Analyse dans les espaces métriques

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Analyse dans les espaces métriques

Hervé Pajot, Emmanuel Russ

To cite this version:

Hervé Pajot, Emmanuel Russ. Analyse dans les espaces métriques. CNRS Edition. EDP Sciences,

2018, Collection Savoirs Actuels. �hal-01649911�

Analyse dans les espaces métriques

Hervé Pajot et Emmanuel Russ

27 novembre 2017

Table des matières

Motivations et plan 2

Notations 2

1 Eléments de théorie de la mesure 13

1 Mesures . . . 13

1.1 Définitions et propriétés générales . . . 13

1.2 Fonctions mesurables . . . 22

1.3 Mesure image . . . 22

1.4 Prolongements d’applications continues . . . 22

1.5 Approximation par des fonctions continues . . . 23

2 La mesure de Lebesgue dans R ⁿ . . . 25

2.1 Définition . . . 25

2.2 Caractérisation de la mesure de Lebesgue . . . 26

2.3 Changement de variables pour la mesure de Lebesgue . . . 27

2.4 Inégalité isodiamétrique . . . 31

2.5 Une autre approche via l’inégalité de Brunn-Minkowksi . . . 34

3 Lemmes de recouvrement . . . 37

3.1 Un lemme de recouvrement 5r . . . 38

3.2 Un lemme de recouvrement de Vitali . . . 39

3.3 Un lemme de recouvrement de Besicovitch . . . 40

4 Espaces de nature homogène . . . 46

4.1 Définitions et premières propriétés . . . 46

4.2 Espaces doublants . . . 49

4.3 Un lemme de recouvrement de Vitali dans les espaces de nature homogène . . . 50

4.4 Théorème de plongement d’Assouad . . . 51

5 Compléments sur les groupes de Lie . . . 54

5.1 Champs de vecteurs . . . 54

5.2 Algèbres de Lie . . . 55

5.3 Groupes de Lie . . . 56

5.4 Application exponentielle . . . 57

5.5 Distance de Carnot . . . 58

5.6 Groupes de Carnot . . . 59

5.7 Mesure de Haar . . . 61

6 Fonction maximale de Hardy Littlewood . . . 61

7 Différentiation de mesures . . . 66

7.1 Le théorème de différentiation de Lebesgue . . . 66

7.2 Le théorème de Radon Nikodym . . . 67

7.3 Introduction aux fonctions absolument continues . . . 72

7.4 Différentiation de Lebesgue dans les espaces de nature homogène . . . 80

8 Exercices . . . 87

2 Applications lipschitziennes et théorie géométrique de la mesure 97 1 Définition, exemples et propriétés élémentaires des applications lipschitziennes . . . 97

2 Mesures et dimension de Hausdorff . . . 100

2.1 Construction de Carathéodory, mesures et dimension de Hausdorff . . . 100

2.2 L’inégalité isodiamétrique dans R ⁿ et l’égalité H ⁿ = L ⁿ . . . 102

2.3 Exemples de calculs de dimension de Hausdorff . . . 103

2.4 Mesures de Hausdorff et applications lipschitziennes . . . 113

2.5 Résultats de densité pour les mesures de Hausdorff . . . 114

2.6 Constructions de mesures via la convergence faible . . . 117

3 Différentiabilité des applications lipschitziennes et approximation par des fonctions lisses 119 3.1 Théorèmes de différentiabilité de Rademacher et de Stepanov . . . 119

3.2 Théorème d’extension de Whitney et approximation C ¹ . . . 123

3.3 Norme du jacobien généralisé d’une application lipschitzienne . . . 126

3.4 Théorèmes de type Rademacher dans les espaces de Banach . . . 128

3.5 Cas du groupe d’Heisenberg : Théorème de Pansu et non-plongement bilipschit- zien dans les espaces euclidiens . . . 134

3.6 Fonctions lipschitziennes et dérivée métrique . . . 136

4 Théorèmes de prolongement des applications lipschitziennes . . . 138

4.1 Le cas euclidien . . . 139

4.2 Topologie faible ∗ et le cas hilbertien . . . 141

4.3 Extension des fonctions lipschitziennes dans les espaces de Banach et les groupes de Carnot . . . 143

4.4 Dimension de Nagata et extension dans le cas métrique . . . 143

5 Autour de la théorie de la rectifiabilité . . . 147

5.1 Ensembles rectifiables et purement non rectifiables . . . 147

5.2 Diverses caractérisations classiques des ensembles rectifiables . . . 152

5.3 Quelques applications de la théorie de la rectifiabilité . . . 156

5.4 Vers une théorie de la rectifiabilité dans les groupes de Carnot ou les espaces métriques ? . . . 164

6 Formules de l’aire et de la coaire . . . 165

6.1 Formule de l’aire dans les espaces euclidiens . . . 165

6.2 Formule de la coaire dans le cas euclidien . . . 169

6.3 Mesure intégrale-géométrique et formule de Crofton . . . 171

6.4 Formules de l’aire et de la coaire dans les groupes de Carnot . . . 173

6.5 Formules de l’aire et de la coaire dans les espaces métriques . . . 175

7 Exercices . . . 179

3 Espaces de Sobolev 189 1 Espaces de Sobolev dans des ouverts de R ⁿ . . . 189

1.1 Introduction . . . 189

1.2 Espaces de Hölder . . . 190

1.3 Dérivée faible . . . 190

1.4 Définition des espaces de Sobolev W ^1,p . . . 192

1.5 Un premier résultat d’approximation : le théorème de Friedrichs . . . 194

1.6 Une caractérisation de W ^1,p (U ) en termes de fonction translatée . . . 196

1.7 Résultat d’extension . . . 200

1.8 Autres résultats d’approximation . . . 203

1.9 Traces . . . 204

1.10 Espaces de traces . . . 207

1.11 Plongements de Sobolev . . . 212

1.12 Inégalités de Poincaré . . . 220

1.13 Introduction aux fonctions à variation bornée . . . 222

1.14 Meilleure constante dans un plongement de Sobolev . . . 225

2 Espaces de Sobolev dans les espaces métriques . . . 227

2.1 Module d’une famille de courbes . . . 228

2.2 Gradients supérieurs . . . 230

2.3 Espaces de Sobolev N ^1,p . . . 233

2.4 Espaces de Sobolev à valeurs dans un espace de Banach . . . 240

2.5 Espaces de Sobolev M ^1,p . . . 240

3 Exercices . . . 250

4 Inégalités de Poincaré, espaces de Loewner et applications 257 1 Le cas euclidien . . . 257

1.1 Et tout commença avec Poincaré ! . . . 257

1.2 Le théorème fondamental de l’analyse . . . 258

1.3 Une preuve dans le cas euclidien via les potentiels de Riesz . . . 258

1.4 De Sobolev à Poincaré . . . 264

2 Inégalités de Poincaré dans les espaces métriques . . . 266

2.1 Gradients supérieurs et inégalités de Poincaré . . . 266

2.2 Une caractérisation par la fonction maximale . . . 267

2.3 Une caractérisation par la capacité ou le module de familles de courbes . . . 269

2.4 Persistance des inégalités de Poincaré sous la convergence de Gromov-Hausdorff mesurée . . . 277

2.5 Inégalité de Poincaré et quasiconvexité . . . 284

3 Exemples d’espaces de Loewner . . . 286

3.1 Pinceaux de courbes et la géométrie des poids A ∞ -forts . . . 286

3.2 Groupes de Heisenberg . . . 291

3.3 Espaces à courbure de Ricci positive . . . 292

4 Applications . . . 311

4.1 Différentiabilité des applications lipschitziennes dans les espaces de Loewner . . 311

4.2 Théorie quasi-conforme et rigidité des espaces hyperboliques . . . 314

4.3 Fonctions harmoniques à croissance polynômiale . . . 325

4.4 Estimations gaussiennes du noyau de la chaleur . . . 327

5 Quelques exercices . . . 329

Index 338

Motivations et plan

Les notes qui suivent correspondent à un cours de M2 recherche donné par les auteurs à l’Université Joseph Fourier en 2014-2015 mais ont été complétées pour aller plus loin qu’un cours de niveau master.

On s’y consacre à l’analyse dans les espaces métriques mesurés, en se concentrant essentiellement sur les questions de différentiabilité dans les espaces métriques et contient aussi bien des résultats et outils classiques (lemmes de recouvrement, fonction maximale, différentiation de mesures) que des dévelop- pements récents concernant la théorie géométrique de la mesure et le calcul des variations, les espaces de Sobolev et les inégalités de Poincaré dans les espaces métriques.

Les espaces de Sobolev dans des ouverts de R ⁿ jouent depuis longtemps un rôle essentiel dans diverses branches des mathématiques (analyse, équations aux dérivées partielles, géométrie). Rappelons que, si 1 ≤ p ≤ +∞ et U ⊂ R ⁿ est un ouvert, une fonction u ∈ L ^p (U ) appartient à l’espace de Sobolev W ^1,p (U ) si, et seulement si, u possède un gradient faible (au sens des distributions) qui appartient à L ^p (U ). Les propriétés de base de cet espace (densité des fonctions lisses, prolongement en une fonction de W ^1,p ( R ⁿ ), règle de composition, changement de variables, existence de la trace sur ∂U , plongements dans des espaces L ^p ou des espaces de fonctions hölderiennes) sont bien connues et classiques (voir par exemple [1, 22, 45, 102, 154]). Certaines propriétés de ces espaces (notamment les inégalités données par les plongements de Sobolev) ont pu être étendues à des contextes géométriques plus généraux. En particulier, certaines inégalités de Sobolev sont reliées au comportement du semigroupe de la chaleur engendré par l’opérateur de Laplace-Beltrami sur des variétés, et des phénomènes comparables ont été découverts dans des contextes discrets (groupes, graphes). On se reportera à [145] pour ces différents contextes géométriques.

La théorie des espaces de Sobolev dans des espaces métriques a commencé à être développée à la fin des années 1990. Une motivation de ce développement était l’étude (motivée elle-même par des ques- tions de rigidité en géométrie hyperbolique par exemple) des applications quasi-conformes dans les espaces à géométrie bornée. Rappelons que, dans R ⁿ , un homéomorphisme quasi-conforme entre des domaines de R ⁿ est différentiable presque partout et appartient localement à W ^1,n . La notion d’ap- plication quasi-conforme s’étend sans difficulté aux espaces métriques. Toutefois, l’identification des conditions géométriques sur l’espace qui permettent de donner une description analytique des applica- tions quasi-conformes dans un espace métrique a été une étape essentielle du développement de l’analyse dans les espaces métriques mesurés, mettant en évidence le rôle central joué par la condition de double- ment et les inégalités de Poincaré sur les boules. Ceci a amené à la notion d’espace de Loewner, ce qui est devenu un cadre général pour traiter de questions d’analyse géométrique.

Un objectif majeur de ce cours est de présenter des développements récents de l’analyse dans les espaces

métriques, en mettant l’accent sur la différentiabilité dans les espaces métriques, la théorie géométrique

de la mesure et la calcul des variations, les espaces de Sobolev et les inégalités de Poincaré. On com-

mencera toujours par rappeler la situation classique, c’est à dire dans les espaces euclidiens munis de le

mesure de Lebesque. Puis, nous expliquerons comment l’étendre à d’autres contextes géométriques (es-

paces de Banach, groupes de Carnot, espaces métriques à géométrie bornée, ...). Ces notes ne prétendent

pas donner une présentation exhaustive de l’analyse dans les espaces métriques, un domaine qui a connu

un fort développement ces dernières années. Le cours est accessible à tout étudiant ayant un niveau M1

et comporte notamment les compléments nécessaires en théorie de la mesure. Nous insisterons sur les aspects “géométrie métrique”. Ainsi, des connaissances en géométrie riemannienne ne sont pas néces- saires (même si elles peuvent être utiles parfois, voir le chapitre 4 pour une introduction à la notion de courbure). Plus de 70 exercices et problèmes sont aussi proposés.

On décrit maontenant brièvement le contenu des 4 chapitres. Le premier présente des résultats fonda- mentaux d’analyse dans les espaces de nature homogène. Ces espaces ont été introduits dans les années 1970 par Coifman et Weiss ([28]) comme un cadre général pour faire de l’analyse harmonique (sans théorie des représentations). Un espace de nature homogène est un espace métrique (X, d) muni d’une mesure de Radon µ qui vérifie la condition de doublement, i.e. µ(B(x, 2r)) ≤ C _DV µ(B (x, r)) pour une certaine constante uniforme C DV > 0 (appelée souvent constante de doublement). On commence par donner des compléments de théorie de la mesure et d’analyse (théorèmes de représentation de Riesz, de Radon-Nikodym, d’Egoroff, lemme d’Urysohn, inégalité isodiamétrique,...). On introduit ensuite les es- paces de nature homogène et décrit un exemple fondamental qui sera repris plusieurs fois dans le cours : le groupe d’Heisenberg (ou plus généralement les groupes de Carnot). On démontre les théorèmes de recouvrement classique (lemme 5r, Vitali, Besicovitch, ...) et on en donne des applications : théorème de différentiation de Lebesgue, fonction maximale de Hardy-Littlewood, dérivation de mesures, fonctions absolument continues... Ce chapitre doit être considéré comme un prolongement des cours classiques d’analyse et d’intégration de L3 et M1.

Le chapitre 2 porte sur les fonctions lipschitziennes et propose une introduction à la théorie géométrique de la mesure et au calcul des variations. On démontre les principales propriétés des fonctions lipschit- ziennes dans le cas euclidien : théorème de Rademacher sur la différentiabilité, théorème de Kirszbraun sur l’extension, théorème de Whitney (approximation par des fonctions lisses). Les cas non euclidiens (espaces de Banach, groupes de Carnot, espaces métriques) sont toujours discutés à la suite des résultats classiques. Après avoir défini les notions de mesures et dimension de Hausdorff, on définit les concepts fondamentaux autour de la théorie de la rectifiabilité et puis on discute de ses applications en analyse réelle (intégrales singulières), analyse complexe (effaçabilité pour les fonctions holomorphes bornées), segmentation d’images (minimisation de fonctionnelles de type Mumford-Shah), autour du problème de Kakeya (comment retourner efficacement une aiguille) ou des problèmes de type Plateau en lien avec la théorie des courants et des varifolds... La dernière partie du chapitre concerne les formules d’aire et de coaire qui sont des outils fondamentaux en théorie géométrique de la mesure. Nous insistons sur le fait que nous présentons toujours dans un premier temps les résultats classiques. Le lecteur doit bien les assimiler avant de s’attaquer aux généralisations dans des cadres non euclidiens qui sont discutées dans la suite.

Le chapitre 3 est consacré aux espaces de Sobolev dans les espaces métriques. On commence par dé- crire les espaces de Sobolev W ^1,p dans les ouverts de R ⁿ et leurs principales propriétés (densité des fonctions lisses, extension, trace, plongements de Sobolev, ...). Puis on explique comment étendre cette théorie dans le cadre des espaces métriques. Une approche passe par la notion de gradient supérieur, qui généralise la longueur de gradient dans le cas euclidien et que l’on présente d’abord. Cela permet de définir les espaces de Newton N ^1,p sur un espace métrique (introduits par Shanmugalingam, [134]), dont on montre les propriétés principales. Ces espaces coïncident avec W ^1,p dans le cadre euclidien, et permettent notamment de caractériser les fonctions de W ^1,p en termes d’absolue continuité. Une autre approche des espaces de Sobolev dans le cadre métrique, via une inégalité faisant intervenir la fonction maximale de Hardy-Littlewood, est celle due à Hajłasz ([54]). On obtient ainsi les espaces M ^1,p qui gé- néralisent eux aussi les espaces W ^1,p du cadre euclidien. Ce chapitre et le suivant décrivent des travaux récents (remontant aux années 1990).

Le chapitre 4 concerne les inégalités de Poincaré dans les espaces métriques et leurs applications. Après

avoir présenté le cas euclidien et le lien avec les inégalités de Sobolev (déjà évoqué au chapitre 3), on

décrit la situation dans le cas des espaces métriques. On donne des propriétés des espaces métriques

qui admettent des inégalités de Poincaré : quasiconvexité, persistance sous la convergence de Gromov- Hausdorff mesurée, ... On présente ensuite des exemples d’espaces de Loewner (c’est à dire des espaces métriques Ahlfors-réguliers qui vérifient des inégalités de Poincaré) : Géométrie des poids forts A ∞

au sens de David-Semmes, groupes de Carnot, espaces à courbure de Ricci positive (critère de Bakry- Emery pour les diffusions, condition de courbure-dimension au sens de Lott-Villani-Sturm en transport optimal, espaces d’Alexandrov en géométrie métrique, ...). On discute aussi du cas des groupes et des graphes discrets. On termine par des applications dans les espaces de Loewner : théorème de Cheeger de différentiabilité des applications lispchitziennes, théorie quasiconforme de Heinonen-Koskela et ap- plications à la géométrie hyperbolique (théorème de rigidité de type Mostow par exemple pour l’espace hyperbolique réel), fonctions harmoniques à croissance polynomiale, estimations gaussiennes du noyau de la chaleur. Ce chapitre est peut-être plus ambitieux que les précédents mais propose une ouverture vers des sujets de recherche très actuels.

Le premier auteur a bénéficié pendant la rédaction de ces notes du soutien financier des projets ANR

“GEOMETRYA” et “SRGI”.

Les auteurs tiennent à remercier Claude Sabbah et les éditions EDP Sciences, qui ont accepté le principe

de ce livre et en ont accompagné la rédaction, ainsi que les relecteurs anonymes dont les nombreuses

remarques et suggestions ont grandement contribué à enrichir le texte. Nous remercions aussi Gilles

Lancien, Antoine Lemenant et Luca Rizzi pour des discussions stimulantes concernant le contenu de ce

livre.

Notations

Espaces métriques

Si X est un ensemble, une distance d sur X est une application d : X × X → R ⁺ qui vérifie (i) Pour tous x, y dans X, d(x, y) = 0 si et seulement si x = y ;

(ii) Pour tous x, y dans X, d(x, y) = d(y, x) ;

(iii) Pour tous x, y, z dans X, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

L’axiome (iii) s’appelle l’inégalité triangulaire et jouera un rôle important dans ce livre.

Si x ∈ X et R > 0, on note B(x, R) la boule ouverte de centre x et de rayon R, c’est à dire B(x, R) = {y ∈ X; d(x, y) < R}. La boule fermée de centre x et de rayon R sera notée B _f (x, R) = {y ∈ X, d(x, y) ≤ R}. Nous rappelons qu’un espace métrique est dit propre si ses boules fermées sont compactes.

Structures euclidiennes

On supposera toujours R ⁿ muni de la base canonique notée (e 1 , ..., e n ). Un point x de R ⁿ sera associé à ses coordonnées (x ₁ , ..., x _n ) dans la base canonique et on écrira souvent x = (x ₁ , ..., x _n ).

Si x = (x ₁ , ...., x _n ) et y = (y ₁ , ..., y _n ) , on définit leur produit scalaire usuel par hx, yi = ^{P n} _i=1 x _i y _i . La norme euclidienne de x est alors

kxk = q

hx, xi = v u u t

n

X

i=1

x ² _i .

Pour tous x, y ∈ R ⁿ , la distance euclidienne de x à y, qui vaut kx − yk, sera notée |x − y|, et, sauf mention du contraire, R ⁿ sera muni de la distance euclidienne.

Mesures

Les mesures que nous utiliserons le plus souvent dans ce livre sont :

- les mesures de Dirac en un point x d’un ensemble X, c’est à dire δ _x (A) = 1 si x ∈ A et δ _x (A) = 0 sinon (pour tout sous-ensemble A de X). On notera d’autre part χ A la fonction caractéristique de A, c’est à dire χ _A (x) = δ _x (A).

- la mesure de Lebesgue n-dimensionnelle notée L ⁿ dans le cas X = R ⁿ .

- la mesure de Hausdorff s-dimensionnelle notée H ^s dans le cas d’un espace métrique quelconque (X, d).

On note α(n) := L ⁿ (B(0, 1)).

Si µ est une mesure sur X, A ⊂ X, µ A est la restriction de µ à A.

On écrira qu’une propriété (P) est µ-presque partout vraie (ou µ-pp) si l’ensemble des points pour lesquels la propriété (P) n’est pas vérifiée est de µ-mesure nulle.

Si µ est une mesure sur l’espace métrique (X, d) et si f : X → R est une fonction localement intégrable, sa moyenne (si elle existe) sur la boule B (x, R) sera définie et notée par

− Z

B(x,R)

f dµ = 1 µ(B(x, R))

Z

B(x,R)

f dµ.

Espaces fonctionnels

Soit (X, d) un espace métrique. On notera C(X) l’espace des fonctions continues f : X → R et C _c (X) l’espace des fonctions continues f : X → R à support compact dans X.

Dans le cas où X = R ⁿ , on note C ^p ( R ⁿ ) l’espace des fonctions de f : R ⁿ → R de classe C ^p et C _c ^p ( R ⁿ ) l’espace des fonctions f : R ⁿ → R de classe C ^p à support compact dans R ⁿ . On englobe ici le cas des fonctions C ^∞ , c’est à dire pour p = ∞ .

Si X est muni d’une mesure µ, on note kf k _p = ( ^R _X |f(x)| ^p dµ(x)) ^1/p si p < ∞ et kf k _∞ = inf{C; |f (x)| ≤ C pour µ − presque tout x ∈ R ⁿ } . On note alors L ^p (X) = {f; kf k _p < ∞} .

Si f est une fonction différentiable sur un ouvert de R ⁿ , on note Df sa différentielle, J f sa matrice jacobienne et _∂x ^∂f

i

ses dérivées partielles. Si f est à valeurs réelles, on note ∇f le gradient de f . Enfin, on note ∆ = ^{P n} _{i=1 ∂x} ^∂

i

le laplacien.

Chapitre 1

Eléments de théorie de la mesure

1 Mesures

Le matériel présenté dans cette section est principalement issu de [45, Chapter 1].

1.1 Définitions et propriétés générales

Si X est un ensemble, on notera P (X) l’ensemble des parties de X.

Définition 1.1. Soit X un ensemble. Une mesure positive sur X est une application µ : P (X) → [0, +∞] telle que

1. µ(∅) = 0,

2. pour toute suite (A _k ) _k≥1 de parties de X et tout A ⊂ ^[

k≥1

A _k , µ(A) ≤ ^X

k≥1

µ(A _k ).

On dit aussi que (X, µ) est un espace mesuré.

On donne ici des premiers exemples de mesures.

Exemple 1.2. Soit X un ensemble.

1. Pour tout x ∈ X, on définit δ _x sur X par δ _x (A) = χ _A (x) (où χ _A désigne la fonction indicatrice de A). On vérifie facilement que δ x est une mesure sur X, appelée mesure de Dirac au point x.

2. Pour toute partie A ⊂ X, on pose µ(A) = ]A, où ]A désigne le cardinal de A dans [0, +∞].

L’application µ est clairement une mesure sur X, appelée mesure de comptage sur X.

Remarque 1.3. 1. La définition d’une mesure donnée dans la définition 1.1 correspond à ce qui est souvent appelé une mesure extérieure. Ici, µ(A) est définie pour toute partie A de X, même si A n’est pas mesurable (cette notion d’ensemble mesurable n’a pas encore été définie). Voir aussi la remarque 1.14 plus bas.

2. Si µ est une mesure sur X, alors pour toutes parties A ⊂ B ⊂ X, on a µ(A) ≤ µ(B).

On définit maintenant la restriction d’une mesure à une partie :

Définition 1.4. Soient X un ensemble, µ une mesure sur X et A ⊂ X. On définit la mesure µ restreinte à A, notée µ A, par

µ A(B ) = µ(A ∩ B )

pour tout B ⊂ X. On notera que µ A est encore une mesure sur X.

Si (X, µ) est un ensemble mesuré, certaines parties sont dites mesurables :

Définition 1.5. Soient X un ensemble et µ une mesure sur X. Si A ⊂ X, on dit que A est mesurable (ou µ-mesurable) si, et seulement si, pour tout B ⊂ X,

µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B \ A).

Voici quelques propriétés des ensembles mesurables : Proposition 1.6. Soient X un ensemble et µ une mesure sur X.

1. Si A ⊂ X et µ(A) = 0, alors A est mesurable.

2. Si A ⊂ X, A est mesurable si, et seulement si, X \ A est mesurable.

3. Si A ⊂ X, tout ensemble mesurable pour µ est aussi mesurable pour µ A.

4. Si (A k ) _k≥1 est une suite d’ensembles mesurables, alors ^[

k≥1

A k et ^\

k≥1

A k sont mesurables.

5. Si (A k ) _k≥1 est une suite d’ensembles mesurables deux à deux disjoints, alors µ



 [

k≥1

A _k



 = ^X

k≥1

µ(A _k ).

6. Si (A k ) _k≥1 est une suite d’ensembles mesurables avec A k ⊂ A k+1 pour tout k, alors µ



 [

k≥1

A _k



 = lim

k→+∞ µ(A _k ).

7. Si (A _k ) _k≥1 est une suite d’ensembles mesurables avec A _k ⊃ A _k+1 pour tout k et µ(A 1 ) < +∞, alors

µ





\

k≥1

A _k



 = lim

k→+∞ µ(A _k ).

La preuve est laissée en exercice (cf [45, Chapter 1, Section 1.1, Theorem 1]). On peut ajouter : Proposition 1.7. Soient X un ensemble et µ une mesure sur X.

1. Si A, B ⊂ X sont mesurables, alors

µ(A ∪ B ) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B).

2. Si (A _k ) _k≥1 est une suite d’ensembles mesurables tels que, pour tous k, l ≥ 1 avec k 6= l, µ(A _k ∩ A _l ) = 0, alors

µ



 [

k≥1

A _k



 = ^X

k≥1

µ(A _k ).

Démonstration. Pour 1, on remarque que A ∪B = (A \ B) ∪(B \A) ∪(A ∩B), A = (A \ B) ∪(A ∩B), B = (B \ A) ∪ (A ∩ B), et que ces unions sont disjointes. On en déduit la formule annoncée si µ(A ∩ B) < +∞ (car dans ce cas, µ(A \ B) = µ(A) − µ(A ∩ B) et µ(B \ A) = µ(B ) − µ(A ∩ B)).

Si µ(A ∩ B ) = +∞, on a aussi µ(A) = µ(B) = µ(A ∪ B) = +∞, et la formule est encore valable.

Pour 2, on vérifie par récurrence sur n et en utilisant 1 que, pour tout n ≥ 1, µ



 [

1≤k≤n

A k



 = X

1≤k≤n

µ(A _k ). On en déduit 2 car lim

n→+∞ µ



 [

1≤k≤n

A _k



 = µ



 [

k≥1

A _k



 , par le point 6 de la propo-

sition 1.6.

Remarque 1.8. Un cas particulier de la propriété 2 de la proposition 1.7 est le cas où les A _k sont deux à deux disjoints, rappelé en 5 de la proposition 1.6.

Voici une autre propriété ([98, Exercise 1.2]) :

Lemme 1.9. Soient X un ensemble et µ une mesure sur X. Soient A ⊂ B ⊂ X. On suppose µ(A) = µ(B) < +∞. Alors, pour tout C ⊂ X mesurable, µ(A ∩ C) = µ(B ∩ C).

Démonstration. Comme C est mesurable, on a µ(A) = µ(A \ C) + µ(A ∩ C) et µ(B) = µ(B \ C) + µ(B ∩ C). Comme A ⊂ B, on a aussi A \ C ⊂ B \ C, donc µ(A \ C) ≤ µ(B \ C). Comme µ(A) = µ(B) < +∞, on obtient

µ(B ∩ C) = µ(B) − µ(B \ C) ≤ µ(A) − µ(A \ C) = µ(A ∩ C), et comme µ(A ∩ C) ≤ µ(B ∩ C) par inclusion, on obtient la conclusion.

Définition 1.10. Soient X un ensemble et T ⊂ P (X). On dit que T est une tribu si, et seulement si : 1. ∅ ∈ T ,

2. pour tout A ∈ T , X \ A ∈ T , 3. pour toute suite (A _k ) _k≥1 ∈ T , ^[

k≥1

A _k ∈ T . Si (T _i ) _i∈I est une famille de tribus de X, alors

\

i∈I

T _i := {A ⊂ X; A ∈ T _i pour tout i ∈ I }

est aussi une tribu de X. Cela permet de définir la tribu engendrée par une partie A ⊂ P(X) comme l’intersection de toutes les tribus de X contenant A. C’est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) contenant A .

On définit aussi la notion de classe monotone, qui servira pour la preuve du Lemme 1.47 plus loin : Définition 1.11. Soient X un ensemble et M ⊂ P(X). On dit que M est une classe monotone si, et seulement si :

1. X ∈ M,

2. si A, B ∈ M et A ⊂ B , alors B \ A ∈ M,

3. pour toute suite (A n ) _n≥1 d’éléments de M avec A n ⊂ A n+1 pour tout n ≥ 1, ^[

n≥1

A n ∈ M.

Comme dans le cas des tribus, on définit la classe monotone engendrée par une partie A ⊂ P(X) comme l’intersection de toutes les classes monotones de X contenant A. C’est la plus petite classe monotone (au sens de l’inclusion) contenant A.

On vérifie qu’une tribu est une classe monotone, et qu’une classe monotone stable par intersection finie est une tribu.

On énonce ici le lemme des classes monotones :

Théorème 1.12. Soient X un ensemble et A ⊂ P (X) stable par intersection finie. Alors la classe monotone engendrée par A et la tribu engendrée par A coïncindent.

On pourra se reporter à [13, Théorème I.3.3] pour la preuve. Une conséquence importante de ce théorème est le résultat suivant d’unicité des mesures :

Corollaire 1.13. Soient X un ensemble, A ⊂ P(X) stable par intersection finie et T la tribu engendrée

par A.

1. Soient µ, ν deux mesures sur X, telles que µ(X) = ν (X) < +∞. On suppose que µ(E) = ν(E) pour tout E ∈ A . Alors µ(E ) = ν(E) pour tout E ∈ T .

2. Soient µ, ν deux mesures sur X. On suppose que µ(E) = ν(E) pour tout E ∈ A et qu’il existe une suite croissante (X _n ) _n≥1 ∈ A telle que ^[

n≥1

X _n = X et mu(X _n ) = ν(X _n ) pour tout n ≥ 1.

Alors µ(E) = ν(E) pour tout E ∈ T .

Démonstration. On commence par le cas 1. Soit M l’ensemble des E ∈ T tel que µ(E) = ν(E). On vérifie que M est une classe monotone. En effet, X ∈ M car µ(X) = ν(X). Soient A ⊂ B dans M.

Alors, comme µ(B) < +∞ et ν(B) < +∞ ,

µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) = ν(B) − ν(A) = ν(B \ A).

Soit enfin (A _n ) _n≥1 une suite d’éléments de M avec A _n ⊂ A _n+1 pour tout n ≥ 1 . Alors µ



 [

n≥1

A _n



 = lim

n→+∞ µ(A _n ) = lim

n→+∞ ν(A _n ) = ν



 [

n≥1

A _n



 .

Comme M est une classe monotone contenant A , M contient donc la classe monotone engendrée par A, qui est égale à T par le théorème 1.12.

Pour 2, soit n ≥ 1. D’après le cas 1, les mesures µ X n et ν X n coïncident sur T , ce qui signifie que, pou tout E ∈ T et tout n ≥ 1 , µ(E ∩ X _n ) = ν(E ∩ X _n ) . Il suffit alors de faire tendre n vers +∞

pour conclure que µ(E) = ν(E).

Remarque 1.14.

Une mesure est souvent définie sur une tribu et non sur l’ensemble de toutes les parties d’un ensemble donné. Le lien entre la notion usuelle de mesure et celle présentée ici est le suivant. Si X est un ensemble et µ est une mesure sur X au sens de la définition 1.1, alors l’ensemble des parties mesurables pour µ forme une tribu de X (proposition 1.1) et :

1. µ(∅) = 0,

2. pour toute suite de parties mesurables deux à deux disjointes (A _k ) _k≥1 , µ



 [

k≥1

A _k



 = ^X

k≥1

µ(A _k ).

Cet énoncé est attribué à Carathéodory (voir [89, Theorem 1.15]). Réciproquement, si T est une tribu de X et µ : T → [0, +∞] vérifie les propriétés 1 et 2 précédentes pour toute suite de parties deux à deux disjointes (A _k ) _k≥1 appartenant à T , et si on définit, pour toute partie A ⊂ X,

µ ^∗ (A) := inf

B∈T ; B⊃A µ(B), (1.15)

alors µ ^∗ est une mesure au sens de la définition 1.1 (exercice, voir [98, Chapter 1, Section 1.1]). On a µ ^∗ (A) = µ(A) pour toute A ∈ T .

On vérifie de plus que, si E ∈ T , alors E est mesurable pour µ ^∗ . En effet, soient A ⊂ X et k ≥ 1. Il existe B ⊃ A appartenant à T tel que µ(B) ≤ µ ^∗ (A) + ¹ _k . Alors, comme B et E appartiennent à T ,

µ ^∗ (A) ≥ µ(B) − 1

k = µ(B ∩ E) − µ(B \ E) − 1

k ≥ µ ^∗ (A ∩ E) − µ ^∗ (A \ E) − 1 k , et comme c’est vrai pour tout k ≥ 1, on obtient

µ ^∗ (A) ≥ µ ^∗ (A ∩ E) − µ ^∗ (A \ E ),

et comme la majoration µ ^∗ (A) ≤ µ ^∗ (A ∩ E) − µ ^∗ (A \ E) est vraie par inclusion et sous-additivité de

µ ^∗ , on obtient bien que E est mesurable pour µ ^∗ .

Définition 1.16. Soient X un ensemble et µ une mesure sur X. On dit que µ est σ-finie si, et seulement si, il existe une famille dénombrable de parties (X _k ) _k≥1 ⊂ X telles que X = ^[

k≥1

X _k et µ(X _k ) < +∞

pour tout k ≥ 1.

Définition 1.17. Soit (X, d) un espace métrique. La tribu engendrée par les ouverts de X s’appelle tribu borélienne de X. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés ensembles boréliens.

Définition 1.18. Soient X un ensemble et µ une mesure sur X.

1. La mesure µ est dite régulière si, et seulement si, pour tout A ⊂ X, il existe un ensemble mesurable B ⊃ A tel que µ(A) = µ(B).

2. Si (X, d) est un espace métrique, µ est dite borélienne si, et seulement si, tout ensemble borélien est mesurable.

3. Si (X, d) est un espace métrique, µ est dite borélienne régulière si, et seulement si, µ est boré- lienne et, pour tout A ⊂ X, il existe un borélien B ⊃ A tel que µ(A) = µ(B).

4. Si (X, d) est un espace métrique, µ est une mesure de Radon si, et seulement si, µ est borélienne régulière et µ(K) < +∞ pour tout compact K ⊂ X.

Remarque 1.19. On revient à la remarque 1.14. Soient X un ensemble et µ une mesure sur X (au sens de la définition 1.1). On commence par restreindre µ aux parties mesurables, puis on définit µ _e par (1.15).

Alors µ(A) = _e µ(A) pour toute A ⊂ X si, et seulement si, µ est régulière. En effet, si µ est régulière et A ⊂ X, il existe B ⊃ A tel que µ(B ) = µ(A), donc µ(A) = _e µ(A). Réciproquement, supposons µ _e = µ et soit A ⊂ X. Pour tout k ≥ 1 , il existe A _k ⊃ A mesurable tel que µ(A _k ) ≤ µ(A) + ¹ _k . On pose alors B := ^\

k≥1

A k , qui est mesurable. On a bien B ⊃ A et µ(A) ≤ µ(B) ≤ µ(A k ) pour tout k ≥ 1, de sorte que µ(B) = µ(A).

La propriété suivante sera utilisée par la suite :

Proposition 1.20. Soient (X, d) un espace métrique et µ une mesure borélienne régulière sur X. Soit A ⊂ X mesurable avec µ(A) < +∞. Alors ν := µ A est une mesure de Radon.

Démonstration. Il est clair que ν(K) < +∞ pour tout compact K ⊂ X et que tout borélien est ν- mesurable (proposition 1.6, assertion 3).

On peut supposer que A est borélien. En effet, il existe un borélien B tel que A ⊂ B et µ(A) = µ(B) <

+∞. Alors

µ A = µ B. (1.21)

En effet, comme A est µ-mesurable,

µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) = 0.

De plus, pour tout C ⊂ X,

(µ B)(C) = µ(B ∩ C)

= µ(C ∩ B ∩ A) + µ((C ∩ B) \ A)

≤ µ(C ∩ A) + µ(B \ A)

= (µ A)(C).

Comme on a aussi clairement (µ A)(C) ≤ (µ B)(C) , on obtient bien (1.21).

On peut donc supposer A borélien. Soit C ⊂ X. Comme µ est borélienne régulière, il existe un borélien E ⊃ A ∩ C tel que µ(E) = µ(A ∩ C). On définit D := E ^S (X \ A), qui est un borélien qui contient C. De plus,

(µ A)(D) = µ(A ∩ D) = µ(A ∩ E) ≤ µ(E) = µ(A ∩ C) = (µ A)(C),

et l’inégalité (µ A)(C) ≤ (µ A)(D) est immédiate. Ainsi, (µ A)(D) = (µ A)(C), ce qui termine la preuve.

Voici une variante :

Proposition 1.22. Soient (X, d) un espace métrique et µ une mesure de Radon sur X. Soit A ⊂ X borélien. Alors ν := µ A est une mesure de Radon.

Démonstration. Il est clair à nouveau que ν(K) = µ(A ∩ K) ≤ µ(K ) < +∞ pour tout compact K ⊂ X (car µ est de Radon) et que tout borélien est ν-mesurable (proposition 1.6, assertion 3).

Soit C ⊂ X. Comme µ est borélienne régulière, il existe un borélien E ⊃ A ∩ C tel que µ(E) = µ(A∩C) . On définit D := E ^S (X\A) , qui est un borélien (rappelons que A est borélien par hypothèse !) qui contient C. De plus,

(µ A)(D) = µ(A ∩ D) = µ(A ∩ E) ≤ µ(E) = µ(A ∩ C) = (µ A)(C),

et l’inégalité (µ A)(C) ≤ (µ A)(D) est immédiate. Ainsi, (µ A)(D) = (µ A)(C), ce qui termine la preuve.

Un phénomène important concernant les mesures boréliennes est constitué par leurs propriétés d’ap- proximation ([98, Theorem 1.10]) :

Lemme 1.23. Soient (X, d) un espace métrique, µ une mesure borélienne sur X et B ⊂ X un ensemble borélien.

1. Si µ(B) < +∞, alors pour tout ε > 0, il existe un fermé F ⊂ B tel que µ(B \ F ) < ε.

2. S’il existe une famille dénombrable d’ouverts (V _k ) _k≥1 tels que µ(V _k ) < +∞ pour tout k ≥ 1 et B ⊂ ^[

k≥1

V k , alors pour tout ε > 0, il existe un ouvert U ⊃ B tel que µ(U \ B) < ε.

Démonstration. Pour 1 , on pose ν := µ B . La mesure ν est borélienne et finie (i.e. ν(X) < +∞ ).

On définit

F := {A ⊂ X; pour tout ε > 0, il existe un fermé F ⊂ A et un ouvert U ⊃ A tels que ν (U \ F ) < ε} . On vérifie d’abord que F contient tous les fermés de X. En effet, soient F un fermé de X et ε > 0. Pour tout entier k ≥ 1, soit

U _k :=

x ∈ X; d(x, F ) < 1 k

, qui est un ouvert de X. Pour tout k ≥ 1,

V _k := U _k \ F =

x ∈ X; 0 < d(x, F ) < 1 k

est un ouvert de X, V _k+1 ⊂ V _k et ^\

k≥1

V _k = ∅. Comme ν (V ₁ ) < +∞, il existe k ≥ 1 tel que ν(V _k ) < ε, ce qui donne la conclusion.

On vérifie ensuite que F est une tribu. En effet, ∅ ∈ F et si A ∈ F , X \ A ∈ F . Enfin, si (A _k ) _k≥1 est une suite d’éléments de F et ε > 0, alors, pour tout k ≥ 1, il existe un fermé F _k ⊂ A _k et un ouvert U k ⊃ A k tels que ν(U k \ F k ) < ₂ ^ε

. Soit U := ^[

k≥1

U k , qui est un ouvert de X. Comme ν(U ) < +∞,

m→+∞ lim ν



 U \ ^[

1≤k≤m

F _k



 = ν



 [

k≥1

U _k \ ^[

k≥1

F _k





≤ ν



 [

k≥1

(U k \ F k )





≤ ^X

k≥1

ν(U _k \ F _k ) < ε,

de sorte qu’il existe un entier m ≥ 1 tel que ν



 U \ ^[

1≤k≤m

F _k



 < ε, [

1≤k≤m

F _k est un fermé et ^[

1≤k≤m

F _k ⊂ A ⊂ U .

Ainsi, F est une tribu contenant tous les fermés de X, donc tous les boréliens, ce qui termine la preuve de 1.

Pour 2, par le point 1, pour tout k ≥ 1, il existe un fermé F k ⊂ V k \ B tel que µ((V k \ B) \ F k ) < ₂ ^ε

. Soit U := ^[

k≥1

(V k \ F k ), qui est donc un ouvert de X. On vérifie facilement que B ⊂ U et que µ(U \ B) < ε.

Théorème 1.24. Soient (X, d) un espace métrique et µ une mesure de Radon sur X.

1. Soit A ⊂ X. On suppose qu’il existe une famille dénombrable d’ouverts (V _k ) k≥1 tels que µ(V k ) < +∞ pour tout k ≥ 1 et A ⊂ ^[

k≥1

V k , alors µ(A) = inf

U ouvert , U⊃A µ(U ),

2. On suppose qu’il existe une famille dénombrable de compacts (K _m ) _m≥1 tels que X = ^[

m≥1

K _m . Alors, pour tout ensemble µ-mesurable A ⊂ X,

µ(A) = sup

K compact , K⊂A

µ(K).

On notera que A n’est pas supposé mesurable dans 1.

Démonstration. Pour 1 , il suffit clairement de traiter le cas µ(A) < +∞ . Si A est borélien, et si ε > 0 , le lemme 1.23 fournit un ouvert U ⊃ A tel que µ(U \ A) < ε, ce qui donne la conclusion car µ(U ) = µ(A) + µ(U \ A) < +∞. Dans le cas général, il existe un borélien B ⊃ A tel que µ(A) = µ(B ). Il s’ensuit que

µ(A) = µ(B) = inf

U ouvert ^{, U⊃B} µ(U )

≥ inf

U ouvert ^{, U⊃A} µ(U ), ce qui termine la preuve puisque l’inégalité inverse est immédiate.

Pour 2, soit A un ensemble mesurable tel que µ(A) < +∞. On définit ν := µ A, qui est une mesure de Radon par la proposition 1.20. Soit ε > 0. Par le point 1 appliqué avec ν et X \ A, il existe un ouvert U ⊃ X \ A tel que ν(U ) < ν(X \ A) + ε = ε. Si F = X \ U , F est fermé et F ⊂ A. De plus,

µ(A \ F ) = ν(X \ F ) = ν(U ) < ε, si bien que

0 ≤ µ(A) − µ(F ) < ε.

On a donc établi

µ(A) = sup

F fermé ; F ⊂A

µ(F ). (1.25)

On passe maintenant au cas où µ(A) = +∞. On peut supposer la suite (K _m ) _m≥1 croissante (remplacer chaque K _m par l’union des K _l pour 1 ≤ l ≤ m), et on pose K _m ⁰ := K _m \ K m−1 pour tout m ≥ 2 et K ₁ ⁰ := K 1 , de sorte que les K _m ⁰ sont deux à deux disjoints et X = ^[

m≥1

K _m ⁰ . Comme µ(A) = +∞, on a +∞ = µ(A) = ^X

m≥1

µ(A ∩ K _m ⁰ ).

Comme µ est une mesure de Radon, µ(A ∩ K _m ⁰ ) < +∞ et le cas précédemment traité fournit un fermé F _m ⊂ A ∩ K _m ⁰ tel que µ(F _m ) ≥ µ(A ∩ K _m ⁰ ) − ₂ ¹

. On a ^[

m≥1

F _m ⊂ A et

l→+∞ lim µ



 [

1≤m≤l

F m



 = µ



 [

m≥1

F m





= ^X

m≥1

µ(F m )

≥ ^X

m≥1

µ(A ∩ K _m ⁰ ) − 1 2 ^m

= +∞.

Comme ^[

1≤m≤l

F _m est un fermé pour tout l, on obtient bien (1.25) également dans ce cas.

Enfin, comme, pour tout fermé F ⊂ X, µ(F) = lim

m→+∞ µ(F ∩ K m ) et F ∩ K m est compact, on obtient finalement la conclusion de l’assertion 2 du théorème 1.24.

Voici des exemples de mesures de Radon :

Exemple 1.26. 1. La mesure de Lebesgue L ⁿ , qui sera définie plus bas (section 2) est une mesure de Radon sur R ⁿ (voir la proposition 1.46).

2. Soit (X, d) un espace métrique. Pour tout x ∈ X, la mesure δ _x (voir l’exemple 1.2) est une mesure de Radon.

3. Soit (X, d) un espace métrique. La mesure de comptage sur A (voir l’exemple 1.2) est une mesure borélienne régulière. C’est une mesure de Radon si, et seulement si, tout compact de X est un ensemble fini, c’est-à-dire X est un espace discret.

Pour poursuivre cette section, voici une condition nécessaire et suffisante pour qu’une mesure soit boré- lienne :

Théorème 1.27. [Critère de Caratheodory] ([45, Chapter 1, Theorem 5], [64, Lemma 3.3.5]) Soient (X, d) un espace métrique et µ une mesure sur X. Alors µ est borélienne si, et seulement si, pour tous A, B ⊂ X avec d(A, B) > 0, on a µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).

Démonstration. On suppose d’abord µ borélienne. Soient A, B ⊂ X avec d(A, B) > 0. On définit U :=

{x ∈ X; d(x, A) < d(x, B)}. Alors U est un ouvert contenant A et U ∩ B = ∅. On a (A ∪ B) \ U = B et (A ∪ B) ∩ U = A. Comme U est ouvert, U est borélien donc mesurable, de sorte que

µ(A ∪ B) = µ((A ∪ B) \ U ) + µ((A ∪ B) ∩ U ) = µ(B) + µ(A).

On suppose maintenant que, pour tous A, B ⊂ X avec d(A, B) > 0, on a µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).

On cherche à montrer que µ est borélienne. Il suffit de montrer que les fermés sont mesurables, car les

ouverts le seront donc aussi, donc les boréliens. Soit donc F ⊂ X un fermé. On veut montrer que F est

mesurable, ce qui signifie que, pour tout A ⊂ X, µ(A) = µ(A \ F) + µ(A ∩ F ). On a clairement, par inclusion et sous-additivité de µ, µ(A) ≤ µ(A \ F ) + µ(A ∩ F ) . Il suffit donc de vérifier

µ(A \ F ) + µ(A ∩ F ) ≤ µ(A). (1.28) Il suffit de le voir quand µ(A) < +∞. Pour tout k ≥ 1 , soit

F k :=

x ∈ X; d(x, F ) ≤ 1 k

. Comme d(A \ F _k , A ∩ F ) ≥ _k ¹ , l’hypothèse sur µ montre que

µ(A \ F _k ) + µ(A ∩ F ) = µ((A \ F _k ) ∪ (A ∩ F )) ≤ µ(A).

Il suffit donc, pour terminer la preuve du théorème 1.27, de montrer que

k→+∞ lim µ(A \ F _k ) = µ(A \ F). (1.29)

Pour cela, pour tout k ≥ 1, on définit R k :=

x ∈ A; 1

k + 1 < d(x, F ) ≤ 1 k

.

Pour tous i, j ≥ 1 avec j ≥ i + 2, d(R _i , R _j ) > 0. On a donc, pour tout m ≥ 1 et en utilisant à nouveau l’hypothèse sur µ,

µ(A) ≥ µ



 [

1≤i≤m

R 2i



 = ^X

1≤i≤m

µ (R 2i ) , et de même

X

1≤i≤m

µ (R 2i+1 ) ≤ µ(A), de sorte que

X

i≥1

µ(R i ) ≤ 2µ(A) < +∞. (1.30)

Comme F est fermé, pour tout x ∈ X, x / ∈ F si, et seulement si, d(x, F ) > 0. On a donc, pour tout k ≥ 1,

A \ F = (A \ F k ) ^[



 [

m≥k

R m



 , si bien que

µ(A \ F ) − ^X

m≥k

µ(R m ) ≤ µ(A \ F k ) ≤ µ(A \ F ), et, en faisant tendre k vers +∞ et utilisant (1.30), on obtient bien (1.29).

On termine cette section en définissant le support d’une mesure.

Définition 1.31. Soient X un espace métrique séparable et µ une mesure sur X. On définit le support de µ, noté Supp(µ), comme

spt µ := X \ {x ∈ X; il existe r > 0 tel que µ(B(x, r)) = 0} .

En d’autres termes, le support de µ est le plus petit fermé F tel que µ(X \ F ) = 0.

1.2 Fonctions mesurables

Définition 1.32. Soient X un ensemble, Y un espace métrique et µ une mesure sur X. Si f : X → Y , f est mesurable (ou µ-mesurable) si, et seulement si, pour tout ouvert ω ⊂ Y , f ⁻¹ (ω) est µ-mesurable.

On notera que, si f est mesurable, alors pour tout borélien E ⊂ Y , f ⁻¹ (E) est µ-mesurable.

Proposition 1.33. ([45, Chapter 1, Section 1.1, Theorem 6]) Soit (f _k ) _k≥1 : X → [−∞, +∞] une suite de fonctions mesurables. Alors sup _k f _k , inf _k f _k , lim f _k et lim f _k sont mesurables.

Dans cette proposition, [−∞, +∞] est muni de la topologie, donnée par la métrique standard d(x, y) := |arctan x − arctan y|, avec la convention arctan(−∞) = − ^π ₂ et arctan(+∞) = ^π ₂ . 1.3 Mesure image

Définition 1.34. Soient X, Y des espaces métriques, f : X → Y une application et µ une mesure sur X. La mesure image, notée f _] µ, de µ par f est donnée par f _] µ(A) = µ(f ⁻¹ (A)) pour tout A ⊂ Y .

Il est laissé au lecteur le soin de vérifier que f _] µ est une mesure sur Y . Si X et Y sont des espaces métriques séparables et si µ est une mesure de Radon sur X (à support compact), alors f ] µ est une mesure de Radon (et Supp(f _] µ) = f (Supp(µ))). Il est facile de voir que si f : X → Y et g : Y → R ⁺ sont des fonctions boréliennes et si µ est une mesure de Borel sur X,

Z

Y

gdf ] µ = Z

X

(g ◦ f )dµ. (1.35)

En particulier, g est intégrable par rapport à f ] µ si et seulement si g ◦ f est intégrable pour µ. Voir [98]

chapitre 1 pour plus de détails.

1.4 Prolongements d’applications continues

On commence par le lemme d’Urysohn ([125, Theorem 2.12]) :

Lemme 1.36. [Lemme d’Urysohn] Soient (X, d) un espace métrique et F, G deux fermés disjoints dans X. Alors il existe une fonction continue f : X → [0, 1] telle que f = 0 sur F et f = 1 sur G.

Démonstration. Il suffit de poser

f (x) := d(x, F ) d(x, F ) + d(x, G) pour tout x ∈ X.

Remarque 1.37. On peut donner une version de ce lemme pour des fonctions C ^∞ , voir l’exercice 1.232 plus loin.

Théorème 1.38. [Théorème de Tietze Urysohn] Soient (X, d) un espace métrique, K ⊂ X un compact et f : K → R une fonction continue. Alors il existe une fonction F : X → R continue bornée telle que F (x) = f(x) pour tout x ∈ F et

kF k _∞ = kf k _∞ .

Démonstration. Comme f est bornée sur K (fonction continue sur un compact), on peut supposer que

−1 ≤ f (x) ≤ 1 pour tout x ∈ K. On définit K ⁺ :=

x ∈ K; f (x) ≥ 1 3

, K ⁻ :=

x ∈ K; f(x) ≤ − 1 3

.

Les ensembles K ⁺ et K ⁻ sont des fermés de X disjoints. Le lemme 1.36 fournit une fonction f ₁ : X → h − ¹ ₃ , ¹ ₃ ⁱ telle que f 1 (x) = ¹ ₃ pour tout x ∈ K ⁺ et f 1 (x) = − ¹ ₃ pour tout x ∈ K ⁻ . On a donc

|f (x) − f 1 (x)| ≤ 2

3 pour tout x ∈ K et

|f ₁ (x)| ≤ 1

3 pour tout x ∈ X.

On construit ainsi par récurrence une suite de fonctions (f n ) n≥1 continues sur X telles que

f (x) −

n

X

j=1

f _j (x)

≤ 2

3 n

pour tout x ∈ K et

|f _n (x)| ≤ 1 3

2 3

n−1

pour tout x ∈ X.

La fonction F sur X définie par F (x) := ^X

n≥1

f n (x) pour tout x ∈ X vérifie les conclusions voulues.

1.5 Approximation par des fonctions continues

Théorème 1.39. [Théorème de Lusin] Soient (X, d) un espace métrique, µ une mesure de Radon sur X et f : X → R une fonction µ-mesurable. On suppose qu’il existe une famille dénombrable de compacts (X m ) _m≥1 tels que X = ^[

m≥1

X m . Soit A ⊂ X mesurable avec µ(A) < +∞. Pour tout ε > 0, il existe un compact K ⊂ X tel que :

1. µ(A \ K) < ε, 2. f | _K est continue.

Démonstration. Soit (I n ) _n≥1 la famille dénombrable de tous les intervalles ouverts de R dont les bornes appartiennent à Q ou valent +∞ ou −∞ . Comme f ⁻¹ (I _n ) et f ⁻¹ ( R \ I _n ) sont mesurables, il existe, par le théorème 1.24, des compacts K n et K _n ⁰ tels que K n ⊂ f ⁻¹ (I n ) et µ(f ⁻¹ (I n ) \ K n ) < ₂

^ε , K _n ⁰ ⊂ f ⁻¹ ( R \ I n ) et µ(f ⁻¹ ( R \ I n ) \ K _n ⁰ ) < ₂

^ε , de sorte que µ(A \ (K n S

K _n ⁰ )) < ₂ ^ε

. On pose K := ^\

n≥1

(K _n ^[ K _n ⁰ ), qui est bien compact et vérifie µ(A \ K) < ε. De plus, la restriction de f à K est continue. En effet, soient n ≥ 1 et x ∈ f ⁻¹ (I _n ) ∩ K. Comme f (x) ∈ I _n et x ∈ K, on a x ∈ U n := X \ K _n ⁰ . Ainsi, x ∈ K ∩U _n et K ∩U _n est ouvert dans K, ce qui montre bien que f ⁻¹ (I n ) ∩K est un ouvert de K. Comme tout ouvert de R est une réunion d’intervalles I _n (exercice 1.233 plus loin), on a terminé la preuve.

Corollaire 1.40. Soient (X, d) un espace métrique, µ une mesure de Radon sur X et f : X → R une fonction µ-mesurable. On suppose qu’il existe une famille dénombrable de compacts (K m ) _m≥1 tels que

X = ^[

m≥1

K m . Soit A ⊂ X mesurable avec µ(A) < +∞. Pour tout ε > 0, il existe une fonction continue g : X → R telle que µ ({x ∈ A; f (x) 6= g(x)}) < ε.

Démonstration. Par le théorème 1.39, il existe un compact K ⊂ A tel que µ(A \ K) < ε et f | _K est continue. Le théorème 1.38 donne alors une fonction g : X → R continue telle que g(x) = f(x) pour tout x ∈ K, de sorte que

µ ({x ∈ A; f(x) 6= g(x)}) ≤ µ(A \ K) < ε.