Sur l'approximation discrète des courbures des courbes planes et des surfaces de l'espace euclidien de dimension 3.

(1)

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planes et des surfaces de l’espace euclidien de dimension

3.

Fabrice Orgeret

To cite this version:

(2)

ourbes planes et des surfa es lisses de

E

.

Fabri eORGERET

(3)

(4)

Tout d'abord, je remer ie vivement Jean-Marie Morvan qui a

a - epté de diriger mes re her hes pendant es quatre années de thèse.

Ses onseils bienveillants et son expérien e m'ont beau oup apporté.

Je remer ie également sin èrement Vin ent Borrelli, qui a o-en adré

toutes mes re her hes, pour ses onseils fru tueux et sa disponibilité.

Bien qu'ils aient eu des visions un peu diérentes sur la manièredont

ilfallaittraiter lesujet, ela m'a permis d'avoirdes pointsde vue plus

variés et de faire une synthèse plus personnelle.

Jeremer ie aussi tout parti ulièrementMi helBoyomet Fernand

Pel-letier pour l'honneur qu'ils me font d'avoir a epté de rapporter mes

travaux.

Jeremer ie également Georges Zandratafaet RaphaelleChainepour

avoirfait partie de mon jury.

Leurs remarques sur mes travauxm'ontdonné des pistes pour

généra-liserlesrésultatsde ettethèseàdes stru turesplus omplexes omme

lessous-variétésriemaniennesde dimensionsupérieuresà3,lesespa es

feuilletés.

J'aieubeau oupdeplaisiràtravailleràl'InstitutCamilleJordan.Je

re-mer ietouteslespersonnesquiytravaillentetparti ulièrementl'équipe

de géométrie : Stéphane Lamy,Alexis T houdem, Damien Gayet.

Et bien sûr, je remer ie les six thésards ave qui j'ai ommen é ma

thèse et qui ont ontribué à mettre une bonne ambian e dans le

bu-reau 111a : Ni olas Chevrot, Antoine Flattot, Ewan Delanoy, Pierre

(5)

(6)

0.1 Rappels de résultats antérieurs. . . 7

0.1.1 Cas des ourbes . . . 7

0.1.2 Cas des surfa es . . . 8

0.2 Résumédes prin ipauxrésultatsde ette thèse . . . 10

0.2.1 Courbes . . . 10

0.2.2 Surfa es . . . 11

1 Approximation de la ourbure des ourbes planes 15 1.1 Introdu tion . . . 15

1.2 Cadregénéral . . . 15

1.2.1 Courbes lisses . . . 15

1.2.2 Notion de V-ligne . . . 16

1.2.3 Courbes supportées par une

V

-ligne . . . 16

1.3 Unthéorème d'approximation . . . 18

1.4 Enon édu Théorème prin ipal. . . 19

1.5 Preuve du théorème 1 . . . 19

1.5.1 Existen e d'unebije tion

η → θ

de lasse

C

2 _.

. 19 1.5.2 Equation diérentielle vériée par lafon tion

ϕ

25 1.5.3 Expressionexpli itede

ϕ

′

en fon tiondela our-bure algébrique . . . 25

1.5.4 Majoration de laborne supérieure de

|ϕ

′′

_|

. . . 27

1.5.5 Fin de la preuve du Théorème 1 . . . 29

1.6 Illustrations . . . 30

1.6.1 Cer les . . . 30

1.6.2 Paraboles . . . 31

1.6.3 Cer lesvs paraboles . . . 32

2 Approximations des ourbures des surfa es-I 35 2.1 Introdu tion . . . 35

2.2 Dénitionset notations . . . 36

2.2.1 Notations . . . 36

2.2.2 Dénitions . . . 36

(7)

2.4 Preuve du théorème 2 . . . 40

2.4.1 Lemmeprin ipald'estimation . . . 40

2.4.2 Preuve du lemme8 . . . 41 2.4.3 Etape 1 . . . 41 2.4.4 Etape 2 . . . 42 2.4.5 Etape 3 . . . 43 2.4.6 Etape 4 . . . 45 2.5 Preuve du orollaire 1 . . . 46 2.6 Preuve du orollaire 2 . . . 47

3 Approximations des ourbures des surfa es-II 49 3.1 Introdu tion . . . 49

3.2 Dénitions etnotations . . . 50

3.3 Enon é du Théorème prin ipal . . . 50

3.4 Preuve du Théorème 3 . . . 51

3.4.1 Dépla ement et déformationen longueur . . . . 51

3.4.2 Simpli ationàl'aide du défaut angulairemoyen 55 3.4.3 Lemmede rédu tion . . . 58

3.5 Exemple générique . . . 63

3.5.1 Données liées aumaillage . . . 63

3.5.2 Coe ients liés àl'erreur. . . 64

3.6.1 Exempleoù

Λ

et

∆

ne sont pas bornées. . . 65

3.6.2 Exempleoù la ourbure dis rèteest non bornée 67 4 Cas des paramétrisations onformes 69 4.1 Introdu tion . . . 69

4.2 Dénitions etnotations . . . 70

4.2.1 Famillesde maillages réguliers . . . 70

4.2.2 Notations . . . 71

4.3 Enon é du Théorème prin ipal . . . 72

4.4 Preuve du Théorème 4 . . . 73

4.4.1 Preuve du lemme12 . . . 74

4.5 Fin de lapreuve du théorème 4 . . . 75

4.6.1 Notations . . . 76

(8)

Le but de ette thèse est l'étude de l'approximation des ourbures

en un point d'unesous-variété lisse. Lessous-variétés quenous

étudie-rions seront soit des ourbes planes, soit des surfa es de

E

3 _,

l'espa e

eu lidien de dimension 3. Pour appro her la ourbure en un point de

lasous-variété, onutiliserale défaut angulaire, quidépend à lafois de

la sous-variété et d'approximations linéaires de elle- i que l'on

appe-lera maillage . Dans le adre des surfa es de

E

3 _,

on a longtemps ru

qu'il susait de normaliser le défaut angulaire pour obtenir une

ap-proximation de la ourbure de Gauss en un point d'une surfa e. Dans

un arti le publié en 2003 ([9℄), il a été prouvé que le défaut angulaire

normaliséappro he une quantité extrinsèque qui est un polynme

ho-mogène de degré 2 dont les variables sont les ourbures prin ipales et

dontles oe ientsdépendent du nombrede pointsdumaillage.Nous

donnerons i i un majorantde l'erreur entre e polynme homogène et

ledéfautangulairenormalisé.Ce majorantdépenddu jetd'ordre1des

ourbures de la sous-variété, de l'épaisseur, du nombre de points du

maillage et surtout de sa taille. Pour ertaines familles de maillages

réguliers, nous donnerons une majoration de l'erreur entre le défaut

angulairenormaliséet e polynmehomogèneen

O(ρ)

lorsque lataille

des maillagesest en

O(ρ).

0.1 Rappels de résultats antérieurs

0.1.1 Cas des ourbes

Soit

Γ

une ourbe lisse et

P, P

1 , P

2

trois points de

Γ.

On note

(9)

si

η

1 6= η

2

:

π − γ

η

= k(P ) + o(1).

0.1.2 Cas des surfa es

Soit

Σ ⊆

E

3

une surfa e régulièrede lasse

C

2 _.

Cas dis ret

Soit

n ∈

N

(

n > 2

) et

P, P

1 , . . . P

n

, n + 1

points de

Σ.

Pour

i =

1, . . . n,

on note

η

i

= |

−→

P P

i

|

et

γ

i

= ∠(

−→

P P

i

,

−→

P P

i+1

).

On dénit deux ourbures dis rètes : onnote :

k

d

=

2π −

n

X

i=1

γ

i

A

,

où

A =

1 n

n

X

i=1

Aire(PP

i

P

i+1

),

est la moyenne des aires des triangles

P P

i

P

i+1

,

onnote :

˜

k

d

=

2π −

n

X

i=1

γ

i

S

n

,

où

S

n

=

n

X

i=1

1 4 sin γ

i

η

i

η

i+1

−

1

2 cos γ

i

(η

2 i

+ η

i+1

2 )

,

est le module du maillage.

Cas lisse

Pour tout

x ∈

R

,

on pose :

κ

1 (x) = −2 cos

2 x − cos x + 3,

κ

2 (x) = cos

2 x −

3

2 cos x +

1

2 .

Notons

k

M

et

k

m

les ourbures prin ipales de

Σ

en

P.

Un polynme

homogène de degré 2 en

k

M

et

k

m

va fréquemment intervenir dans la

partiequi on erne les surfa es :

(10)

Pour simplier,onnotera

k

à lapla e de

k(k

M

, k

m

).

Un résultat de onvergen e utilisant

k

d

.

Le résultatsuivant se trouve dans [9℄: soit

π : Σ → T

P

Σ,

la proje tion orthogonale sur le plan tangent en un point

P

de la

sur-fa e.On suppose que pour tout

i = 1, . . . n,

lepoint

P

vérie lesdeux onditions i-dessous : 1.

|

−−−−→

P π(P

i

)| = η,

2.

∠(

−−−−→

P π(P

i

),

−−−−−−→

P π(P

i+1

)) =

2π

n

.

Alors,on apour tout

n 6= 4

:

k

d

= k + ǫ(η),

où

ǫ(η)

tend vers 0 lorsque

η

tendvers 0.Unedes motivationsde ette

thèse va être de donner un majorantde l'erreur

|k

d

− k| .

Un résultat d'approximation utilisant

k

˜

d

.

Le résultat suivant se trouve dans [9℄ : soit

n ∈

N

(

n 6= 2

). Soit

Σ

une surfa e régulière de lasse

C

2

et

P

un point de

Σ.

On her he à

approximerla ourburede Gauss

K

de

Σ

en

P.

On dénitunesuitede

maillagesautour de

P,

(P, P

1 (m), . . . , P

n

(m))

m

∈

N

,

tels que pour tout

i = 1, . . . n,

et pour tout

n ∈

N

,

on a:

P

i

(m) ∈ Σ.

On suppose que :

1. Il existe deux onstantes

γ

min

et

γ

max

telles que

∀i, ∀m,

on a:

0 < γ

min

≤ γ

m

i

≤ γ

max

,

où

γ

m

i

= ∠(

−→

P P

i

(m),

−→

P P

i+1

(m)),

2. ilexiste

d

1 > 0

et

d

2 > 0

tels que

∀m,

ona :

(11)

Alors,il existe une onstante

C > 0

telle que :

lim

m

sup

˜k

d

(m) − K

≤

_{2 sin γ}

nC

min

(k

M

− k

m

)

2 + |k

M

2 − k

2 m

|

,

où

k

M

et

k

m

sont les ourbures prin ipales de

Σ

en

P,

˜

k

d

(m) =

2π −

P

n

i=1

γ

m

i

S

m

n

,

et

S

m

n

=

n

X

i=1

1 4 sin γ

m

i

η

m

i

η

m

i+1

−

cos γ

m

i

2 (η

2 m

i

+ η

2 m

i+1

)

,

est lemodule du maillage

(P, P

1 (m), . . . , P

n

(m)).

0.2 Résumé des prin ipaux résultats de ette thèse

Le adre géométriquede ette thèse est leplaneu lidien

E

2

pour le

premier hapitre etl'espa e eu lidien

E

3

pour les hapitressuivants.

0.2.1 Courbes

Chapitre 1

Il est bien onnu que l'on peut appro her la ourbure

k

Γ

(P )

en un

point

P

d'une ourbelisse

Γ

enutilisantdeuxpoints

P

1 , P

2 ∈ Γ

pro hes de

P

etle défaut angulaire:

π − ∠(

−→

P P

1 ,

−→

P P

2 ).

Nous allons donner une majoration de l'erreur lorsqu'on appro he la

ourburelisse

k

Γ

(P )

dela ourbe

Γ

en

P

parla ourburedis rète

k

Γ

d

(P )

(voir laDénition 1) dénie àl'aide de

P, P

1

et

P

2 .

Plus pré isément, nous montrons en (1.1) l'inégalité:

k

Γ

d

(P ) − k

Γ

(P )

≤ 2Ω

Γ

(P )

3 k

max

3

8 η

max

+

k

max

′

3 Ω

Γ

(P )

η

max

,

(1) où

η

max

= max(|

−→

P P

1 |, |

−→

P P

2 |),

etlesautres quantités quiinterviennent dépendent du jetd'ordre 1de

la ourbure de

Γ

(

k

max

, k

′

(12)

0.2.2 Surfa es

NousutilisonsleChapitre 1pour obtenirdes majorationsdu même

type mais dans le adre des surfa es. Soit

Σ

une surfa e régulière de

lasse

C

2

aumoins. Nous her hons à obtenirdes informationssur les

ourbures prin ipales de

Σ

au point

P.

Nos estimateurs dis rets sont

des maillages

{(P, P

1 , . . . , P

n

)} ⊆ Σ

n+1

qui sont des approximations

linéairespar mor eaux de la surfa e (voir laDénition 6).

Chapitre 2

Dans e hapitre,nous her honsàappro her la ourbure de Gauss

K

de lasurfa e

Σ

aupoint

P.

Nousdonnons sous ertaineshypothèses

(voir leCorollaire(2.4)) une estimation d'erreur de laforme :

˜k

d

− K

≤

Mk

2 max

Θ|S

n

|

η

2 _max

,

(2) où

η

max

=

n

max

i=1

|

−→

P P

i

|,

Θ =

min

n

i=1

| sin ∠(

−→

P P

i

,

−→

P P

i+1

)|,

˜

k

d

=

2π −

P

n

i=1

∠(

−→

P P

i

,

−→

P P

i+1

)

S

n

,

où

S

n

estlemoduledu maillage(voirlaDénition5)quinedépendque

despoints

(P, P

1 , . . . , P

n

).

La onstante

k

max

> 0

dépenddes ourbures

de la surfa e en

P

et

M > 0

dépend du jet d'ordre1 des ourbures de

lasurfa e en

P,

de l'entier

n

etd'autres paramètres liésaumaillageet

àlasurfa e. Nousdonnonsexpli itementun majorantde l'erreur(voir

2.3).

Chapitre 3

Nousdonnons (sous ertaineshypothèses) lamajoration(3.3)de la

valeurabsoluede ladiéren eentrela ourbure dis rèteenun point

P

(13)

et

A =

1 n

n

X

i=1

Aire(PP

i

P

i+1

),

est lamoyenne des aires des triangles

P P

i

P

i+1

.

La fon tion

N(. . .)

dé-pend de la taille

η

max

du maillage, du 1-jet des fon tions ourbures

et d'autres paramètres liés au maillage et à la surfa e.

Malheureu-sement, la fon tion

N(. . .)

ne tend pas for ément vers 0 lorsque les

points

P

1 , . . . , P

n

tendentvers

P

en restant sur lasurfa e

Σ.

L'obje tif

du hapitresuivantvaêtrededonnerunmoyen d'éviter ephénomène.

Chapitre 4

Nous onsidérons des familles de maillages

M

n

(ρ)

ρ>0

,

telles que, pour tout

ρ > 0,

on a:

pour tout

i = 1, . . . n,

ona :

P

i

(ρ) ∈ Σ,

les points

P

i

(ρ)

dépendent d'une paramétrisation onforme

f

de

la surfa e,ils sont don dénisde manièreextrinsèque.

Dans e hapitre,la manièredontles points

P

i

(ρ)

tendent vers

P

per-metde rempla erlafon tion

N(. . .)

par

N

1 (f )ρ + N

2 (f )ρ

2 _,

oùles

nou-veaux oe ients

N

1 (f ) > 0

et

N

2 (f ) > 0

ne dépendent plus de la

tailledes maillages

M

n

(ρ).

Pour dé rire la manière de tendre vers

P,

onutilise un plongement onforme de la surfa e

f : U → Σ,

où

U

est un ouvert de

R

2

(Voirla Dénition 10 pour plus de détails).

On obtient lamajoration(4.1) :

|k

d

(ρ) − k| ≤ N

1 (f )ρ + N

2 (f )ρ

2 ,

(4)

où

k

d

(ρ)

est la famille de ourbures dis rètes asso iées à la famille

M

n

(ρ)

ρ>0

.

Enparti ulier, lorsqu'onfait tendre

ρ → 0,

on a:

lim

ρ

→0

k

d

(ρ) = k.

Un orollaire important de e théorème est le as parti ulier de

er-taines famillesde 6-maillagesréguliers

M

6 (ρ)

ρ>0

autour d'un point

P

de la surfa e. On obtient alors le"développement limité" 4.2:

k

d

(ρ) = 2K + O(ρ),

(5)

où

K

est la ourbure de Gauss de

Σ

en

P.

Dans un arti le ré ent

(14)

Con lusion

L'obje tif de ette thèse était d'approximer les ourbures en un

pointd'unesous-variété.Nousnoussommeslimitésau as des ourbes

planesetdes surfa eslisses de

E

3 _,

l'espa eeu lidiende dimension3.Si

Γ

est une ourbe plane régulière, nous appro hons la ourbure en un

pointde

Γ

enutilisantune

V

-ligne(voirlaDénition1).Lamajoration

quenous donnons dans le as des ourbes vaêtre utile pour appro her

les ourbures en un point

P

d'une surfa e lisse

Σ ⊆

E

3 _.

Nous avons

utilisé des maillagesautour de

P,

M

n

= (P, P

1 , . . . , P

n

) ⊆ Σ

n+1

.

Nous avons asso ié à

M

n

deux ourbures dis rètes, l'une

k

d

,

dénie

à l'aide de l'aire de

M

n

,

appro he

k

qui est un polynme homogène

de degré 2 dont les variables sont les ourbures prin ipales de

Σ

en

P.

L'autre ourbure dis rète

k

˜

d

,

dénie à l'aide du module de

M

n

,

appro hela ourbure de Gauss

K

de

Σ

en

P.

Nouspouvonsremarquer

quelorsque

n = 6, k

seréduità

2K.

D'oùl'importan edes6-maillages.

Si les points

P

i

tendent de manière quelquonque vers le point

P,

nos

approximations peuvent être "très mauvaises". Pour avoir de bonnes

estimationsde

k

etnotammentdesrésultatsde onvergen e,nousavons

dé rit ommentlespointsdumaillagedoiventtendrevers

P

enutilisant

ertaines familles de maillages réguliersautour de

P.

Prolongements

Il semble naturel de onsidérer d'autres normalisations du défaut

angulaire, 'est à dire d'autres ourbures dis rètes et nous her hons

vers quoi elles peuvent tendre lorsque la tailledes maillagestend vers

0. Plus pré isément, nous allons onstruire des familles de maillages

autour de

P

qui généralisent les familles de maillages réguliers. Pour

haquefamille,nousallonsessayerdefaire orrespondreunemanièrede

tendrevers lepoint

P,

une ourburedis rète(quipourraêtre diérente

de

k

d

et

˜

k

d

) et un polynme homogène de degré 2 en

k

M

et

k

m

(qui

(15)

(16)

Approximation de la ourbure

des ourbes planes

1.1 Introdu tion

L'estimation des ourbures est un problème qui on erne de

nom-breux domaines des mathématiques appliquées. Maisla littératuresur

e sujet omportesurtoutdes résultatsde onvergen e etsepréo uppe

moins en général de lapré ision de l'approximation.

Dans e hapitrenousdonnonsunemajorationdel'erreur ommise

lors-qu'on appro he la ourbure en un point d'une large lasse de ourbes

planes. L'expression du majorant omporte à la fois des quantités

lo- ales etdes quantités globales.

1.2 Cadre général

1.2.1 Courbes lisses

Dans toute la suite on appelera ourbe lisse

Γ

toute sous-variété

orientée, de lasse

C

2

au moins, onnexe, ompa te et plongée dans

l'espa e eu lidien

E

2

orienté. Une telle ourbe pourra être dénie de

diérentes façons.

1. Commela ourbe

Γ

est régulière, elleadmetune paramétrisation

ξ

par l'abs isse urviligne

s.

On note

t = ξ

′

le ve teur unitaire

tangent àla ourbe. On peut don dénir la ourbure algébrique

de

Γ

en tout point

ξ(s)

en posant

dt

ds

= k

alg

(s)n

où

(t, n)

est un

repère orthonormé dire tde

E

2 _.

2. On pourra égalementdénir une fon tion

(17)

de lasse

C

2

au moins de rang

1

en tout point dont l'une des

omposantes onnexes de

0

est

Γ.

1.2.2 Notion de V-ligne

Définition 1 1. On appelle V-ligne un triplet

V = (P, P

1 , P

2 )

de

(

E

2 )

3 .

La réalisation géométrique

V

de

V

est la ligne polygonale formée par les deux segments

P

1 P

et

P P

2 .

2. Si

V = (P, P

1 , P

2 )

estune

V

-ligneonnote

η

1

(resp.

η

2

)ladistan e eu lidienne entre

P

et

P

1

(resp.entre

P

et

P

2

).On pose :

¯

η =

η

1 + η

2

2 .

3. Le défaut angulaire en

P

de

V

est :

π − γ

η

,

où

γ = ∠(P P

1 , P P

2 ) ∈ [0, π[.

On notera

k

Γ

d

(P ) =

π − γ

η

.

1.2.3 Courbes supportées par une

V

-ligne

Définition 2 Si

Γ ⊂

E

2

est une ourbe lisse passant par

P, P

1 , P

2

et d'extrémités

P

1 ,

et

P

2

, on dit que

Γ

est supportée par

V. P

₂

P

₁

η

1 η

2 P

Γ

Une ourbe

Γ

et son support une

V

-ligne.

On peut appro her la ourbure d'une ourbe lissepar le défaut

angu-laire de

V

-ligne qui lasupporte :

Proposition 1 Soit

Γ

une ourbelisse et

V = (P, P

1 , P

2 )

une

V

-ligne

qui supporte

Γ.

Le défaut angulaire en

P

de

V

appro he la ourbure

k(P )

de

Γ

en

P

: Si

η

1 = η

2 = η

:

π − γ

(18)

Si

η

1 6= η

2

:

π − γ

η

= k(P ) + o(1).

Preuve de la proposition 1.

η

₁

P

₂

P

₁

η

2 θ

1 θ

2 T

_P

Γ

γ

P

Γ

On suppose que

η

1 = η

2 = η.

Ee tuons un développemment limité àl'ordre

2

:

θ

1 =

k(P )

2 η

1 −

αη

2

1

6 + o(η

2

1 ),

θ

2 =

k(P )

2 η

2 +

αη

2

6 + o(η

2

2 ).

Puisque

η

1 = η

2 = η,

on déduitque :

θ

1 + θ

2 = k(P )η + o(η

2 ).

D'autre part, on a

θ

1 + θ

2 = π − γ,

d'où le résultat.

Si

η

1 6= η

2 ,

ee tuons en oreun développemet limité à l'ordre

1

. On a :

θ

1 =

k(P )

2 η

1 + η

1 ǫ

1 (η

1 ),

θ

2 =

k(P )

2 η

2 + η

2 ǫ

2 (η

2 ),

où

ǫ

i

(η

i

) → 0,

quand

η

i

→ 0.

On en déduit que:

θ

1 + θ

2 = k(P )η + η

1 ǫ

1 (η

1 ) + η

2 ǫ

2 (η

2 ),

θ

1 + θ

2 = k(P )η + ǫ(η

max

),

(19)

Il est important de remarquer que le résultat de onvergen e est

plus faiblelorsque

η

1 6= η

2

, que lorsque

η

1 = η

2

1.3 Un théorème d'approximation

Lerésultatdelaproposition1estun résultatde onvergen e.Notre

butàprésent estd'obtenir unemajorationde l'erreurfaiteen

approxi-mant la ourbure en un point

P

d'une ourbe lissepar ledéfaut

angu-laire en

P

d'une

V

-ligne qui la supporte. Nous utiliserons dans ette

majoration trois invariants.

k

max

= max

s

|k(s)|,

k

′

max

= max

s

|k

′

(s)|,

le oe ientderappelquenousdénironsauparagraphesuivant.

Laprésen e de

k

′

max

peutsemblerétrangedansunpremiertemps,mais

e ise omprendbiendansle asdespointsde ourburenulle:Quelque

soitla ourbe

Γ

1

passant par

P

1 , P, P

2

il est toujours possible de faire

lo alementune légèreperturbation

C

0

autour de

P

telle quela ourbe

résultante

Γ

2

ontienne toujours

V

mais ait une ourbure nulle en

P.

On illustre e i dans lagure suivante.

P

₂

P

1 P

₂

P

1 Γ

2 P

P

On remarque que

k

max

ne varie pas beau oup. En revan he, la

dé-rivée de la fon tion ourbure

k

′

varie beau oup, en général :

k

′

_max

(Γ

2 ) = sup

Γ

2 |k

′

(s

2 )| ≫ k

′

max

(Γ

1 ) = sup

Γ

1 |k

′

(s

1 )|.

Ce imontre quesil'onveut avoirun résultatde omparaisonentre les

ourbures

k

Γ

d

(P )

and

k(P )

,ilestnatureldetenir omptenonseulement de la fon tion ourbure mais de son

1

-jet.

Définition 3 Le oe ient de rappel de

Γ

en

P

est la quantité

Ω

Γ

(P ) = sup{

1 cos ∠(

−−→

P M, t)

, M ∈ Γ, t ∈ T

M

Γ} ∈ [1, ∞].

On donne des exemples de ourbes ave leur oe ient de rappel:

P

Γ

₁

Γ

2

(20)

Droite Parabole Courbe Cer le

Ω

Γ

(P ) = 1

Ω

Γ

(P ) =

√

3 ₈

Ω

Γ

(P ) < +∞

Ω

Γ

(P ) =

∞.

1.4 Enon é du Théorème prin ipal

Ce théorème donneune majorationde ladiéren e

|k(P ) − k

Γ

d

(P )|

en fon tion de

Ω

Γ

(P )

,

η

max

, k

max

et

k

′

max

.

Théorème 1 Soit

V = (P, P

1 , P

2 )

une

V

-ligne de

E

2

,

k

Γ

d

(P )

sa

our-bure dis rète en

P

et

Γ

une ourbe de

E

2

supportée par

V.

Alors on a :

k

Γ

(P ) − k

d

Γ

(P )

≤ 2Ω

Γ

(P )

3 k

3 max

8 η

max

+

k

′

max

3 Ω

Γ

(P )

η

max

.

(1.1)

η

1 P

₂

P

₁

η

2 θ

1 θ

2 T

_P

Γ

γ

P

Γ

1.5 Preuve du théorème 1

On supposera que

Ω

Γ

(P ) < +∞

ar sinon le résultat est trivial.

Remarquons que

Ω

Γ

(P ) < +∞

si et seulement si pour tout

(η, θ) ∈ Γ

ona :

− sin θF

x

(η cos θ, η sin θ) + cos θF

y

(η cos θ, η sin θ) = 0.

1.5.1 Existen e d'une bije tion

η → θ

de lasse

C

2 _.

Lemme 1 Soit

Γ

une ourbe lisse. Soit

F : U ⊆

E

2 →

R

une appli ation de lasse

C

3

dénie sur un ouvert

U

de

R

2

tel que

(21)

Si

F (0, 0) = 0, F

x

(0, 0) = 0

et

F

y

(0, 0) 6= 0,

alors il existe un voisinage onnexe

V

de

(0, 0)

tel que lafon tion

e

Φ : V ⊆

R

2 →

R

dénie pour tout

(η, θ) ∈ V

par :

e

Φ(η, θ) =







F (η cos θ, η sin θ)

η

si

η 6= 0,

cos θF

x

(0, 0) + sin θF

y

(0, 0)

si

η = 0

vérie pour tout

(η, θ) ∈ V

:

(η cos θ, η sin θ) ∈ Γ ⇔ e

Φ(η, θ) = 0.

De plus on a

∂ e

Φ

∂θ

(0, 0) 6= 0.

Preuve du lemme 1. Soit

c : R

⋆

× [0, 2π[→

R

2

l'appli ationdénie par

c(η, θ) = (η cos θ, η sin θ)

On pose

V = c

−1

(U).

Soit

e

Φ : V →

R

,

l'appli ationdénie par :

e

Φ(η, θ) =







F (η cos θ, η sin θ)

η

si

η 6= 0,

cos θF

x

(0, 0) + sin θF

y

(0, 0)

si

η = 0.

Ilest lairque

Φ

e

est de lasse

C

2

entoutpoint

(η, θ) ∈ V

telque

η 6= 0.

Nousallons montrer que

Φ

e

est de lasse

C

2

en

(0, θ).

Fixons

θ

. Puisque

F

est de lasse

C

3 _,

onpeut é rire ledéveloppement

de Taylor à l'ordre

3

de la fon tion

(22)

ave

d e

F

dη

(0) = (cos θF

x

(0, 0) + sin θF

y

(0, 0)).

On a don pour

η 6= 0

:

e

Φ(η, θ) = e

Φ(0, θ) +

η

2 d

2 _F

_e

dη

2 (0) +

η

2

6 d

3 _F

_e

dη

3 (0) + o(η

2 _).

Il est fa ile d'en déduireque

Φ

e

est de lasse

C

2 _.

D'autre part, il est lair que :

∂ e

Φ

∂θ

(0, 0) = F

y

(0, 0) 6= 0.

Proposition 2 Soit

Γ

une ourbe lisse.Soit

F : U ⊆

E

2 →

R

une appli ation de lasse

C

3

dénie sur un ouvert

U

de

R

2

tel que

(0, 0) ∈ U.

dénissant impli itement

Γ.

On suppose quepour tout

(η, θ)

tel que

(η cos θ, η sin θ) ∈ Γ,

on a :

− sin θF

x

(η cos θ, η sin θ) + cos θF

y

(η cos θ, η sin θ) 6= 0.

Alors il existe une bije tion de lasse

C

2 ϕ : I = [−η

1 , η

2 ] → ϕ(I)

telle que : 1.

ϕ(0) = 0,

2. pour tout

η ∈ I,

on a :

(η cos θ, η sin θ) ∈ Γ ⇔ θ = ϕ(η).

On obtient ainsi une nouvelleparamétrisation de la ourbe

e

ξ : I → ξ(I) ⊆

E

2 ,

où

ξ

e

est déni pour tout

η ∈ I

par :

e

(23)

P

1 θ = ϕ

(

η

)

P

2 P

y

η

Γ

x

Q

Preuve de la proposition 2. Considéronsl'appli ation

e

Φ : V →

R

,

déniedans le lemme

1

par :

e

Φ(η, θ) =







F (η cos θ, η sin θ)

η

si

η 6= 0,

cos θF

x

(0, 0) + sin θF

y

(0, 0)

si

η = 0.

D'après lelemme 1,

Φ

e

est de lasse

C

2 _.

Dénissons la fon tion

˜

F : V →

R

2

en posant pour tout

(η, θ) ∈ V,

˜

F (η, θ) = (η, e

Φ(η, θ)).

La fon tion

F

˜

est de lasse

C

2

sur

V.

Nous allons montrer que

F

˜

est

une bije tion de lasse

C

2

de

V

sur son image.

1. On apour tout

(h, k) ∈

R

2

:

D ˜

F (η, θ)(h, k) =

h, D

1 Φ(η, θ)h + D

e

2 Φ(η, θ)k

e

,

ave

D

2 Φ(η, θ) = − sin θF

e

x

(η cos θ, η sin θ) + cos θF

y

(η cos θ, η sin θ).

Le ja obien de

F

˜

aupoint

(η, θ)

vaut :

1 _{0 − sin θF}

D

1 Φ(η, θ)

e

_x

_{+ cos θF}

_y

= − sin θF

x

+ cos θF

y

6= 0

Don quitte à restreindre

V

, on peut supposer que

D ˜

F (η, θ)

est

un isomorphismepour tout

(η, θ) ∈ V.

(24)

Lemme 2 Soit

x ∈ V, y = ˜

F (x)

et

z ∈ ˜

F (V).

Alors il existe un hemin

λ : [0, 1] → V,

˜

de lasse

C

1 _,

d'origine

x = ˜

λ(0),

qui relève le segment

λ : [0, 1] → ˜

F (V)

déni par

λ(t) = (1 − t)y + tz.

Preuve du lemme 2. Soit

A

l'ensemble des

a ∈ [0, 1]

tels

que

λ|

[0,a[

se relève selon un hemin

[0, a[→ V

de lasse

C

1

et

d'origine

x.

Montrons que

A

n'est pas vide. D'après le théorème

d'inversionlo ale,ilexisteunvoisinageouvert

U

de

x

dontl'image

par

F

˜

est un voisinage ouvert

V

de

y.

Ainsi

λ

−1

_{(V )}

ontient un intervalle

[0, s[

et

( ˜

F |U)

−1

_{◦ λ}

est de lasse

C

1 _,

vaut

x

pour

t = 0

et relève

λ|

[0,s[

.

Soit

a, a

′

∈ A

et

a < a

′

.

Puisque

[0, 1]

est un onnexe, le relèvement de

λ|

[0,a

′

_[

oin ide sur

[0, a[

ave elui de

λ|

[0,a[

.

Soit

β

labornesupérieurede

A.

Montronsque

β ∈ A.

Ave

une notation évidente,

F ◦ ˜λ(t) = λ(t)

˜

pour

0 ≤ t < β,

don

D ˜

F (˜

_{λ(t)) ◦ ˜λ}

′

(t) = λ

′

(t).

On a :

k˜λ

′

(t)k ≤ MkD ˜

F (η, θ)

−1

_k

˜

F

_(V)

,

où

M

est une borne supérieure des

kλ

′

(t)k, 0 ≤ t ≤ 1.

Si

t

n

est

une suite roissante de nombres tendant vers

λ,

le théorème des

a roissements nis entraîne

k˜λ(t

p

) − ˜λ(t

q

)k ≤ MkD ˜

F (η, θ)

−1

k

_F

˜

_(V)

|t

p

− t

q

|.

La suite

λ(t

˜

n

)

est don de Cau hy et elle onverge vers un point

b ∈ V.

La ontinuité de

F

˜

entraine que

F (b) = lim ˜

˜

F ◦ ˜λ(t

n

) =

lim λ(t

n

) = λ(β)

et

λ(β)

˜

est bien déni. Montrons par l'absurde, que

β = 1

:Il existe un voisinage ouvert

U

′

de

λ(β)

˜

dont l'image par

F

˜

estun voisinageouvert

V

′

de

λ(β).

Puisque

β < 1, λ

−1

_(V

′

)

ontient un intervalle ouvert

I =]β − ǫ, β + ǫ[.

Dénissons

σ :

I → V

par

( ˜

F |

U

′

)

−1

◦ λ,

puis posons

λ

˜

1 (t) = ˜

λ(t)

si

0 ≤ t ≤ β,

˜

λ

1 (t) = σ(t)

si

β ≤ t < β + ǫ.

Evidemment

λ

˜

1

est de lasse

C

1 _,

˜

λ

1 (0) = x

et

λ

˜

1

relève

λ|

[0,β+ǫ[

.

Ce qui ontredit la dénition de

β.

Lemme 3 Un la et

λ

de

F (V)

˜

d'origine

y = ˜

F (x),

où

x ∈ V

se

relève suivant un la et

˜

λ

de

V

d'origine (et d'extrémité)

x.

En

parti ulier

F

˜

est inje tive.

Preuve du lemme 3. Quitte à ee tuer une translation, on

peut supposer

y = 0.

Soit

Z = {0 ≤ t ≤ 1} × {0 ≤ s ≤ 1}.

Nous allons montrer que

ψ : Z → ˜

F (V),

dénie par

ψ(t, s) = sλ(t),

admet un relèvement

˜

(25)

˜

ψ(1, 1) = x.

Le lemme en résultera en prenant

˜

λ(t) = ˜

ψ(t, 1).

D'après lelemme pré édent etpar uni ité du relèvement, haque

segment

s

∈[0,1]

→ sλ(t)

possèdeunrelèvementunique

ψ

˜

t

(s)

telque

˜

ψ

t

(0) = x.

Posons

ψ(t, s) = ˜

˜

ψ

t

(s).

Il sut de montrer que pour haque

s ∈ [0, 1], t → ˜

ψ(t, s)

est un la et d'origine

x.

Pour ela,

onsidérons l'ensemble

A

des

a ∈ [0, 1]

tels que, pour

0 ≤ s ≤ a

,

t → ˜

ψ(t, s)

possèdelespropriétésvoulues.Montronsparl'absurde

que

β

′

= sup A = 1.

Chaque point

ψ(t, β

˜

′

)

est ontenu dans un

voisinageouvert

U

t

,

dontl'imagepar

F

˜

est unvoisinageouvert

V

t

de

F ( ˜

˜

ψ(t, β

′

)) = ψ(t, β

′

) = β

′

λ(t).

Puisque

[0, 1]

est ompa t, un

nombre ni de es

V

t

re ouvrel'imagede

t → β

′

λ(t).

Soit

V

′

leur réunion et

U

′

la réunion des

U

t

orrespondants. Puisque

β

′

< 1,

V

′

ontient l'image d'un la et

t → (β

′

+ ǫ)λ(t)

pour un

ǫ > 0.

Alors

t → ( ˜

F |

U

′

)

−1

◦ ψ(t, β

′

+ ǫ)

relève e la et, 'est lui-même

un la et d'origine

x,

etl'uni itédu relèvement montre qu'iln'est autre que

ψ(t, β

˜

′

+ ǫ).

D'où la ontradi tion. Montrons que

F

˜

est inje tive:

Si

x

et

x

′

sontdeuxpointsde

V

demêmeimage

y = ˜

F (x) = ˜

F (x

′

),

l'image par

F

˜

du segment quiles joint est un la et

λ

˜

d'origine

y.

Par uni ité du relèvement, e la et se relève en un la et unique

d'origine

x.

Comme e relèvementdoit être aussi lesegment

xx

′

,

'est que

x = x

′

, ˜

F

est don inje tive.

D'après e qui pré ède,

F

˜

est une bije tion de lasse

C

2

de

V

sur son image. L'appli ationinverse

F

˜

−1

est de laforme

F

˜

−1

_{(η, w) = (η, ˜}

_F

1 (η, w)).

D'autre part pour tout

(η, θ) ∈ V,

ona :

e

Φ(η, θ) = 0 ⇔ θ = ˜

F

1 (η, 0).

On pose alors

ϕ(η) = ˜

F

1 (η, 0).

L'appli ation

ϕ : I = [−η

1 , η

2 ] → ϕ(I)

est de lasse

C

2

puisque

F

˜

est

de lasse

C

2

etson ja obienne s'annule pas sur

V.

De plus

ϕ

vérie :

e

Φ(η, θ) = 0 ⇔ θ = ϕ(η).

Enutilisantle lemme1, onen déduit que :

(η cos θ, η sin θ) ∈ Γ ⇔ θ = ϕ(η),

d'où le point

2).

Le fait que

Φ(0, 0) = 0

e

prouve qu'à priori on a

ϕ(0) = kπ

pour un

ertain

k ∈

Z

.

En faisant tendre

V

vers le point

(0, 0)

et en utilisant

l'uni ité de

ϕ

on voit que

k = 0

et don que

ϕ(0) = 0.

D'où le point

(26)

1.5.2 Equation diérentiellevériée par la fon tion

ϕ

Lemme 4

ϕ

vériel'équationdiérentiellesuivantesur l'intervalle

I

:

(EDO)







ek

alg

(η)(1 + η

2 ϕ

′2

(η))

3

2 = 2ϕ

′

(η) + η

2 ϕ

′3

(η) + ηϕ

′′

(η),

ϕ

′

(0) =

k(P )

2 .

Preuve du lemme 4. On utilise la paramétrisation

ξ : η →

e

(η cos ϕ(η), η sin ϕ(η)).

Il est lassique que la ourbure algébriques'exprimepar laformule:

k

alg

(η) =

U(η)

kξ

′

(η)k

3 ,

où

U(η) = 2ϕ

′

_{(η) + η}

2 _ϕ

′3

_{(η) + ηϕ}

′′

_(η)

et

kξ

′

(η)k

3 = (1 + η

2 ϕ

′2

(η))

3

2 .

On en déduitque

ϕ

vérie l'équationdiérentielle

(EDO)







k

alg

(η)(1 + η

2 ϕ

′2

(η))

3

2 = 2ϕ

′

(η) + η

2 ϕ

′3

(η) + ηϕ

′′

(η),

ϕ

′

(0) =

k(P )

2 .

1.5.3 Expression expli ite de

ϕ

′

en fon tion de la ourbure algébrique Proposition 3 L'appli ation

ϕ : I = [−η

1 , η

2 ] → ϕ(I)

est une bije tion de lasse

C

2

de

I

sur son image.

De plus, pour tout

η ∈ I,

on a :

ϕ

′

(η) =

Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt

s

1 − η

2 Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt

2 ,

où

s(η) =

Z

η

0 |

∂ ˜

ξ

∂η

(t)|dt

(27)

Preuve de la proposition 3. On résoud l'équation diérentielle

vériéepar

ϕ

donnée danslelemme4.D'aprèslethéorèmede

Cau hy-Lips hitz, ette équation diérentielle possède une unique solution

ϕ.

Pour tout

η ∈ I = [−η

1 , η

2 ],

on pose :

u(η) = η

Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt.

Un al ultrès simplemontre qu'ilexiste

ǫ

1 > 0

et

ǫ

2 > 0,

susamment petits tels que pour tout

η ∈] − ǫ

1 , ǫ

2 [⊆ [−η

1 , η

2 ],

la fon tion

g :] − ǫ

1 , ǫ

2 [→

R

,

déniepar :

g(η) =

Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt

p

1 − u

2 _(η)

,

est de lasse

C

1

et pour tout

η ∈] − ǫ

1 , ǫ

2 [,

ona :

g

′

_{(η) = (1 − u}

2 ₎

−

3

2 "Z

1

0 t

2 ∂e

k

alg

∂η

(ηt)dt + η

Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt

3 #

.

Don

g

vériel'équationdiérentiellesuivantesurl'intervalle

]−ǫ

1 , ǫ

2 [

:







˜

k

alg

(η)(1 + η

2 g

′2

(η))

3

2 = 2g(η) + η

2 g

3 (η) + ηg

′

(η),

g(0) =

k(P )

2 .

Considéronsl'équation diérentielle :







˜

k

alg

(η)(1 + η

2 y

′2

(η))

3

2 = 2y(η) + η

2 y

3 (η) + ηy

′

(η),

y(0) =

k(P )

2 .

Le théorème de Cau hy-Lips hitz montre qu'elle admet une unique

solution sur

] − η

1 , 0[

et une unique solution sur

]0, η

2 [.

On en déduit quepour tout

η ∈] − ǫ

1 , ǫ

2 [,

ona :

g(η) = ϕ

′

(η).

Montronspar l'absurdeque l'on peut étendre la fon tion

g

à tout

l'in-tervalle

[−η

1 , η

2 ].

Sinon, onaurait pour

i = 1, 2

:

(28)

e qui entraîne

lim

η

→ǫ

i

g(η) = lim

η

→ǫ

i

ϕ

′

_{(η) = ∞.}

On aurait don :

lim

η

→ǫ

i

1 + η

2 ϕ

′2

(η)

1

2 = ∞.

D'autre part en utilisantle produit s alaire

<

ξ(η)

˜

|˜

ξ(η)|

,

˜

ξ

′

(η)

|˜

ξ

′

(η)|

>,

onmontre que :

cos ∠(

−−→

P M , t) =

1 1 + η

2 _ϕ

′2

_(η)

.

Enrésumé

lim

η

→ǫ

ϕ

′

(η) = ∞,

implique que

Ω

Γ

(P ) = ∞,

equiest ontraireànotrehypothèsededépart.Onen déduitquepour

tout

η ∈ [−η

1 , η

2 ],

ona :

ϕ

′

(η) =

Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt

s

1 − η

2 Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt

2 .

1.5.4 Majoration de la borne supérieure de

|ϕ

′′

_|

Lemme 5 Pour tout

η ∈ I,

on a :

|ϕ

′

_{(η)| ≤}

1

2 Ω

Γ

(P )k

max

,

|ϕ

′′

_{(η)| ≤ Ω}

Γ

(P )

3 k

3 max

8 η

max

+

k

′

max

3 Ω

Γ

(P )

.

Preuve du lemme 5. Pour tout

η ∈ I,

ona vu que:

(29)

Par onséquent

∂s

∂η

(η) = (1 + η

2 _ϕ

′2

_(η))

1

2 > 0.

Puisque

u =

ηϕ

′

(1 + η

2 _ϕ

′2

₎

1

2 ,

il est fa ilede vérier que

1 p

1 − u

2 _(η)

= (1 + η

2 _ϕ

′2

_(η))

1

2 .

Ainsi

ϕ

′

_{(η) =}

_p

1 1 − u

2 _(η)

Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt

=

∂s

∂η

(η)

Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt

=

_∂η

1 ∂s

(s(η))

Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt

=

1 cos ∠(

−−→

P M, t)

Z

1

0 te

k

alg

(ηt)dt,

oùon a noté

M = e

ξ(η)

et

t

le ve teur tangent unitaireà la ourbe au

point

M.

On a :

|ϕ

′

_{(η)| ≤ Ω}

Γ

(P )k

max

Z

1

0 tdt,

etnalement

|ϕ

′

(η)| ≤

1

2 Ω

Γ

(P )k

max

.

Il reste àtraiter la dérivée se onde de

ϕ.

(30)

Lemme 6 Soit

M ∈ Γ, M 6= P

et

t ∈ T

M

Γ

unitaire. On a :

∂η

∂s

(s)

= cos ∠(

−−→

P M, t),

∂s

_∂η

(η)

≤ Ω

Γ

(P ).

Preuve du lemme 6. On a :

∂k

−−→

P M k

∂s

=

∂

q

<

−−→

P M,

−−→

P M >

∂s

,

∂k

−−→

P M k

∂s

=

1

2 q

<

−−→

P M ,

−−→

P M >

2 <

−−→

P M,

∂

−−→

P M

∂s

>,

∂k

−−→

P M k

∂s

=<

−−→

P M

k

−−→

P Mk

, t > .

Pour nir lapreuve, ilsut de remarquer que :

∂k

−−→

P M k

∂s

=

∂η

∂s

(s)

et

<

−−→

P M

k

−−→

P Mk

, t >

= cos ∠(

−−→

P M, t).

1.5.5 Fin de la preuve du Théorème 1

On va majorer

ϕ : I = [−η

1 , η

2 ] → ϕ(I)

sur

I.

On suppose que

l'on est dans la onguration de la gure i-dessous, 'est à dire que

ϕ(−η

1 ) ≤ 0

et

ϕ(η

2 ) ≥ 0

(les autres as se démontrent de manière similaire).On a :

ϕ(−η

1 ) = −|θ

1 |,

et

ϕ(η

2 ) = |θ

2 |.

Enutilisantla gure i-dessous, onvoitque l'on a :

π − γ = |θ

1 | + |θ

2 |.

η

1 P

₂

P

₁

η

2 θ

1 θ

2 T

_P

Γ

γ

P

Γ

(31)

η ∈ I

:

ϕ(η) −

k(P )

2 η

≤

1

2 η

2 _sup

I

|ϕ

′′

_(η)|

On en déduit fa ilement que :

|π − γ − k(P )¯η| ≤

1 ₂

η

₁

2 sup

I

1 |ϕ

′′

(η)| +

1 ₂

η

₂

2 sup

I

2 |ϕ

′′

(η)|

≤ η

2 max

sup

I

|ϕ

′′

_(η)|.

Par onséquent

k

Γ

d

(P ) − k(P )

≤ 2η

max

sup

I

|ϕ

′′

_(η)|,

puisque

η

max

≤ 2¯η.

On utilise lelemme 6pour nir lamajoration.

1.6 Illustrations On a lamajoration

k(P ) − k

Γ

d

(P )

≤ e(Γ, V ),

ave

e(Γ, V ) = 2Ω

Γ

(P )

3 k

3 max

8 η

max

+

k

′

max

3 Ω

Γ

(P )

η

max

L'étudedes variationsdes erreurs relatives

ǫ

r

=

k(P ) − k

Γ

d

(P )

k

Γ

d

(P )

,

e

r

=

e(Γ, V )

k

Γ

d

(P )

et

δ =

e(Γ)

|k(P ) − k

Γ

d

(P )|

montre que es erreurs ne dépendent pas de

η

max

mais seulement de

l'angleaupoint

P.

Lorsquel'angleen

P

serappro hede

π,

l'erreurrelative

δ

estmeilleure pour les er lesque pour les paraboles.

1.6.1 Cer les

On note

2α

l'angle de

V = (P, P

1 , P

2 )

en

P

et

Γ

l'ar de er le

passant par

P

1

,

P

et

P

2

(voirla gure i-dessous, àgau he). On a :

Ω

Γ

(P ) =

1 sin α

, k

max

=

2 cos α

η

max

= k(P )

et

k

Γ

d

(P ) =

π − 2α

η

max

.

On a lesexpressions suivantes des erreur relatives:

ǫ

r

(α) =

|π − 2α − 2 cos α|

π − 2α

et

e

r

(α) =

cot

3 _α

π

2 − α

.

(32)

α

2 P

₂

1 P

P

Γ

3 2,5

2 1,5

1 0,5

0 1,4

1,2

1 0,8

0,6

0,4

0,2

α

Erreurs relatives

ǫ

r

(α)

et

e

r

(α)

(respe tivement en traits ns et épais)

Pour

α

pro he de

0

,

e

r

(α)

tend vers l'innitandisque l'erreur rela-tive

ǫ

r

(α)

restebornée.Onremarqueégalementquela ourburedis rète

k

d

un mauvais omportementpour

α

petit. Eneet

k

d

tendvers la

va-leur

π/η

max

lorsque

α

tend vers

0.

La ourbure dis rètedonne la ourbure réelle à une erreur

ǫ

r

(α)

près. Letableau i-dessous donnelesvaleursde l'erreur

e

r

(α)

en fon tionde

α

:

e

r

(α)

1

0.1

0.01

0.001 0.0001 0.00001 0.000001

α

0.836... 1.268... 1.471... 1.539... 1.560... 1.567...

1.569...

Plus l'angle en

P

serappro he de

π,

plus la majoration est pré ise.

1.6.2 Paraboles

Soit

V = (P, P

1 , P

2 )

une

V

-lignesymétriqueet

Γ

un ar deparabole

ayantpoursupport

V

(voirlagure i-dessous).Aprèsquelques al uls

qui ne présentent pas de di ultés, ontrouve :

Ω

Γ

(P ) =







3/

√

8

si

α ≤ α

0

1 sin α

√

1 + 4 cot

2 _α

1 + 2 cot

2 _α

si

α ≥ α

0

où

α

0 = arctan(

√

2) = 0.95531...

On a également:

k

max

= k(P ) = 2

cos α

sin

2 α

1 η

max

et

k

_max

′

=











125 cos

2 _α

18 √

5 sin

4 α

1 η

2 max

if

α ≤ α

1 24 sin α cos

3 α

(1 + 3 cos

2 _α)

3

1 η

2 max

si

α ≥ α

1

ave

α

1 = arctan(2

√

(33)

α

2

2 P

1 P

P

Γ

3 2,5

2 1,5

1 0,5

0 1,4

1,2

1 0,8

0,6

0,4

0,2

α

Erreurs relatives

ǫ

r

(α)

et

e

r

(α)

(respe tivement traits ns et épais)

Le tableau i-dessous donne lesvaleurs de

e

r

(α)

en fon tion de

α

:

e

r

(α)

1

0.1

0.01

0.001 0.0001 0.00001 0.000001

α

1.157... 1.461... 1.537... 1.560... 1.567... 1.569... 1.5704...

I i en ore la pré ision est d'autant meilleure que l'angle en

P

se

rap-pro he de

π.

1.6.3 Cer les vs paraboles

Lagure i-dessous représenteles graphesde lafon tion

δ(α)

pour

le er le etla parabole :

100

80

60

40

20

0 1,4

1,2

1 0,8

0,6

0,4

0,2

α

Fon tions

δ

pour le er le(trait n) et laparabole (trait epais) Pourle er leetlaparabole,

δ

estpetit(

≤ 20

)pourdesvaleursde

α

plus

grandesque

0.6.

Par ontre l'erreur

δ

exploselorsque

α

tendvers

0.

La

quantité

δ(α)

onvergelorsque

α

tendvers

π/2,

lavaleurlimiteétant

6

pour le er le et

54

5

pour laparabole. Pour

0.48909... ≤ α ≤ 1.25732...

(34)

ompenser le terme supplémentaire faisant intervenir la dérivée de la

(35)

(36)

Approximations des ourbures

des surfa es-I

2.1 Introdu tion

Dans le hapitre pré édent, nous avons donnédes estimations

d'er-reursentreune ourburelisseenunpointd'une ourbeetune ourbure

dis rète.Danstoutelasuite,nousallons her heràobtenirdesrésultats

du même type mais dans le adre des surfa es de

E

3 _.

Etant donné un

maillagede

E

3

quepeut ondire des ourbures des surfa es qui passent

par lessommetsde e maillage?Cettequestion est très générale eton

ne pourra pas donnerdes indi ations très pré isessur les ourbures de

lasurfa e, mais si lemaillageest susammentpro he de lasurfa e en

un sensquenous pré iserons,alors,ilsetrouvequenous pouvons

don-ner des informations assez pré ises sur les ourbures des surfa es

pas-santpar les sommetsdu maillage.Un moyen de restreindrel'ensemble

des surfa es que nous voulons étudier est de faire une approximation

à priori sur les bornes supérieures des ourbures normales ainsi que

leurs dérivées. Ave es restri tions etune hypothèse sur le fa teur de

rappelen un point

P

de la surfa e (voir la dénition i-dessous) nous

allonspouvoirénon erun résultatde majorationsurladiéren eentre

ledéfaut angulaireen

P

du maillageet une fon tion polynomiale

par-ti ulièredes ourburesprin ipalesen

P

dela surfa e

Σ.

(Théorème2).

Nousen déduirons uneestimation d'erreur de la ourbure de Gaussde

Σ

en

P

en utilisant la ourbure dis rète

˜

k

d

:

˜k

d

− K

≤

Mk

2 max

Θ|S

n

|

η

2 _max

,

(2.1)

où

S

n

est le module du maillage et

M

est une onstante stri tement

positivedépendantdu oe ientderappel

Ω

Σ

(P ),

du jetd'ordre1des

(37)

2.2 Dénitions et notations

2.2.1 Notations

Ondésignepar

P, P

1 , P

2

troispointsd'unesurfa e

Σ,

par

N

P

la nor-maleunitaire de

Σ

en

P,

par

Π

1

(resp.

Π

2

) leplan

P + Vect(

−→

P P

1 , N

P

)

(resp.

P + Vect(

−→

P P

2 , N

P

)

),par

β

l'angleentre

Π

1

et

Π

2

etpar

γ

l'angle de

P

1 P P

2

(voirla gure i-dessous).

N

_P

P

₁

P

₂

β

P

Σ

γ

Π

1

2

Soit

k

1

(resp.

k

2

) la fon tion ourbure le long de la ourbe

Γ

1 =

Σ ∩ Π

1

(resp.

Γ

2 = Σ ∩ Π

2

) etdans la dire tionde la ourbe etsoit

k

′

1

(resp.

k

′

2

)la dérivée par rapport à l'abs isse urviligne. On pose :

k

max

= max{sup

Γ

1 |k

1 |, sup

Γ

2 |k

2 |}

et

k

′

max

= max{sup

Γ

1 |k

1 ′

|, sup

Γ

2 |k

′

2 |}.

On désigne par

η

i

la distan e (usuelle) dans

R

3

entre

P

et

P

i

et on

pose :

η

max

= max{η

1 , η

2 },

η

min

= min{η

1 , η

2 },

η =

¯

η

1 + η

2

et

σ =

η

max

η

min

.

2.2.2 Dénitions

Définition 4 1. Soit

Γ

1 = Σ ∩ Π

1

et

Γ

2 = Σ ∩ Π

2

deux ourbes

dénies omme pré édemment. On pose :

Ω

Γ

1 ,Γ

2 (P ) = max{Ω

Γ

1 (P ), Ω

Γ

2 (P )},

où

Ω

Γ

1 (P )

et

Ω

Γ

2 (P )

sont les oe ients de rappels de

Γ

1

et

Γ

2

(dénis au hapitre pré édent).

2. Le oe ient derappeldelasurfa eau point

P

estlenombreréel