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MESURE ET DIMENSION DE HAUSDORFF

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Texte intégral

(1)

BAKIR FARHI

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES UNIVERSITÉ DE BÉJAIA

ALGÉRIE

1. Introduction

Si l’on doit mesurer un segment de longueurL(unité de mesure) avec une règle de longueur L/n(n1 entier donné), cette règle va être contenue évidemmentnfois dans le segment. Si l’on mesure maintenant au lieu d’un segment, une courbe assez régulière (par exemple une courbe d’une fonction dérivable) de longueur Là l’aide d’une règle de longueurL/n, la règle va être contenue un certain nombremde fois.

En généralmest différent denmais le rapportm/ntend vers1quandntend vers l’infini. Ainsi la longueur “approximative” de notre courbe s’obtient en multipliant la longueur de notre règle par le nombre de fois que celle-ci a parcourut la courbe.

Lorsque la longueur de la règle est infinitésimale, cette longueur “approximative”

devient une longueur “réelle” de notre courbe. Par ailleurs, on remarque aussi que le rapport logm/logntend vers1 quandntend vers l’infini.

Le même raisonnement s’applique aussi pour les surfaces. Si l’on mesure une surface assez régulière d’aire S = L2 (unité d’aire) par un carré de coté L/n, il faudrait un certain nombre m de fois pour recouvrir notre surface. On imagine bien que lorsque n est assez grand, m vaut à peu près n2; ainsi quand n tend vers l’infini, le rapport m/n2tend vers 1et le rapport logm/logntend vers 2. La mesure approximative de notre surface s’obtient en élevant à la puissance 2le coté du carré utilisé et multiplier le résultat obtenu par le nombre de fois nécessaires pour recouvrir la surface en question. Lorsque le carré utilisé est infinitésimal, la surface “approximative” devient une surface réelle (c’est-à-direS).

Revenons maintenant à la limite du rapportlogm/lognpour les deux cas. Cette limite n’est rien d’autre que la dimension topologique de l’objet que l’on mesure ; ça vaut1pour les courbes,2pour les surfaces,3pour les volumes, ...etc. Donc pour les objet “réguliers”, ce rapportlogm/logntend toujours vers un entier quand l’entier ntend vers l’infini.

Il est surprenant de voir que ce fait tombe à défaut pour le cas d’un certain type d’objets qu’on appelle “objets fractals”. L’objet fractal le plus standard et qui

1

(2)

permet de comprendre facilement ce phénomène est celui que l’on nome “la courbe de Von Kokh” ou aussi “le flocon de neige” que voici :

La courbe de Von Kokh

Les trois premières étapes de la construction de la courbe de Von Koch

Figure 1.

Si l’on mesure la longueur de la courbe de Von Kokh par une règle de longueur Légal au coté du triangle initial, on va trouver évidemment une longueur3L. Par contre, si on la mesure par une règle de longueurL/3, on va trouver une longueur 4×3Let si on la mesure par une règle de longueurL/32, on va trouver une longueur 4×4×3L, ...etc. Le rapportm/nprend donc ici les valeurs 31,4×33,423×23, . . . ,4k3×k3 = 3(43)k, ... et tend miraculeusement vers l’infini ! Ainsi la courbe de Von Kokh est de mesure infinie bien qu’elle est de surface finie ! C’est cette notion de mesure que l’on appelle “mesure de Hausdorff” et qui n’est rien d’autre que la mesure de Lebesgue pour le cas des objets réguliers. Par ailleurs, le rapport logm/logn tend ici vers log 4/log 31,26(qui n’est pas entier !). La limite du rapportlogm/logn quand ntend vers l’infini s’appelle “la dimension de Hausdorff”. Celle-ci n’est rien d’autre que la dimension topologique pour les objets réguliers.

Le flocon de neige de Von Kokh est donc de dimension de Hausdorff log 4/log 3 et de mesure de Hausdorff infinie.

Nous allons maintenant définir ces notions plus rigoureusement.

2. Mesures extérieures et mesures de Hausdorff

2.1. Mesures extérieures. Etant donné X un ensemble mesurable (c’est-à-dire muni d’une σ-algèbre M), on appelle “mesure extérieure” sur X toute application µ:MR+∪ {+∞}satisfaisant les deux propriétés suivantes :

i) Pour tout(A, B)M2, on a :

A⊂B=⇒µ(A)≤µ(B).

(3)

ii) Pour toute famille au plus dénombrable(Ai)iI d’éléments deM, on a : µ

(∪

iI

Ai )

iI

µ(Ai).

Remarque.—Une mesure intérieure (dite simplement “mesure”) est bien évidem- ment une mesure extérieure, mais l’inverse est en général faux. En effet, prenonsX un ensemble contenant au moins deux éléments, M=P(X) laσ-algèbre discrète surX etµ:MR+∪ {+∞} l’application définie par :

∀A∈M: µ(A) :=

{

0 siA=

CardA+ 1 sinon .

On vérifie alors sans peine que µ est une mesure extérieure mais qu’elle n’est pas une mesure intérieure.

2.2. Mesures de Hausdorff. SoitX un espace métrique réunion dénombrable de parties compactes (c’est le cas desRn par exemple). Fixons-en, durant toute cette section, un réel α > 0 (on étudiera α et on le fera varier seulement à partir de la section prochaine). Pour tout réel ε > 0 et toute partie A de X, on note par Rε(A)l’ensemble des recouvrements au plus dénombrables(An)n deA, constitués de parties An de X de diamètres δ(An) ε. Un élément de Rε(A) est appelé

“un ε-recouvrement” deA. Remarquons d’abord queRε(A) n’est jamais vide. En effet, par hypothèse X est une réunion dénombrable de parties compactes ; soit X = nKn une telle réunion. Pour tout n, puisque Kn est compacte, on peut extraire du recouvrement d’ouverts(B(x,ε2))xK

ndeKnun sous-recouvrement fini.

En faisant ceci pour toutn, on obtient un recouvrement dénombrable pourXpar des boules ouvertes de rayons ε2 (donc de diamètre≤ε). Par suite, en intersectant par Achaque boule de ce recouvrement, on obtient un recouvrement dénombrable pour A par des sous-ensembles deX de diamètres ≤ε. D’où effectivementRε(A)̸=.

On associe maintenant à toutε >0, l’application : µα,ε:P(X)−→R+∪ {+∞}

définie par :

∀A∈ P(X) : µα,ε(A) := inf

(An)n∈Rε(A)

(∑

n

δ(An)α )

.

(Par analogie à ce qui a été dit dans l’introduction, en prenant X =R2, α= 1 et A une courbe plane, µα,ε(A) est la mesure de A que l’on obtient en utilisant une règle de longueur ε).

Théorème 1. Les applications µα,ε sont des mesures extérieures sur X. De plus, pour tout couple de réels strictement positifs (ε, ε), on a :

ε≤ε =⇒µα,ε≥µα,ε.

(4)

Remarque.—Par analogie à ce qui a été dit dans l’introduction, lorsqueX =R2 et α= 1 par exemple, le second point du théorème 1 affirme simplement que plus on mesure une courbe plane avec une règle de longueur plus petite, plus on est plus précis.

Démonstration du théorème 1.—Soit ε >0 fixé. Etant données deux parties A et B de X telles que A B, il est clair que tout ε-recouvrement de B est à fortiori un ε-recouvrement de A. Il s’ensuit que l’on a µα,ε(A) µα,ε(B). De plus, si(An)n est une famille au plus dénombrable de parties deX et pour toutn, (An,m)mest unε-recouvrement arbitraire deAnalors la famille(An,m)n,mconstitue unε-recouvrement1pourA:=nAn. Il s’ensuit que :

µα,ε(A)

n,m

δ(An,m)α=∑

n

(∑

m

δ(An,m)α )

.

Comme maintenant pour toutn, lesε-recouvrement(An,m)mdeAnsont arbitraires, alors :

µα,ε(A)

n

inf

(An,m)m∈Rε(An)

(∑

m

δ(An,m)α )

=∑

n

µα,ε(An);

c’est-à-dire µα,ε(nAn)

nµα,ε(An). On conclut donc que µα,ε est bien une mesure extérieure surX.

Par ailleurs, le second point du théorème provient du fait que l’on a pour tous réels ε, ε tels que0 < ε≤ε et pour toute partie A deX, on aRε(A)⊂ Rε(A).

La démonstration est achevée.

Définition.— On appelle “mesureα-dimensionnelle de Hausdorff” sur X, l’appli- cationµα:P(X)R+∪ {+∞} définie par :

µα:= sup

ε>0

µα,ε.

D’après le second point du théorème 1, on a aussi : µα= lim

ε>0

µα,ε.

Par analogie avec ce qui a été dit dans l’introduction, la mesure1-dimensionnelle de Hausdorff d’une courbeAdeR2est simplement la longueur “réelle” de A, c’est- à-dire la longueur que l’on obtient en mesurantAà l’aide d’une règle infinitésimale.

Théorème 2. La mesureα-dimensionnelle de Hausdorff est une mesure extérieure.

Démonstration.—D’après le théorème 1, les applicationsµα,ε(ε >0)sont toutes des mesures extérieures surX, donc on a pour toutε >0:

1. Rappelons qu’une réunion au plus dénombrable d’ensembles au plus dénombrables donne un ensemble au plus dénombrable.

(5)

Pour tousA⊂B ⊂X :

µα,ε(A)≤µα,ε(B) .

Pour toute famille au plus dénombrable(An)n de parties deX : µα,ε(nAn)

n

µα,ε(An).

En faisant tendreεvers0dans chacune des deux inégalités de ci-dessus, on aboutit bien aux propriétés de µα qui font de celle-ci une mesure extérieure surX. Ce qui

achève cette démonstration.

Bien que µα n’est pas toujours une mesure intérieure (c’est-à-dire qu’elle ne vérifie pas en général l’identitéµα(nAn) =∑

nµα(An)pour toute famille dénom- brable(An)n de parties deux à deux disjointes deX), elle possède la propriété très importante donnée par le théorème suivant :

Théorème 3. Soit(An)n une famille au plus dénombrable de parties de X, véri- fiant2 :

(m, n) :=n=⇒d(Am, An)>0.

Alors, on a :

µα (∪

n

An

)

=∑

n

µα(An).

Démonstration.— Soit (An)n∈N une famille dénombrable de parties de X telle que d(Am, An) >0 dès que m ̸=n. Puisque (d’après le théorème 2) l’application µα est une mesure extérieure sur X alors on a : µα(nAn)

nµα(An). Pour conclure, il ne reste donc qu’à montrer l’inégalité dans l’autre sens, à savoir :

(1) µα

(∪

n∈N

An )

n∈N

µα(An).

Pour démontrer (1), on associe à toutN N, le réelεN := min

0m<nNd(Am, An)>0 et le sous-ensemble de X :AN :=

N n=0

An.

On considère pour le moment queN Nest fixé et on se donne un réelε tel que 0< ε < εN et unε-recouvrement(Ci)iI deAN. On pose pour toutn∈ {0, . . . , N}:

In:={i∈I |Ci rencontreAn}.

Nous affirmons que ces ensembles In (n = 0, . . . , N) sont deux à deux disjoints.

En effet, si c’était le contraire, il existerait deux éléments distincts m et n dans {0, . . . , N}tels queIm∩In̸=. Par suite pour uniappartenant àIm∩In, l’ensemble

2. Rappelons que la distance entre deux parties Aet B de X est définie par : d(A, B) :=

infxA,yBd(x, y). Ainsi, sid(A, B)>0alorsAetBsont disjointes mais l’inverse est faux. Par exemple pour X = Rmuni de la distance usuelle, les deux intervalles ]0,1[ et]1,2[sont bien disjoints alors que la distance entre eux est nulle.

(6)

Ci rencontre à la foisAmetAn. Mais pour toutx∈Ci∩Am et touty∈Ci∩Am, on a d’une partd(x, y)≤δ(Ci)≤ε < εN et d’autre partd(x, y)≥d(Am, An)≥εN, ce qui est absurde. Notre affirmation est démontrée.

Maintenant, puisque pour tout n ∈ {0, . . . , N}, la famille (Ci)iI

n constitue évi- demment unε-recouvrement pourAn, on a :

µα,ε(An)

iIn

δ(Ci)α (∀n∈ {0, . . . , N}).

Par suite, grâce au fait que les ensembles In (n = 0, . . . , N) sont deux à deux disjoints, on a :

iI

δ(Ci)α

N n=0

(∑

iIn

δ(Ci)α )

N n=0

µα,ε(An).

Il s’ensuit du fait que leε-recouvrement(Ci)iI deAN est arbitraire, que l’on a : µα,ε(AN)

N n=0

µα,ε(An).

Puisque maintenant AN ⊂ ∪n∈NAn et que µα,ε est une mesure extérieure sur X, alorsµα,ε(n∈NAn)≥µα,ε(AN). D’où :

µα,ε (∪

n∈N

An )

N n=0

µα,ε(An).

Finalement, en faisant tendre dans les deux termes de cette dernière inégalitéεvers 0puisN vers l’infini, on obtient :

µα (∪

n∈N

An

)

n∈N

µα(An),

ce qui n’est rien d’autre que la relation (1). La démonstration du théorème 3 est

complète.

2.3. Ensembles µα-mesurables.

Définition.— Une partieA deX est diteµα-mesurable si l’on a pour tout sous- ensembleEdeX :

µα(E) =µα(E∩A) +µα(E\A).

N. B.—En vertu du fait queµαest une mesure extérieure surX, une partieAde X estµα-mesurable si et seulement si l’on a :

∀E∈ P(x) : µα(E)≥µα(E∩A) +µα(E\A).

Théorème 4. Tout ouvert de l’espace métriqueX estµα-mesurable.

(7)

Démonstration.—SoitOun ouvert arbitraire deX. Il s’agit de montrer que l’on a pour tout E∈ P(X):

(2) µα(E)≥µα(E∩ O) +µα(E\ O).

Fixons E dansP(X). Pour prouver (2), on peut supposer sans perte de généralité queµα(E)<+.

Pour que le lecteur ne se perd pas dans ce qui va suivre, je souhaite lui donner l’idée de base qui permet d’aboutir à l’inégalité (2) ci-dessus. Faute de pouvoir appliquer tout bêtement le théorème 3 aux deux ensembles E ∩ O et E\ O, on va intriduire une suite croissante (au sens de l’inclusion) (Fn)n1 de parties deO, lequelles “se rapprochent” de plus en plus de Osans l’atteindre et vérifient en plus d(Fn∩E, E\ O) >0 (∀n 1). Maintenant le théorème 3 s’applique et donne : µα((Fn∩E)∪(E\ O)) = µα(Fn∩E) +µα(E\O) (∀n 1). Par suite puisque E⊃(Fn∩E)∪(E\O) (∀n≥1), on en déduira queµα(E)≥µα(Fn∩E)+µα(E\O) pour toutn≥1. Finalement, on conclura à l’inégalité (2) en montrant (en se servant judicieusement du théorème 3) que l’on a limn+µα(Fn∩E) =µα(E∩ O).

Commençons maintenant à réaliser concrètement cette démarche. On pose pour tout entier n≥1:

Fn:=

{

x∈X |d(x, X\ O) 1 n

} .

On a clairementF1⊂F2⊂F3⊂. . .. De plus, pour toutx∈X, on a : x∈

n1

Fn ⇐⇒ d(x, X\ O)̸= 0

⇐⇒ x̸∈X\ O (carX\ Oest férmé puisqueOétant ouvert)

⇐⇒ x∈ O.

Ce qui montre que l’on a n1Fn=O.

Maintenant, étant fixé un entier n≥1, par définition même de l’ensemble Fn, on a : d(Fn, X \ O) n1, ce qui entraîne à fortiori d(Fn ∩E, E\ O) n1 > 0. Le théorème 3 s’applique donc pour les deux ensembles Fn∩E et E\ O et donne : µα((Fn∩E)∪(E\O)) =µα(Fn∩E)+µα(E\O). Mais puisqueE⊃(Fn∩E)∪(E\O), on en déduit que l’on a :

µα(E)≥µα(Fn∩E) +µα(E\ O) (et ceci pour toutn≥1).

Pour conclure à l’inégalité (2), il suffit de montrer que l’on a :

(3) lim

n+µα(Fn∩E) =µα(E∩ O).

D’une part, puisqueE∩Fn ⊂E∩ Opour toutn≥1, alors on a : µα(E∩Fn)≤µα(E∩ O) (∀n≥1).

(8)

D’autre part, soit(Gn)n1la suite des parties de X définies par : G1:=F1 et Gn:=Fn\Fn1 (∀n≥2).

Ces ensemblesGn (n1)sont clairement deux à deux disjoints et vérifient (compte tenu des faits F1 F2 F3. . . et n1Fn = O, établis précédemment) : Fn (k>nGk) =Opour toutn≥1. En intersectant parE, on obtient :

E∩ O= (E∩Fn)

k>n

(E∩Gk) (∀n≥1).

Il s’ensuit (puisqueµαest une mesure extérieure) que : µα(E∩ O)≤µα(E∩Fn) +∑

k>n

µα(E∩Gk) (∀n≥1).

La suite(µα(E∩Fn))n est donc encadrée par : µα(E∩ O)

k>n

µα(E∩Gk)≤µα(E∩Fn)≤µα(E∩ O) (∀n≥1).

Pour conclure à (3), il suffit de montrer que la somme∑

k>nµα(E∩Gk)tend vers 0 quandn tend vers+. Ce qui revient à montrer que la série∑+

k=1µα(E∩Gk) est convergente. Cette dernière étant à termes positifs, elle converge si et seulement si elle est majorée ; c’est ce que nous allons montrer. Plus précisement, nous al- lons montrer en utilisant le théorème 3 que l’on a :∑

k1µα(E∩G2k)≤µα(E)et

k0µα(E∩G2k+1)≤µα(E), ce qui entraînera∑

k1µα(E∩Gk)α(E)<+ et complètera cette démonstration. Nous montrons seulement la première inégalité

k1µα(E∩G2k)≤µα(E); la seconde se démontre exactement de la même ma- nière. Pour pouvoir appliquer le théorème 3 à la famille d’ensembles(E∩G2k)k1, il faudrait avoir d(E∩G2k, E∩G2ℓ) > 0 pour tous k, ℓ N avec k ̸= ℓ. Cette condition est effectivement acquise puisqu’étant donnés k, ℓ N tels que k ̸= (disonsk < ℓpour fixer les idées), on a pour toutx∈E∩G2ket touty∈E∩G2ℓ:

d(x, y) d(x, X\ O)−d(y, X\ O)

1 2k 1

2ℓ1 (carx∈F2k ety̸∈F2ℓ1)

= 2(ℓ−k)−1

2k(2ℓ1) 1

2k(2ℓ1) (carℓ−k≥1),

par conséquent :d(E∩G2k, E∩G2ℓ) 2k(2ℓ11) >0. Le théorème 3 s’applique donc à la famille d’ensembles(E∩G2k)k1et donne :

k1

µα(E∩G2k) =µα

∪

k1

(E∩G2k)

≤µα(E).

La preuve du théorème 4 est complète.

(9)

3. La dimension de Hausdorff surRn

Pour tout ce qui suit, X sera l’espace euclidien Rn (n1 fixé). On va étudier dans cette section le role du réel α >0 que l’on a fixé auparavant. On va montrer que la mesureα-dimensionnelle de Hausdorff d’une partieAdeRn est infinie pour les petites valeurs de α et nulle pour les grandes valeurs de α. L’unique valeur intérmédiaire entre les valeurs de α qui produisent une mesure infinie et celle qui produisent une mesure nulle est ce qu’on appelle (par définition) “la dimension de Hausdorff de A”.

On commence cette section par la proposition suivante : Proposition 5. On a pour tous α, β >0 :

α≤β=⇒µα≥µβ.

(On dit que la mesure de Hausdorff est décroissante par rapport à la dimension).

Démonstration.—Soientαetβdeux réels strictement positifs tels queα≤βetA une partie quelconque deX. Pour tout0< ε <1et pour toutε-recouvrement(Ak)k deA, on a pour toutk:δ(Ak)α≥δ(Ak)β (carδ(Ak)≤ε <1 etα≤β) ; par suite

kδ(Ak)α

kδ(Ak)β. En prenant dans cette dernière inégalité l’infinimum sur tous lesε-recouvrements (Ak)k deA, on obtient que µα,ε(A)≥µβ,ε(A)pour tout 0 < ε <1. Finalement, en faisant tendreε vers0, on obtient que µα(A)≥µβ(A).

Ce qui montre bien (puisqueAétant quelconque dansP(X)) queµα≥µβ comme

il fallait le prouver.

Remarque.—La proposition 5 reste en fait vraie (comme le confirme d’ailleurs sa démonstration précédente) dans tout autre espace métrique.

La dimension de Hausdorff se définit à partir du théorème suivant :

Théorème 6. Pour toute partie bornée A de Rn, il existe un unique réel positif ξ=ξ(A)≤nvérifiant :

µα(A) = 0 pour toutα > ξ

et

µα(A) = + pour tout0< α < ξ.

Démonstration.—SoientAune partie bornée fixée deRn etC un hypercube de Rn qui la contient. Soit dle coté3deC. Pour tout0< ε <1, on peut recouvrir C par(dε)nhypercubes de cotés≤ε, donc de diamètres≤√

nε. Un tel recouvrement deC recouvre à fortioriA, ce qui entraîne que l’on a pour tout α >0 :

µα,(A) (⌈d

ε

⌉)n

( nε)α.

3. On peut choisir un hypercubeC recouvrantAqui soit de cotéδ(A), mais ceci importe peu ici.

(10)

Comme maintenant (dε)n(

nε)α = Oεαn) alors lorsque α > n, la quantité (dε)n(

nε)αtend vers0quandεtend vers0et il s’ensuit de l’inégalité précédente que l’on a :limε0µα,(A) = 0pour toutα > n; autrement dit :

(4) µα(A) = 0 pour toutα > n.

On définit

ξ:= inf{α >0α(A) = 0}. D’après (4), on aξ≤net d’après la proposition 5, on a :

µα(A) = 0 ∀α > ξ.

Montrons prochainement que l’on a µα(A) = + pour tout 0 < α < ξ. Soit 0< α < ξet fixonsβ∈]α, ξ[. Le faitβ < ξentraîneµβ(A)>0, ce qui entraîne qu’il existe0< η <1 pour lequel on aitµβ,η(A)>0.

Maintenant, pour tout0< ε < ηet pour toutε-recouvrement(Ak)k deA, on a :

k

δ(Ak)α = ∑

k

δ(Ak)βδ(Ak)αβ

εαβ

k

δ(Ak)β (carα−β <0etδ(Ak)≤ε <1pour toutk)

εαβµβ,η(A).

Mais puisque le ε-recouvrement (Ak)k de A étant quelconque, on en déduit que µα,ε(A) εαβµβ,η(A). Il s’ensuit, puisque α−β < 0 et µβ,η(A) > 0, que limε0µα,ε(A) limε0εαβµβ,η(A) = +, c’est-à-dire µα(A) = + comme il fallait le prouver.

L’existence d’un réel ξcomme dans le théorème 6 est ainsi établie. Quant à l’uni- cité de ξ, elle est immédiate. En effet, s’il existait deux réels positifs distincts ξ1

et ξ2 (disonsξ1 < ξ2) vérifiant les propriétés du théorème 6, on aurait pour tout α∈1, ξ2[, à la fois µα(A) = 0et µα(A) = +, ce qui est absurde. Ceci achève

cette démonstration.

Définition.—Etant donnée une partie bornée AdeRn, on appelle “dimension de Hausdorff deA”, que l’on notedimH(A), le réel positifξ(A)du théorème 6 ci-dessus.

La proposition qui suit nous donne la légitimité d’étendre d’une façon naturelle cette définition de la dimension de Hausdorff de parties bornées deRn aux parties quelconques deRn.

Proposition 7. SiAetB sont deux parties bornées deRn telles queA⊂B, alors on a :dimH(A)dimH(B).

Démonstration.— Procédons par l’absurde, supposons qu’il existe deux parties bornées A et B de Rn vérifiant A ⊂B et dimH(A) >dimH(B). Considérons un réelξappartenant à l’intervalle]dimH(B),dimH(A)[. Le faitξ >dimH(B)entraîne

(11)

(par définition même de la dimension de Hausdorff de B) que µξ(B) = 0, ce qui entraîne, puisque µξ(A)≤µξ(B)(carA⊂B etµξ est une mesure extérieure) que µξ(A) = 0. Or, puisqueξ < dimH(A), on devait avoir (par définition même de la dimension de Hausdorff de A)µξ(A) = +, ce qui est absurde. La proposition 7

est démontrée.

Définition.— On appelle “dimension de Hausdorff” d’une partie Ade Rn, le réel positif notédimH(A)et défini par :

dimH(A) := sup

BA Bbornée

dimH(B).

N. B.—En vertu de la proposition 7, cette définition de la dimension de Hausdorff des parties quelconques deRngénéralise légitimement la définition d’avant restreinte aux parties bornées deRn. Par ailleurs, en vertu du théorème 6, on adimH(A)≤n pour toute partieAdeRn.

Les deux théorèmes qui suivent donnent la dimension de Hausdorff de certaines parties particulières deRn.

Théorème 8. Toute partie au plus dénombrable A de Rn est de dimension de Hausdorff nulle.

Démonstration.— Il suffit de démontrer le théorème 8 pour les parties dénom- brables bornées de Rn. Soit A={xk |k N} une telle partie. La famille dénom- brable ({xk})k∈N constitue bien un recouvrement de A par des parties de Rn de diamètre 0; on a donc pour tousα >0, ε >0 :

µα,ε(A)

k∈N

(δ({xk}))α= 0.

Il s’ensuit que µα,ε(A) = 0 (∀α, ε > 0) et puis que µα(A) = 0 (∀α > 0). Ce qui entraîne (par définition même de la dimension de Hausdorff) que l’on a effectivement

dimH(A) = 0. La démonstration est achevée.

Théorème 9. Toute partie de Rn ayant une mesure de Lebesgue non nulle est de dimension de Hausdorff n.

Pour ne pas confondre la mesure de Hausdorff avec celle de Lebesgue, on notera vol(comme volume) la mesure de Lebesgue surRn. La démonstration du théorème 9 utilise le lemme élémentaire suivant :

Lemme 10. Pour toute partie Lebesgue mesurableA deRn, on a : vol(A)≤δ(A)n.

(12)

Démonstration.— Soit A une partie Lebesgue-mesurable de Rn. Si A est non bornée, on a δ(A) = +∞ et l’inégalité vol(A) δ(A)n est triviale. Supposons maintenant queAest non bornée. Les projectionsπ1(A), . . . , πn(A)deAsur lesn axes de coordonnées deRn sont bien des sous-ensembles deRde diamètres≤δ(A) (car une projection ne fait que diminuer le diamètre). Chaqueπi(A) (1≤i≤n)est donc inclus dans un intervalleIi deRde longueurδ(A). Il s’ensuit que l’on a :

A⊂π1(A)× · · · ×πn(A)⊂I1× · · · ×In.

D’où (en comparant les volumes) :

vol(A)vol(I1× · · · ×In) =δ(A)n,

qui n’est rien d’autre que l’inégalité désirée. Le lemme est démontré.

Démonstration du théorème 9.— Il suffit de démontrer le théorème 9 pour les parties bornées de Rn. Soit A une partie bornée de Rn ayant une mesure de Lebesgue>0. PuisquedimH(A)≤n, l’égalitédimH(A) =na lieu si et seulement si l’on a pour tout 0 < α < n : µα(A) = +. Soit 0 < α < n fixé. Pour tout 0< ε <1 et pour toutε-recouvrement(Ak)k deA, on a :

k

δ(Ak)α = ∑

k

δ(Ak)αn.δ(Ak)n

εαn

k

δ(Ak)n (carα−n <0 etδ(Ak)≤ε <1pour toutk)

εαn

k

vol(Ak) (d’après le lemme 10)

εαnvol(A) (car(Ak)k recouvreA).

Comme ceci étant vrai pour tout(Ak)k∈ Rε(A), on en déduit que : inf

(Ak)k∈Rε(A)

k

δ(Ak)α≥εαnvol(A),

c’est-à-dire :

µα,ε(A)≥εαnvol(A).

En faisant tendreε vers 0, on obtient finalement (puisque vol(A)>0) : µα(A) =

+. Ce qui achève cette démonstration.

Examinons de près le cas X = R. Selon le théorème 8, un ensemble au plus dénombrable est de dimension de Hausdorff nulle et selon le théorème 9, un en- semble ayant une mesure de Lebesgue non nulle est de dimension de Hausdorff1.

Donc un sous-ensemble deRdont la dimension de Hausdorff appartient à]0,1[est certainement infini non dénombrable et, s’il est Lebesgue-mesurable, sa mesure de Lebesgue est forcément nulle. Il est à savoir que ces ensembles existent réellement dans la nature. Le plus célèbre parmis eux est “l’ensemble triadique de Cantor” (voir

(13)

plus loin). Ce dernier est hystoriquement construit pour montrer queRest non dé- nombrable ; il s’est avéré plus tard qu’il est de dimension de Hausdorff log 2log 3 0,63, ce qui n’est même pas un nombre rationnel, ni algébrique4 d’ailleurs ! L’étude de l’ensemble triadique de Cantor et notemment le calcul de sa dimension de Hausdorff est l’objet de ce qui va suivre.

4. Etude de l’ensemble triadique de Cantor

On part de l’intervalle K0 := [0,1]. On le découpe en trois intervalles férmés de même longueur, on enlève la partie centrale et on garde les deux parties res- tantes, à savoir [0,1/3] et [2/3,1]. On obtient l’ensemble K1 := [0,1/3][2/3,1].

On refait la même procédure pour chaque composante connexe de K1 pour obtenir K2:= [0,1/9][2/9,1/3][2/3,7/9][8/9,1]et la même procédure pour obtenir K3à partie deK2et ainsi de suite. Plus généralement, siKnest la réunion disjointe des intervalles In,k = [xn,k, yn,k], l’ensembleKn+1 serait la réunion des intervalles [xn,k, xn,k+13(yn,k−xn,k)]et [xn,k+23(yn,k−xn,k), yn,k].

On obtient ainsi une suite (Kn)n de compacts (non vides) emboîtés. D’après un théorème bien connu en topologie, l’ensemble intersection K := nKn serait un compact non vide deR, inclus dans[0,1]. Ce dernier s’appelle “l’ensemble triadique de Cantor” (cf. FIG. 2. ci-dessous) ; on expliquera plus loin ce que signifie le terme triadique. L’ensemble de Cantor possède plusieurs propriétés intéréssantes de topo- logie, de la théorie de la mesure ou encore d’algèbre ; nous allons dans ce qui suit donner certaines de ces propriétés en démontrant les plus importantes d’entre elles.

A la fin, nous allons calculer la dimension de Hausdorff deK.

Figure 2. Les cinq premières étapes de construction de l’ensemble de Cantor.

4.1. Propriétés de l’ensemble triadique de Cantor.

Théorème 11. L’ensembleK de Cantor est infini non dénombrable.

Démonstration.—Par construction même deK, il est bien clair que la frontière de chaque ensemble Kn (nN)est un sous-ensemble deK. Comme on voit bien

4. Un nombre algébrique est un nombre complexe qui est solution d’une équation algébrique, c’est-à-dire d’une équation polynomiale à coefficients entiers (non tous nuls).

(14)

(en raisonnant par récurrence sur n) que chaque ensembleFr(Kn)est de cardinal exactement 2n+1, alors on a card(K) 2n+1 pour tout n, ce qui montre que K est bien infini. Montrons maintenant queK est non dénombrable. On procède par l’absurde, supposons qu’il existe une bijectionf :N→K. SoientI1 la composante connexe de K1 qui ne contient pasf(1),I2 la composante connexe de K2, incluse dans I1 et qui ne contient pas f(2) et plus généralement, si In est obtenue,In+1

serait la composante connexe deKn+1, incluse dansIn, qui ne contient pasf(n+1).

On obtient ainsi une suite d’intervalles férmés emboîtés(In)n1, vérifiant à la fois :

n1

In

n1

Kn=K

et 

∩

n1

In

∩K=

∩

n1

In

∩f(N)

=

(car pour toutk≥1,f(k)n’apprtient pas à Ik et n’appartient pas donc à fortiori à l’intersectionn1In).

Il s’ensuit que l’on an1In =, ce qui est en contradiction avec le théorème de Cantor des intervalles férmés emboîtés. Le théorème est démontré.

Remarque.—On peut montrer que l’ensemble triadiqueK est équipotent à l’en- semble{0,1}N des suites à valeurs dans {0,1}. On peut même montrer queK (en tant que sous-espace topologique deR) est homéomorphe à l’ensemble{0,1}Nquand celui-ci est muni de la topologie produit.

Théorème 12. L’ensemble K est de mesure de Lebesgue nulle.

Démonstration.—CommeK étant l’intersection des ensemblesKn (nN), les- quels sont des compacts emboîtés, on a d’après l’une des propriétés bien connue des mesures :µ(K) = limn+µ(Kn), oùµdésigne la mesure de Lebesgue. Main- tenant, puisque pour tout n N, l’ensemble Kn est une réunion disjointes de 2n intervalles de longueur 31n chacun, on a µ(Kn) = 23nn = (2/3)n pour tout n. D’où µ(K) = limn+(2/3)n = 0comme il fallait le prouver.

Théorème 13. L’ensemble K vérifie : K= 1

3K⊔ (1 3K+2

3 )

. (Rappelons que ⊔est le symbole de la réunion disjointe).

Démonstration.—Appelonsφl’application qui associe à toute réunion disjointe finie d’intervalles férmés deR:Nn=1[xn, yn], la réunion disjointe finie des intervalles férmés deR:[xn, xn+13(yn−xn)]et[xn+23(yn−xn), yn] (1≤n≤N). On a ainsi Kn+1=φ(Kn)pour toutn∈N.

(15)

Il est facil à vérifier que φest permutable avec toute application affine, c’est-à-dire que l’on a pour toutI=Nn=1[xn, yn]et tousa, b∈R:

(5) φ(aI+b) =aφ(I) +b.

En utilisant (5), montrons par récurrence que l’on a pour tout n∈N:

(6) Kn+1=1

3Kn

⊔ (1 3Kn+2

3 )

.

Pour n = 0, la relation (6) est bien satisfaite puisqu’on a : K1 = [0,13][23,1], [0,13] = 13K0 et[23,1] =13K0+23. Supposons maintenant que (6) est vraie pour un certainn∈Net montrons qu’elle reste vraie pour l’entier(n+ 1). On a :

Kn+2 =φ(Kn+1) = φ (1

3Kn⊔ (1 3Kn+2

3 ))

(selon l’hypothèse de récurrence)

= φ

(1

3Kn) ⊔ φ

(1 3Kn+2

3 )

= 1

3φ(Kn)⊔ (1

3φ(Kn) +2 3

)

(en utilisant (5))

= 1

3Kn+1

⊔ (1

3Kn+1+2 3

)

comme il fallait le prouver.

Ceci achève cette récurrence et montre que (6) a bien lieu pour toutn∈N.

En prenant maintenant les intersections -pournparcourantN- dans les deux membres de la relation (6), on a :

n∈N

Kn+1= (∩

n∈N

1 3Kn

)⊔(

n∈N

(1 3Kn+2

3 ))

(car les intersections du type 13Kn(13Km+23) (n, mN)sont toutes vides puisque pour tousn, m∈N, on a 13Kn[0,13] et 13Km+23 [23,1]).

Il s’ensuit finalement (puisquen∈NKn+1=n1Kn =K,∩n∈N1

3Kn= 13n∈NKn

= 13Ket n∈N(13Kn+23) =13n∈NKn+23 = 13K+23) que : K=1

3K⊔ (1 3K+2

3 )

.

Ce qui achève cette démonstration.

Remarque.—L’identité du théorème 13 permet aussi de redémontrer très briève- ment le résultat du théorème 12, à savoir le fait que Kest de mesure de Labesgue nulle. En effet, l’identité en question entraîneµ(K) =µ(13K)+µ(13K+23) =23µ(K), cequi entraîne (puisqueµ(K)<+, carK⊂[0,1]) queµ(K) = 0.

Théorème 14. On a : K=

{+

i=1

ai

3i | ai∈ {0,2} pour touti }

.

Démonstration.—Posons : K=

{+

i=1

ai

3i | ai∈ {0,2}pour touti }

.

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