele plus petit fermé qui contienneA.
Corollaire.—Une partieAdeEefermée si et seulement siA=A.
Proposition.—SoitAune partie deE. Il y a équivalence entre i)x∈A,
ii)∃(xn)n∈AN,limnxn=x.
Corollaire.—Une partieAdeEefermée si et seulement si toute suite d’éléments deAqui converge dansEa sa limite dansA.
Définition.—On dit qu’une partieA⊂Eedense siA=E.
Intérieur.
Définition.—SoitA⊂E, on dit qu’un pointx∈Eeintérieur àAsiAvoisinex. On note
◦
Al’ensemble des points intérieurs àA, on appelle cet ensemble l’intérieur deA.
Lemme.—/ Pour tout partieA⊂E, on a
◦
A⊂A.
/ SiA, B⊂Esont deux parties telles queA⊂B, on a
◦
A⊂
◦
B.
/ Pour tout partieA⊂E, on a
◦
◦
A=
◦
A.
Proposition.—SoitA⊂E. L’ensemble
◦
Aeun ouvert, c’ele plus grand ouvert inclus dansA.
Corollaire.—Une partieAdeEeouverte si et seulement si
◦
A=A.
Extérieur et frontière.
Définition.—SoitA⊂E, on appelle point frontière deAtout point qui eadhérent àAsans être intérieur àA. On noteFr(A)l’ensemble des points frontière deA, cet ensemble s’appelle la frontière deA.
On dit qu’un point eextérieur àAs’il n’appartient pas à l’adhérence deA. On noteExt(A)l’ensemble des points extérieurs àA, cet ensemble s’appelle l’extérieur deA.
Remarque.—Toutes les définitions que nous venons de donner ne dépendent que de la topologie deEet sont donc indépendantes du choix d’une diance équivalente.
.. Boules dans un e.v.n.
Proposition.—Soit(E, N)un e.v.n. On a pour toutx∈Eet tout >0,
•
◦
Bf(x, )=B(x, ).
Complétude
•B(x, ) =Bf(x, ).
•S(x, ) = Fr(B(x, )) = Fr(Bf(x, )).
Preuve:On aB(x, )⊂Bf(x, ). Soita∈Bf(x, ) etan=x+ (1−1/n)(a−x). On a||an−x||<||a−x|| ≤, doncan∈B(x, ), et comme limnan=aon en déduita∈B(x, ).
.. Topologie induite
Soit (E, d) un espace métrique et F un sous-ensemble de E. On regarde F comme sous-espace métrique de (E, d).
Proposition.—•Tout ouvert deFel’interseion d’un ouvert deEavecF.
•Tout fermé deFel’interseion d’un fermé deEavecF.
•Tout voisinage deFd’un pointxdeFel’interseion d’un voisinage dansEdexavecF.
. Complétude.
.. Suites de Cauchy.
Définition.—Soit(E, d)un espace métrique et(xn)n une suite d’éléments deE. On dit que la suite (xn)neune suite de Cauchy si elle vérifie la propriété suivante:
∀ >0,∃N ∈N,∀p≥N ,∀q≥N , d(xp, xq)<
Exemple.—Toute suite convergente eune suite de Cauchy. La réciproque ebien évidemment fausse : considéronsQmuni de la dianced(x, y) =|x−y|et la suitexn=
Xn
k=0
1
k!. Cette suite ede Cauchy, mais ne converge pas dansQ.
Proposition.—On a les propriétés suivantes :
•Toute suite de Cauchy ebornée.
•Si une suite de Cauchy admet une valeur d’adhérence, alors cette suite converge vers cette valeur. En particulier, une suite de Cauchy a au maximum une valeur d’adhérence.
•L’ensemble des suites de Cauchy sur un e.v.n. forme unK-e.v.
Proposition.—Soient Ei,i= 1,· · ·, p une famille finie d’e.v.n. etE =E1× · · · ×Ep l’e.v.n. produit.
Soit(xn)nune suite d’éléments deE, pour toutn∈N, on posexn= (x1n,· · ·, xnp)∈E1× · · · ×Ep. On a alors l’équivalence :
i)(xn)nede Cauchy,
ii)(xin)nede Cauchy, pour touti= 1,· · ·, p.
.. Espaces complets.
Définition.—Un espace métrique(E, d)edit complet si toute suite de Cauchy d’éléments deE e convergente. On appelle alors
•Espace de Banach, tout e.v.n complet.
• Espace de Hilbert, tout espace pré-hilbertien muni d’un produit scalaire, qui soit un Banach pour la norme induite par le produit scalaire.
Compacité
Exemple.—Ret Csont des espaces de Banach (et de Hilbert) pour la valeur absolue (resp. le module).
Proposition.—SoientEi,i= 1,· · ·, pune famille finie de Banach. L’e.v.n.E=E1× · · · ×Epeun espace de Banach.
Corollaire.—Pour toutn∈N∗, les espacesRnetCn(munis de laruure produit) sont des espaces de Banach.
Proposition.—Soit(E, d)un espace métrique complet etF ⊂E. On considèreF comme sous-espace métrique deE. On a alors l’équivalence :
i)Fecomplet, ii)F efermé.
Théorème.—(Critère de Cauchy) Soit(E, d)un espace métrique complet et(xn)nune suite d’éléments deE. On a alors l’équivalence:
i)(xn)nconverge,
ii)∀ >0,∃N∈N,∀p≥N ,∀q≥N , d(xp, xq)< , iii)∀ >0,∃N ∈N,∀p≥N , ∀q≥0, d(xp, xp+q)< .
Proposition.—(Fermés emboités)Soit(E, d)un espace métrique complet et(Fn)nune suite de fermés non vide emboités (i.e. ∀n, Fn+1⊂Fn) telle quelim
n δ(Fn) = 0(δ(Fn) = supx,y∈Fnd(x, y)∈R), alorsT
nFn eégal à un singleton.
Corollaire.—(Suites adjacentes)Deux suites réelles adjacentes sont convergentes et convergent vers la même limite.
Théorème.—(Point fixe)Soit(E, d)un espace métrique complet etf :E−→Eune application con- traante (i.e.k-lipschitzienne pour un certaink∈]0,1[). Alors :
•f admet un unique point fixeξ.
•Toute suite(xn)nd’éléments deEvérifiant∀n∈N, xn+1=f(xn)converge versξ. On a alors de plus :
∀n∈N, d(xn, ξ)≤d(x0, x1) 1−k kn
. Compacité.
Définition.—Un espace métrique(E, d)edit compasi toute suite d’éléments deEadmet une valeur d’adhérence.
Remarque.—Cette définition eindépendante du choix d’une diance équivalente.
Proposition.— Soit (E, d)un espace métrique et A⊂E. Si E ecompa et Afermé, alors A e compa.
Proposition.—SoitEetF deux e.v.n. siA⊂EetB⊂F sont compas alorsA×Becompadans E×F.
Théorème.—Tout espace métrique compaecomplet.
Théorème.—Soit(E, d)un espace métrique etA⊂E. SiAecompa, alorsAefermé et bornée.
Réciproquement, siE =Rn ouCn (muni de laruure produit) alors siAefermé et borné,Ae compa.
Limites et continuité
Ce théorème ela conséquence de :
Théorème.—(Bolzano-Weierrass)De toute suite bornées d’élements deE=Rn ouCn on peut ex- traire une sous-suite convergente.
Preuve :Le casE=Rse fait par dichotomie. Prenonsn≥1 etxp= (x1p,· · ·, xnp)∈Rnune suite bornée.
La suite (xp1)p e bornée, donc il exie une sous-suite (xp1)ϕ1(p) qui converge dansR. Considérons la suite (xp)ϕ1(p), cette suite ebornée, donc (x2p)ϕ1(p)aussi, il exie donc une sous-suite (xp2)ϕ2◦ϕ1(p)
convergente. La suite (x1p)ϕ2◦ϕ1(p)eune sous-suite d’une suite convergente, elle converge donc. De proche en proche, on conruit une sous-suite (xp)ϕn◦···◦ϕ1(p)tel que (xip)ϕn◦···◦ϕ1(p)converge pour tout i= 1,· · ·, n, ce qui équivaut à dire que (xp)ϕn◦···◦ϕ1(p)converge.
Proposition .— Soit (E, d) un espace métrique compa et (xn)n une suite d’éléments de E. On a l’équivalence :
i)(xn)npossède une unique valeur d’adhérenceα, ii)(xn)nconverge versα.
Applications continues.
. Limites et continuité.
.. Limites dans un espace métrique.
Définition .— Soient (E, d)et (F, d0)deux espaces métriques, x0 ∈ E et l ∈ F, etf : E −→ F une application. On dit quef admetlpour limite enxet l’on note lim
x→x0f(x) =l(oulim
x0 f =l), si
∀W∈V(l),∃V ∈V(x0), f(V)⊂W
Proposition.—On conserve les notations précédentes. Les propositions suivantes i) lim
x→x0f(x) =l,
ii) pour tout ouvertU deFcontenantl, il exie un ouvertOdeEcontenantx0tel quef(O)⊂U,
iii) pour toute boule ouverteB0 deF contenantl, il exie une boule ouverteBdeEcontenantx0tel que f(B)⊂B0,
iv) pour toute boule ouverteB0 deF centrée enl, il exie une boule ouverteBdeEcentrée enx0tel que f(B)⊂B0,
v)∀ε >0,∃η >0,f(B(x0, η))⊂B(l, ε),
vi)∀ε >0,∃η >0,∀x∈E,d(x, x0)< η=⇒d0(l, f(x))< ε, sont équivalentes.
Remarque.—La notion de limite ne dépend pas du choix de diances équivalentes (que ce soit pourEou pourF).
Proposition.—Si lim
x→x0f(x) =l, alorsl=f(x0). En particulier, si une fonion possède une limite, cette dernière eunique.
Théorème.—(Critère séquentiel)Les proposition suivantes i) lim
x→x0f(x) =l,
Limites et continuité
ii) pour toute suite(an)n∈ENtelle quelimnan=x0on alimnf(an) =l, sont équivalentes.
Proposition.—SoientE, F, Gtrois espaces métriques etf :E−→Fetg:F−→Gdeux applications. Si
xlim→x0f(x) =l0etlim
l→l0g(l) =w, alors lim
x→x0g◦f(x) =w.
Définition.—Sif possède une limite enx0on dit quef econtinue enx0. Sif econtinue en tout point d’une partieA, on dit quef econtinue surA.
Corollaire.—La composée d’applications continues eune application continue.
Théorème.—(Critère séquentiel)Soientf :E−→F une application entre deux espaces métriques et A⊂E. Les proposition suivantes
i)f econtinue surA,
ii) Pour toute suite d’éléments(an)nd’éléments deAconvergeant dansA, on alim
n f(an) =f(lim
n an), iii) Pour toute suite d’éléments(an)nd’éléments deAconvergeant dansA, la suitef(an)converge.
sont équivalentes.
Théorème.—Avec les notations de la définition, les trois propriétés suivantes i)f econtinue surA,
ii) l’image réciproque parf de tout ouvert deFeun ouvert (relatif àA) deA, iii) l’image réciproque parf de tout fermé deFeun fermé (relatif àA) deA.
sont équivalentes.
.. Cas des espaces veoriels normés.
Lemme.—SoitEunK-espace veoriel normé. Les deux applications E×E: −→ E
(x, y) 7−→ x+y
K×E: −→ E (λ, x) 7−→ λx sont continues.
Théorème.—SoientXun espace métrique etEunK-espace veoriel normé. Pour une partieA⊂X, on considère l’ensembleC0(A, E)conitué des applications deXversEcontinues surAeun sous-espace veoriel deEA.
Proposition.—SoientE, F1,· · ·, Fndes e.v.n. etF=F1×· · ·×Fnl’e.v.n. produit. SoitA⊂Eetf :A→F.
On notef1,· · ·, fn les applications coordonnées def (i.e. ∀x∈E, f(x) = (f1(x),· · ·, fn(x))∈F1× · · · ×Fn).
Les propriétés suivantes i)f econtinue,
ii)fi econtinue pour touti= 1,· · ·, n.
sont équivalentes.
.. Propriétés des applications continues.
Prolongement par continuité.
Théorème.—SoientE etF deux espaces métriques,A⊂Eetf etgdeux applications continues deA dansF. SoitBune partie deAdense dansA(i.e.B=A) telle quef(x) =g(x)pour toutx∈B. On a alors f =g.
Applications linéaires continues
Compacité
Théorème.—Soit(E, d)et(F, d0)deux espaces métriques etf :E−→F une application continue. Si A⊂Eecompa, alorsf(A)ecompa.
Corollaire.—Toute application continue sur un compaebornée et la borne supérieure de sa norme eatteinte.
Corollaire .— Soient K ⊂ E une partie compae d’un espace métrique et f : K −→ R continue.
L’applicationf admet un minimum et un maximum, ces deux extrémum sont atteints.
Définition.—Soient(E, d)et(E0, d0)deux espaces métriques. une applicationf :E−→E0 edite uniformément continue si
∀ >0,∃α >0,∀(x, y)∈E2, d(x, y)< α=⇒d0(f(x), f(y))<
Remarque.—Une fonion uniformément continue econtinue.
Théorème.—(Heine)Toute application continue sur un compaeuniformément continue.
Définition .— Soit(E, d) et (F, d0) deux espaces métriques. Une applicationf :E → F e ditek- lipschitzienne (k∈R+∗) si
∀x, y∈E, d0(f(x), f(y))≤kd(x, y)
Lemme.—On a les propriétés suivantes :
•Toute application lipschitzienne euniformément continue.
•Toute composée d’applications lipschitziennes elipschitziennes.
Exemples.—/ L’application norme dans un e.v.n. e1-lipschitzienne.
/ SoitEun e.v.n. etA⊂E. L’applicationx7−→d(x, A) e1-lipschitzienne.
/ Soit (Ei, Ni),i= 1,· · ·, nune famille finie d’e.v.n. etE=E1× · · · ×En l’espace produit muni de la normeN(x) = supiNi(xi). Les applications coordonnées sont alors 1-lipschitziennes.
Connexité
Théorème.—L’image continue d’un connexe (resp. d’un connexe par arc) econnexe (resp. econnexe par arc).
Application :Il n’exie pas d’homéomorphisme entreRnetR.
. Applications linéaires continues.
.. Caraérisation.
On considère (E,||.||1) et (F,||.||2) deuxK-espaces veoriels normés. Pour tout u∈L(E, F), on pose
|||u|||= sup
x∈E−{0}
||u(x)||2
||x||1 ∈[0,+∞] Théorème.—Avec les notations précédentes, les propriétés suivantes i)uecontinue,
ii)ucontinue en0,
iii) l’image parude la sphère unité ebornée,
Espace ve oriel normé en dimension finie
Topologie des e.v.n. de dimension finie
iv)∃α >0,∀x∈E, ||u(x)||2≤α||x||1, v)ueα-lipschitzienne,
vi)|||u|||<+∞, sont équivalentes.
Corollaire.—SoientEunK-e.v. etN1etN2deux normes surE. On a l’équivalence:
i)N1etN2sont équivalentes,
ii)Id: (E, N1)−→(E, N2)ebicontinue.
Proposition.—Soient(E, N)un e.v.n. etϕ∈E∗une forme linéaire. On l’équivalence:
i)ϕecontinue, ii)ker(ϕ)efermé.
Dans la suite, on noteraLc(E, F) le sous-ensemble deL(E, F) conitué des applications contin- ues.
Proposition.—Lc(E, F)eun sous-espace veoriel deL(E, F).
.. Algèbre normée.
Théorème.—Soient(E,||.||1)et(F,||.||2), deuxK-espaces veoriels normés etu∈Lc(E, F). On note : A(u) = {α >0/∀x∈E, ||u(x)||2≤α||x||1}
B(u) = {||u(x)||2, x∈E, ||x||1= 1} C(u) = {||u(x)||2, x∈E, ||x||1≤1} D(u) =
(||u(x)||2
||x||1 / x∈E− {0} )
on a alors :
•infA(u) = supB(u) = supC(u) = supD(u) =|||u||| ∈R+
•L’applicationu7−→ |||u|||eune norme surLc(E, F).
Définition.—La norme |||.|||ainsi définie s’appelle la norme sur Lc(E, F)associée à||.||1 et||.||2. On l’appelle "norme triple".
Proposition.—Soient(E,||.||1)et(F,||.||2), deuxK-espaces veoriels normés etLc(E, F)l’espace veo- riel des applications linéaires continues normé par la norme triple. On a :
• ∀u∈Lc(E, F), ∀x∈E, ||u(x)||2≤ |||u|||.||x||1.
•SiE=F, alors∀u∈Lc(E), ∀v∈Lc(E)vu∈Lc(E)et de plus|||vu||| ≤ |||u|||.|||v|||.
Définition.—SoitE uneK-algèbre unitaire et||.||une norme surE. On dit que(E,||.||)euneK- algèbre unitaire normée si
• ||e||= 1(edésigne ici, le neutre deE).
• ∀(x, y)∈E2,||xy|| ≤ ||x||.||y||.
Proposition.—Pour tout e.v.n(E,||.||), l’algèbre(Lc(E),|||.|||)eune algèbre unitaire normée.
Proposition.—Soient(E,||.||)un e.v.n,A⊂E etB(A,C)l’ensemble des applications bornées deA dansC. L’algèbre(B(A,C),||.||∞)eune algèbre unitaire normée.
Espace ve oriel normé en dimension finie
Topologie des e.v.n. de dimension finie
Espace ve oriel normé en dimension finie.
. Topologie des e.v.n. de dimension finie.
Théorème.—Toute les normes sur unK-espace veoriel de dimension finie sont équivalentes.
Preuve:Soit||.||une norme surEet||.||1la norme définie surEpar : poure= (e1,· · ·, en) une base fixée deEetx=
Xn
i=1
xiei, on poseN(x) =Pn
i=1|xi|. Soitλ= supi||ei||,λ >0 et
∀x∈E, ||x|| ≤λN(x) Soit θ:Kn−→Edéfinie parθ(x1,· · ·, xn) =Pn
i=1xiei. On a alors||(x1,· · ·, xn)||1=N(θ(x1,· · ·, xn)), il s’ensuit que θeune isométrie, donc l’image de la sphère unité de (Kn,||.||1) eégale à la sphère unitéSde (E, N), commeθecontinue, en en déduit que cette dernière sphère ecompae. Main- tenant l’application
ϕ:x∈E7−→ ||x|| ∈R econtinue sur (E, N). En effet, on a :
|ϕ(x)−ϕ(y)|=|||x|| − ||y||| ≤ ||x−y|| ≤λN(x−y)
doncϕ(S) ecompae admet un plus petit élémentµ >0 (sinon comme le min eatteint il exierait un veeurx∈Enon nul tel que||x||= 0).
Pour toutx∈S, on a||x|| ≥µ. Soitx∈E− {0}ety= x
N(x)∈S, doncN(y)≥µet donc||x|| ≥µN(x).
Remarque.—Le théorème que nous venons de montrer implique en particulier que les notions de topologie que nous avons définies telle que la notion de voisinnage, d’ouvert, de fermé, de compa etc. sont indépendante du choix d’une norme sur un e.v. de dimension finie et que donc ces notions sont intrinséquement lié à l’espace sans préciser sa norme.
Théorème.—On a les propriétés suivantes :
•Tout e.v.n. de dimension finie eun espace de Banach.
•Une partieAd’un e.v.n de dimension finie ecompae si et seulement siAefermée et bornée.
•Une partieAd’un e.v.n de dimension finie ecomplète si et seulement si elle efermée, en particulier tout les sous-espace d’un e.v.n. de dimension fini sont fermés.
•SiEeun e.v.n de dimension finie et siFeun e.v.n., alors toute application linéaire et multilinéaire de EdansFecontinue. En particulier, siEede dimension finie, on aLc(E) =L(E)et alors(L(E),|||.|||) eun espace de Banach.
Espace ve oriel normé en dimension finie
Topologie des e.v.n. de dimension finie
