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Dimension de Hausdorff des ensembles limites

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Academic year: 2021

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HAL Id: tel-01524416

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01524416

Submitted on 18 May 2017

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Dimension de Hausdorff des ensembles limites

Laurent Dufloux

To cite this version:

Laurent Dufloux. Dimension de Hausdorff des ensembles limites. Géométrie métrique [math.MG].

Université Sorbonne Paris Cité, 2015. Français. �NNT : 2015USPCD022�. �tel-01524416�

(2)

TH` ESE DE DOCTORAT DE l’UNIVERSIT´ E PARIS 13

Sp´ ecialit´ e Math´ ematiques

Institut Galil´ ee – Laboratoire Analyse, G´ eom´ etrie et Applications

N attribu´ e par la biblioth` eque

Pr´ esent´ ee et soutenue publiquement par

Laurent DUFLOUX

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR de l’UNIVERSIT´ E PARIS 13

Dimension de Hausdorff des ensembles limites

Th` ese soutenue le 6 octobre 2015 devant Messieurs les Professeurs

Jean-Fran¸cois Quint Directeur de th` ese Fran¸cois Ledrappier Rapporteur

Julien Barral Examinateur

Henry de Th´ elin Examinateur

Pierre Pansu Examinateur

Fr´ ed´ eric Paulin Examinateur

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❍❛✉.❞♦0✛ δ Γ ✳ ❈❡ 0!.✉❧"❛" ❡." ❣!♥!0❛❧ ❡" !❧!♠❡♥"❛✐0❡ ✿ ❝❡ (✉✐ ♠❛♥✐❢❡."❡ ❧❡ ❢❛✐"

(✉❡ ❧❛ ❝♦♥❢♦0♠✐"! ❡." ✉♥❡ ❤②♣♦"❤L.❡ ❛❣0!❛❜❧❡ ♣♦✉0 ❧❡. ♣0♦❜❧L♠❡. ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡

❞✐♠❡♥.✐♦♥✳

▼❛✐. ❝❡ ♥✬❡." ♣❛. "♦✉"✳ ▲❡ ❜♦0❞ ∂ H 2 C ❡." ❞✐✛!♦♠♦0♣❤❡ R ❧❛ .♣❤L0❡ S 3 ✳ ❖♥ ♣❡✉"

❞♦♥❝ ❧❡ ♠✉♥✐0 ❞❡ ❧❛ ❞✐."❛♥❝❡ .♣❤!0✐(✉❡✱ 0❡❧❛"✐✈❡♠❡♥" R ❧❛(✉❡❧❧❡ ❧✬♦♣!0❛"✐♦♥ ❞❡ G

♥✬❡." ♣❛. ❝♦♥❢♦0♠❡✳ K0!❝✐.♦♥. ❝❡❧❛✳ ❙✐ g ❡." ✉♥ !❧!♠❡♥" ❞❡ G✱ ♣♦✉0 ❝♦♠♣0❡♥❞0❡

❧❛ ❢❛S♦♥ ❞♦♥" g ✓❞!❢♦0♠❡✔ ❧❛ ❞✐."❛♥❝❡ .♣❤!0✐(✉❡ .✉0 ∂ H 2 C ✱ ✐❧ ❡." ❝♦♠♠♦❞❡ ❞❡

0❡❣❛0❞❡0 g ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ "0❛♥.❢♦0♠❛"✐♦♥ ❞✉ ♣❧❛♥ ♣0♦❥❡❝"✐❢ ❝♦♠♣❧❡①❡ P 2 C ♠✉♥✐ ❞❡

❧❛ ❞✐."❛♥❝❡ ❞❡ ❋✉❜✐♥✐✲❙"✉❞②

d([v], [w]) = kv ∧ wk

kvkkwk , [v], [w] ∈ P 2 C

(✉✐ ✐♥❞✉✐"✱ ❡♥ 0❡."0✐❝"✐♦♥ R ∂ H 2 C ✱ ❧❛ ❞✐."❛♥❝❡ .♣❤!0✐(✉❡✳ ❈❡❧❛ !"❛♥"✱ ❧❛ ❞!❝♦♠♣♦✲

.✐"✐♦♥ ❞❡ ❈❛0"❛♥ ❞❡ g ❡." ❞❡ ❧❛ ❢♦0♠❡ g = kal ♦W k, l .♦♥" ❞❡. ✐.♦♠!"0✐❡. ❡" a ❡."

❞✐❛❣♦♥❛❧❡✱

a =

 e t

1 e −t

 , t ≥ 0

❡" e t ❡." ❧❛ ♥♦0♠❡ ❞✬♦♣!0❛"❡✉0 ❞❡ a✳ ▲❛ 0❡❧❛"✐♦♥

d(g[v], g[w]) d([v], [w]) =

k V 2

g · (v ∧ w)k kv ∧ wk kgvk

kvk kgwk

kwk

♠♦♥"0❡ (✉❡ ❧❡ ♠❡♠❜0❡ ❞❡ ❣❛✉❝❤❡ ❡." ♠❛❥♦0! ♣❛0 e −t ✳ ❉✬❛✉"0❡ ♣❛0"✱ .✐ ❧❡ ♣♦✐♥"

[v ∧ w] ∈ P ( V 2 C 3 ) ❡." ✉♥✐❢♦)♠/♠❡♥# ❧♦✐♥ ❞❡ ❧❛ ❞0♦✐"❡ ♣0♦❥❡❝"✐✈❡ ❝♦♠♣❧❡①❡

♣❛..❛♥" ♣❛0 [l −1 e 2 ∧ l −1 e 3 ] ❡" [l −1 e 3 ∧ l −1 e 1 ]✱ ♦♥ ❛✉0❛ ✉♥ ❝♦♥"0X❧❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦0♠❡

k V 2

g · (v ∧ w)k kv ∧ wk ≥ 1

C e t

♦W C ❡." ✉♥✐❢♦0♠❡✱ ❝❡ (✉✐ ❞♦♥♥❡ ❧✬❡♥❝❛❞0❡♠❡♥"

1

C e −t ≤ d(g[v], g[w]) d([v], [w]) ≤ e −t

❊♥ .❡ .❡0✈❛♥" ❞❡ ❝❡. 0❡❧❛"✐♦♥. !❧!♠❡♥"❛✐0❡.✱ ♦♥ ♣❡✉" "0❛✐"❡0 ❧❡ ❝❛. ❞❡ ❝❡0"❛✐♥.

❣0♦✉♣❡. ❞❡ ❙❝❤♦""❦② Γ ⊂ PU (1, 2)✱ ❞✐" ✓❜✐❡♥ ♣♦.✐"✐♦♥♥!.✔✱ ❡" ❞!♠♦♥"0❡0 (✉❡ ❧❛

❞✐♠❡♥.✐♦♥ ❞❡ ❍❛✉.❞♦0✛ ✭0❡❧❛"✐✈❡ R ❧❛ ❞✐."❛♥❝❡ .♣❤!0✐(✉❡✮ ❞❡ ❧✬❡♥.❡♠❜❧❡ ❧✐♠✐"❡

❞✬✉♥ "❡❧ ❣0♦✉♣❡ ❡." !❣❛❧❡ R δ Γ ✳ ❈❡❝✐ ✈❛✉" ❡♥ "♦✉"❡ ❞✐♠❡♥.✐♦♥ ❀ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝ ❧❡

(12)

❚❤"♦$%♠❡ ❆ ✭♣❛$❛❣$❛♣❤❡ ✸✳✹✳✷✳✷✱ ❝♦$♦❧❧❛✐$❡ ✸✳✹✳✷✳✶✵✮✳ ❙♦✐# Γ ✉♥ &♦✉&✲❣)♦✉♣❡

❞❡ ❙❝❤♦##❦② ❜✐❡♥ ♣♦&✐#✐♦♥♥2 ❞❡ PU (1, n) ✭n ≥ 2✮✳ ▲❛ ❞✐♠❡♥&✐♦♥ ❞❡ ❍❛✉&❞♦)✛ ❞❡

❧✬❡♥&❡♠❜❧❡ ❧✐♠✐#❡ Λ Γ ✱ )❡❧❛#✐✈❡♠❡♥# ? ❧❛ ❞✐&#❛♥❝❡ &♣❤2)✐@✉❡ &✉) ❧❡ ❜♦)❞✱ ❡&# 2❣❛❧❡

? ❧✬❡①♣♦&❛♥# ❞❡ ❝)♦✐&&❛♥❝❡ δ Γ ✳

4♦✉$ ❞❡ 7❡❧8 ❣$♦✉♣❡8✱ ❧❛ 7$❛❝❡✱ 8✉$ ❧✬❡♥8❡♠❜❧❡ ❧✐♠✐7❡✱ ❞❡8 ❜♦✉❧❡8 ✓$♦♥❞❡8✔ ✭❞❡

❧❛ ❞✐87❛♥❝❡ 8♣❤?$✐@✉❡✮ ❝♦A♥❝✐❞❡ ♣❡✉ ♦✉ ♣$♦✉ ❛✈❡❝ ❧❛ 7$❛❝❡ ❞❡8 ❜♦✉❧❡8 ✓❛♣❧❛7✐❡8✔

✭❞❡ ❧❛ ❞✐87❛♥❝❡ ❞❡ ●$♦♠♦✈✮✳ ❈❡ ♣❤?♥♦♠E♥❡ ❡87 ✐❧❧✉87$? 8✉$ ❧❡8 ✜❣✉$❡8 ❝✐✲❛♣$E8 ❀

❧✬❛①❡ ❤♦$✐③♦♥7❛❧ ❝♦$$❡8♣♦♥❞ K ❧❛ ✓❞✐87$✐❜✉7✐♦♥ ❈❘✔ ✭✈♦✐$ ❝❤❛♣✐7$❡ ✸✮ ❡7 ❧✬❛①❡

✈❡$7✐❝❛❧ ❝♦$$❡8♣♦♥❞ K ✉♥❡ ❞✐$❡❝7✐♦♥ 7$❛♥8✈❡$8❡✳ ❙♦♥7 8❝❤?♠❛7✐8?❡8 ❞❡✉① ❜♦✉❧❡8

❞❡ ♠N♠❡ $❛②♦♥✱ ❧❛ ♣$❡♠✐E$❡ ✓$♦♥❞❡✔ ✭❝♦$$❡8♣♦♥❞❛♥7 K ❧❛ ❞✐87❛♥❝❡ 8♣❤?$✐@✉❡✮ ❡7

❧❛ ❞❡✉①✐E♠❡ ✓♣❧❛7❡✔ ✭❝♦$$❡8♣♦♥❞❛♥7 K ❧❛ ❞✐87❛♥❝❡ ❞❡ ●$♦♠♦✈✮✳ ❙✉$ ❧❡ ♣$❡♠✐❡$

8❝❤?♠❛ ✜❣✉$❡ ❧✬❡♥8❡♠❜❧❡ ❧✐♠✐7❡ ❛88♦❝✐? K ✉♥ ❣$♦✉♣❡ ❞❡ ❙❝❤♦77❦② ❜✐❡♥ ♣♦8✐7✐♦♥♥? ❀ 8✉$ ❧❡ 8❡❝♦♥❞ 8❝❤?♠❛ ✜❣✉$❡ ❧✬❡♥8❡♠❜❧❡ ❧✐♠✐7❡ ❛88♦❝✐? K ✉♥ ❣$♦✉♣❡ ❞✐8❝$❡7 ❞❡ ❣$♦8

❡①♣♦8❛♥7✳

▼♦$❛❧❡♠❡♥7✱ ❛✈❡❝ ❧❡8 ❣$♦✉♣❡8 ❞❡ ❙❝❤♦77❦② ❜✐❡♥ ♣♦8✐7✐♦♥♥?8✱ ♦♥ ♥✬❡87 ♣❛8 7$E8

❧♦✐♥ ❞✉ ❝❛8 ❞❡8 ❛77$❛❝7❡✉$8 ❝♦♥❢♦$♠❡8✳

❆♣$E8 ❧❡8 ❣$♦✉♣❡8 ❞❡ ❙❝❤♦77❦② ❜✐❡♥ ♣♦8✐7✐♦♥♥?✱ ✐❧ ?7❛✐7 $❛✐8♦♥♥❛❜❧❡ ❞❡ ❝❤❡$✲

❝❤❡$ K 7$❛✐7❡$ ❧❡ ❝❛8 ❞❡8 ❣$♦✉♣❡8 ❞❡ ❙❝❤♦77❦② ❣?♥?$❛✉①✳ ❏❡ ♥✬② 8✉✐8 ♣❛8 ♣❛$✈❡♥✉ ❡7

♠❡8 7$❛✈❛✉① 8✉$ ❝❡ ♣$♦❜❧E♠❡ 8❡ 8♦♥7 ❛$$N7?8 ❧K✳ ❱♦✐❝✐ ❝❡♣❡♥❞❛♥7 ✉♥❡ ❝♦♥❥❡❝7✉$❡✳

❈♦♥❥❡❝.✉$❡ ✵✳✵✳✵✳✶✳ ❙♦✐# Γ ✉♥ &♦✉&✲❣)♦✉♣❡ ❞✐&❝)❡# ❞❡ PU (1, n) ✭n ≥ 2✮✱

❩❛)✐&❦✐✲❞❡♥&❡ ❡# ❝♦♥✈❡①❡✲❝♦❝♦♠♣❛❝#✱ ❞✬❡①♣♦&❛♥# ❞❡ ❝)♦✐&&❛♥❝❡ δ Γ ✱ ❡# ❞✬❡♥&❡♠❜❧❡

❧✐♠✐#❡ Λ Γ ✳ ▲❛ ❞✐♠❡♥&✐♦♥ ❞❡ ❍❛✉&❞♦)✛ ❞❡ Λ Γ )❡❧❛#✐✈❡♠❡♥# ? ❧❛ ❞✐&#❛♥❝❡ &♣❤2)✐@✉❡

❡&# ❞♦♥♥2❡ ♣❛) ❧❛ ❢♦)♠✉❧❡

dim(Λ Γ ) =

δ Γ &✐ δ Γ ≤ 2(n − 1)

2(n − 1) + 1 2 (δ Γ − 2(n − 1)) &✐ δ Γ > 2(n − 1) ✳

▲❛ ❢♦$♠✉❧❡ ♣$?❝?❞❡♥7❡ ♣$♦✈✐❡♥7 ❞❡ ❧❛ ❢♦$♠✉❧❡ ❞❡ ❋❛❧❝♦♥❡$✱ ✈✐❛ ✉♥ ❛$❣✉♠❡♥7

❤❡✉$✐87✐@✉❡ @✉❡ ❥❡ ♣$?❢E$❡ ♣❛88❡$ 8♦✉8 8✐❧❡♥❝❡✳ ❱♦✐$ ❛✉88✐ ❧❛ ❝♦♥❥❡❝7✉$❡ ✸✳✹✳✷✳✸

✭♣❛$❛❣$❛♣❤❡ ✸✳✹✳✷✳✶✮ ♣♦✉$ ✉♥❡ ❝♦♥❥❡❝7✉$❡ $❡❧✐?❡ K ❝❡❧❧❡✲❝✐ ♠❛✐8 ♣♦$7❛♥7 8✉$ ❧✬❡♥✲

7$♦♣✐❡ ❞❡ ❧❛ ♠❡8✉$❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛$❣✉❧✐8✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞✉ ❝❡♥7$❡ ❞✉ ❣$♦✉♣❡

❞❡ ❍❡✐8❡♥❜❡$❣✳ 4♦✉$ ❧✬✐♥87❛♥7✱ ♥♦7♦♥8 @✉❡ ❝❡77❡ ❝♦♥❥❡❝7✉$❡ ❢❛✐7 ❛♣♣❛$❛\7$❡ ✉♥❡

❞✐❝❤♦7♦♠✐❡ ✿ ❧❛ ❢♦$♠✉❧❡ ❞?♣❡♥❞ ❞❡ ❧❛ ♣♦8✐7✐♦♥ ❞❡ δ Γ ♣❛$ $❛♣♣♦$7 ❛✉ ♥♦♠❜$❡

2(n − 1)✳

✸✳ ❉②♥❛♠✐7✉❡ ❞❡ ❧❛ ♠❡:✉$❡ ❞❡ ❇✉$❣❡$✲❘♦❜❧✐♥ ✿ ❞✐❝❤♦.♦♠✐❡ ❞❡ ❖❤ ❡.

▼♦❤❛♠♠❛❞✐✳ ▲❛ 8✉✐7❡ ❞❡ ♠♦♥ 7$❛✈❛✐❧ ❛ ?7? ✐♥8♣✐$?❡ ♣❛$ ✉♥❡ ♣$?♣✉❜❧✐❝❛7✐♦♥

❞❡ ❍❡❡ ❖❤ ❡7 ❆♠✐$ ▼♦❤❛♠♠❛❞✐✱ ♠❛✐♥7❡♥❛♥7 ♣✉❜❧✐?❡ ♣❛$ ❧❡ ❥♦✉$♥❛❧ ❞❡ ❧✬❆▼❙✱

✭▼♦❤❛♠♠❛❞✐ ❡7 ❖❤✱ ✷✵✶✺✮✳ ❙✐ G ❡87 ❧❡ ❣$♦✉♣❡ PSL 2 ( C ) ❞❡8 ✐8♦♠?7$✐❡8 ❞✐$❡❝7❡8

❞❡ ❧✬❡8♣❛❝❡ ❤②♣❡$❜♦❧✐@✉❡ $?❡❧ H 3 R ✱ ❡7 8✐ G = KAN ❡87 ✉♥❡ ❞?❝♦♠♣♦8✐7✐♦♥ ❞✬■✇❛✲

8❛✇❛✱ ❝❡8 ❛✉7❡✉$8 ?7✉❞✐❡♥7 ❧❛ ❞②♥❛♠✐@✉❡ ❞❡ ❧❛ ♠❡8✉$❡ ❞✐7❡ ❞❡ ❇✉$❣❡$✲❘♦❜❧✐♥ 8✉$

Γ\G ✭♦a Γ ❡87 ✉♥ 8♦✉8✲❣$♦✉♣❡ ❞✐8❝$❡7 ❝♦♥✈❡①❡ ❝♦❝♦♠♣❛❝7 ❡7 ❩❛$✐8❦✐✲❞❡♥8❡ ❞❡ G✮

8♦✉8 ❧✬♦♣?$❛7✐♦♥ ❞✬✉♥ 8♦✉8✲❣$♦✉♣❡ K ✉♥ ♣❛$❛♠E7$❡ U ❞❡ N ✳ ▲❡✉$8 $?8✉❧7❛78 ❢♦♥7

❛♣♣❛$❛\7$❡ ✉♥❡ ❞✐❝❤♦7♦♠✐❡ ✿ 8✐ δ Γ > 1✱ ❧✬♦♣?$❛7✐♦♥ ❡87 ❡$❣♦❞✐@✉❡ ✭❝✬❡87✲K✲❞✐$❡ @✉❡

7♦✉7 ❜♦$?❧✐❡♥ ❞❡ Γ\G @✉✐ ❡87 U ✲✐♥✈❛$✐❛♥7 ❡87 ♥?❣❧✐❣❛❜❧❡ ♦✉ ❞❡ ♠❡8✉$❡ 7♦7❛❧❡✮✱ ❡7 8✐♥♦♥ ❡❧❧❡ ♥❡ ❧✬❡87 ♣❛8✳

▲♦$8@✉❡ δ Γ > 1✱ ❖❤ ❡7 ▼♦❤❛♠♠❛❞✐ ❝♦♠♠❡♥❝❡♥7 ♣❛$ ❞?♠♦♥7$❡$ @✉❡ ❧❛ ♠❡✲

8✉$❡ ❞❡ ❇✉$❣❡$✲❘♦❜❧✐♥✱ ❡7 ❧❛ ♠❡8✉$❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛$❣✉❧✐8✲❙✉❧❧✐✈❛♥✱ 8♦♥7 $?❝✉$✲

$❡♥7❡8 ♣♦✉$ ❧✬♦♣?$❛7✐♦♥ ❞✬✉♥ 8♦✉8✲❣$♦✉♣❡ K ✉♥ ♣❛$❛♠E7$❡ ❞❡ N ✭✈♦✐$ ❞?✜♥✐7✐♦♥

(13)

✶✵ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆

boule "aplatie"

boule "ronde"

ensemble limite

❋✐❣✉$❡ ✶ ✕ ❊♥%❡♠❜❧❡ ❧✐♠✐+❡ +,❛♥%✈❡,%❛❧❡♠❡♥+ +,✐✈✐❛❧

boule "aplatie"

boule "ronde"

ensemble limite

❋✐❣✉$❡ ✷ ✕ ❊♥%❡♠❜❧❡ ❧✐♠✐+❡ +,❛♥%✈❡,%❛❧❡♠❡♥+ ♥♦♥ +,✐✈✐❛❧

✷✳✶✳✷✳✷✮✳ ❊♥ ,❡✈❛♥❝❤❡✱ ♣♦✉, δ Γ ≤ 1✱ ✐❧% ♥❡ ❞9♠♦♥+,❡♥+ ♣❛% :✉❡ ❝❡++❡ ♠❡%✉,❡ %♦✐+

+♦+❛❧❡♠❡♥+ ❞✐%%✐♣❛+✐✈❡✱ ❝♦♠♠❡ ♦♥ ♣♦✉,,❛✐+ %✬② ❛++❡♥❞,❡✳

❖♥ ♣❡✉+ ,❡❢♦,♠✉❧❡, ❧✬9♥♦♥❝9 ♣♦,+❛♥+ %✉, ❧❛ ♠❡%✉,❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛,❣✉❧✐%✲

❙✉❧❧✐✈❛♥ ❝♦♠♠❡ ❝❡❝✐ ✿ %✐ U ❡%+ ✉♥ %♦✉%✲❣,♦✉♣❡ F ✉♥ ♣❛,❛♠G+,❡ ❞❡ N✱ ♣♦✉, :✉❡ ❧❡% ❝♦♥❞✐+✐♦♥♥❡❧❧❡% ❞❡ ❧❛ ♠❡%✉,❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛,❣✉❧✐%✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ U

%♦✐❡♥+ +,✐✈✐❛❧❡%✱ ✐❧ ❢❛✉+ :✉❡ δ Γ %♦✐+ ≤ 1✳ ❖❤ ❡+ ▼♦❤❛♠♠❛❞✐ ♥❡ %✬✐♥+9,❡%%❡♥+ ♣❛%

F ❧❛ ,9❝✐♣,♦:✉❡ ❞❡ ❝❡+ 9♥♦♥❝9✳

▲❛ ❣9♦♠9+,✐❡ ❞❡% ❝♦♥❞✐+✐♦♥♥❡❧❧❡% ❞❡ ❧❛ ♠❡%✉,❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛,❣✉❧✐%✲❙✉❧❧✐✈❛♥

(14)

✶✶

❧❡ ❧♦♥❣ ❞✉ ❝❡♥)*❡ ❞✉ ❣*♦✉♣❡ ❞❡ ❍❡✐.❡♥❜❡*❣ ✭❡)✱ ♣❧✉. ♣*2❝✐.2♠❡♥)✱ ❧❛ ❞✐♠❡♥.✐♦♥

❞❡ ❝❡. ❝♦♥❞✐)✐♦♥♥❡❧❧❡.✮ ❡.) ✐♥)✐♠❡♠❡♥) ❧✐2❡✱ ✈✐❛ ❧❛ ❢♦*♠✉❧❡ ❞❡ ▲❡❞*❛♣♣✐❡*✲❨♦✉♥❣✱

; ❧❛ ❞✐♠❡♥.✐♦♥ ❞❡ ❍❛✉.❞♦*✛ ❞♦♥) ❥✬❛✐ ♣❛*❧2 ♣❧✉. ❤❛✉)✳ A❛* ❝♦♥.2B✉❡♥)✱ ❧❛ ❝♦♠✲

♣*2❤❡♥.✐♦♥ ❞❡ ❝❡ ❞❡*♥✐❡* ♣*♦❜❧C♠❡ ♣❛..❡ ♣❛* ❧✬2)✉❞❡ ❞❡ ❧❛ ✓❞✐❝❤♦)♦♠✐❡ ❞❡ ❖❤ ❡)

▼♦❤❛♠♠❛❞✐✔ )*❛♥.♣♦.2❡ ❛✉ ❝❛. ❤②♣❡*❜♦❧✐B✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡✳ ▼❛✐. ❛✈❛♥) ❞✬2)✉❞✐❡*

❧✬❛♥❛❧♦❣✉❡ ✭2✈❡♥)✉❡❧✮ ❞❡ ❝❡))❡ ❞✐❝❤♦)♦♠✐❡ ❞❛♥. ❧❡ ❝❛. ❤②♣❡*❜♦❧✐B✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡✱

✐❧ ♠✬❛ ♣❛*✉ ♥2❝❡..❛✐*❡ ❞❡ )J❝❤❡* ❞✬❛♣♣*♦❢♦♥❞✐* ❝❡. *2.✉❧)❛). ❞❡ ❖❤ ❡) ▼♦❤❛♠✲

♠❛❞✐✳ ❊♥ ♣❛*)✐❝✉❧✐❡*✱ ✐❧ .✬❛❣✐..❛✐) ❞❡ .❛✈♦✐* .✐✱ ❧♦*.B✉❡ δ Γ ≤ 1✱ ❧❛ ♠❡.✉*❡ ❞❡

❇✉*❣❡*✲❘♦❜❧✐♥ ❡.) )♦)❛❧❡♠❡♥) ❞✐..✐♣❛)✐✈❡ ♣♦✉* ❧✬♦♣2*❛)✐♦♥ ❞✬✉♥ .♦✉.✲❣*♦✉♣❡ ;

✉♥ ♣❛*❛♠C)*❡ ❞❡ N✳ A❧✉. ♣*2❝✐.2♠❡♥)✱ ✈♦✐❝✐ ❧✬2♥♦♥❝2 B✉❡ ❥❡ .♦✉❤❛✐)❛✐. 2)❛❜❧✐*✳

❈♦♥❥❡❝&✉(❡ ✵✳✵✳✵✳✷✳ ❙♦✐# Γ ✉♥ &♦✉&✲❣)♦✉♣❡ ❩❛)✐&❦✐✲❞❡♥&❡ ❡# ❞❡ ♠❡&✉)❡ ❞❡

❇♦✇❡♥✲▼❛)❣✉❧✐&✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ✜♥✐❡ ❞❡ PO (1, n) ✭n ≥ 3✮✳ ❙♦✐# U ✉♥ m✲♣❧❛♥ ❞❡ N

✭1 ≤ m ≤ n − 1✮✳ ▲❡& ❛&&❡)#✐♦♥& &✉✐✈❛♥#❡& &♦♥# ;<✉✐✈❛❧❡♥#❡&✳

✶✳ ▲✬❡①♣♦&❛♥# ❞❡ ❝)♦✐&&❛♥#❡ δ Γ ❡&# ≤ n − m ❀

✷✳ ▲✬♦♣;)❛#✐♦♥ ❞❡ U &✉) ❧❛ ♠❡&✉)❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛)❣✉❧✐&✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ❡&# #♦#❛❧❡✲

♠❡♥# ❞✐&&✐♣❛#✐✈❡ ❀

✸✳ ▲✬♦♣;)❛#✐♦♥ ❞❡ U &✉) ❧❛ ♠❡&✉)❡ ❞❡ ❇✉)❣❡)✲❘♦❜❧✐♥ ❡&# #♦#❛❧❡♠❡♥# ❞✐&&✐♣❛✲

#✐✈❡✳

▲✬2B✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❞❡ ✶ ❡) ✷ ❡.) 2)❛❜❧✐❡ ❛✉ ❝❤❛♣✐)*❡ ✸✳ ◆♦✉. ❛❜♦*❞♦♥. ❝❡ ♣*♦❜❧C♠❡

✓♣❛* ❡♥ ❤❛✉)✔✱ ❛✉ ♠♦②❡♥ ❞❡ ❧❛ )❤2♦*✐❡ ❞❡ ❧✬❡♥)*♦♣✐❡✳ ◆♦✉. 2)✉❞✐♦♥. ✉♥❡ B✉❛♥)✐)2✱

❛♣♣❡❧2❡ ✓❡♥)*♦♣✐❡ ❞❡ ❧❛ ♠❡.✉*❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛*❣✉❧✐.✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ U ✔✱ B✉❡

♥♦✉. ♥♦)♦♥. h BMS (U )✱ ❡) ✉♥❡ ✓❞✐♠❡♥.✐♦♥ )*❛♥.✈❡*.❡ ✭; U ✮ ❞❡. ❝♦♥❞✐)✐♦♥♥❡❧❧❡. ❞❡

❧❛ ♠❡.✉*❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛*❣✉❧✐.✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ N✔✱ ♥♦)2❡ δ N/U ✱ ❡) ❞2♠♦♥)*♦♥.

❧❡. *2.✉❧)❛). .✉✐✈❛♥). ✭♦S G = SO o (1, n)✱ n ≥ 3✮

❚❤.♦(/♠❡ ❇ ✭.❡❝)✐♦♥ ✸✳✷✱ )❤2♦*C♠❡ ✸✳✷✳✵✳✺✮✳ ❙♦✐# Γ ✉♥ &♦✉&✲❣)♦✉♣❡ ❞✐&❝)❡# ❞❡

G✱ ❩❛*✐.❦✐✲❞❡♥.❡ ❡# ❞❡ ♠❡&✉)❡ ❞❡ ❇▼❙ ✜♥✐❡✳ ❙♦✐# m ✉♥ ❡♥#✐❡)✱ 1 ≤ m ≤ n − 1✳

G♦✉) #♦✉# m✲♣❧❛♥ U ❝♦♥#❡♥✉ ❞❛♥& N ✱ ♦♥ ❛ ❧✬❛❧#❡)♥❛#✐✈❡ &✉✐✈❛♥#❡ ✿

✶✳ ❖✉ ❜✐❡♥ δ Γ ≤ n − m✱ ❡# ❛❧♦)& ♦♥ ❛ δ N/U = δ Γ ❡# h BMS (U ) = 0 ❀

✷✳ ❖✉ ❜✐❡♥ δ Γ > n − m✱ ❡# ❛❧♦)& ♦♥ ❛ δ N/U = n − m ❡# h BMS (U) = δ Γ − (n − m)✳

▲❡ )❤2♦*C♠❡ ✸✳✷✳✵✳✺ ❝♦♥)✐❡♥) B✉❡❧B✉❡. *❛✣♥❡♠❡♥). .✉♣♣❧2♠❡♥)❛✐*❡. B✉❡ ♥♦✉.

♥❡ ❝✐)♦♥. ♣❛. ✐❝✐✳ ▲❛ ❝♦♥.2B✉❡♥❝❡ .✉✐✈❛♥)❡ ❞✉ )❤2♦*C♠❡ ❇ ❝♦♥)✐❡♥) ♣❧❡✐♥❡♠❡♥)

❧✬2B✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❞❡. ❛..❡*)✐♦♥. ✶ ❡) ✷ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥❥❡❝)✉*❡ ❝✐✲❞❡..✉.✱ ❡♥ )♦✉)❡ ❞✐♠❡♥.✐♦♥✳

❚❤.♦(/♠❡ ❈ ✭.❡❝)✐♦♥ ✸✳✷✱ ❝♦*♦❧❧❛✐*❡ ✸✳✷✳✵✳✼✮✳ ❖♥ ❝♦♥&❡)✈❡ ❧❡& ❤②♣♦#❤L&❡& ❞✉

#❤;♦)L♠❡✳ ❙♦✐# m ✉♥ ❡♥#✐❡)✱ 1 ≤ m ≤ n − 1 ❡# U ✉♥ m✲♣❧❛♥✳ G♦✉) <✉❡ ❧✬♦♣;✲

)❛#✐♦♥ ❞❡ U &✉) ❧❛ ♠❡&✉)❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛)❣✉❧✐&✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ❞❡ Γ\G &♦✐# #♦#❛❧❡♠❡♥#

❞✐&&✐♣❛#✐✈❡ ✭)❡&♣✳ #♦#❛❧❡♠❡♥# );❝✉))❡♥#❡✮✱ ✐❧ ❢❛✉# ❡# ✐❧ &✉✣# <✉❡ δ Γ ≤ n − m ✭)❡&♣✳

δ Γ > n − m✮✳

❊♥ *❡✈❛♥❝❤❡✱ ❥❡ ♥❡ .✉✐. ♣❛. ♣❛*✈❡♥✉ ; ❞2♠♦♥)*❡* B✉❡ ✷ ❡) ✸ .♦♥) 2B✉✐✈❛✲

❧❡♥)❡.✳ ❈❡❧❛ *❡.)❡ ; ❢❛✐*❡✳ ❙✐❣♥❛❧♦♥. B✉❡ ❇❛*❜❛*❛ ❙❝❤❛♣✐*❛ ❡) ❋*❛♥]♦✐. ▼❛✉❝♦✉✲

*❛♥) .❛✈❡♥) ❞2♠♦♥)*❡* ✭.♦✉. ❝❡*)❛✐♥❡. ❤②♣♦)❤C.❡. .✉* Γ✮ ❧✬❛..❡*)✐♦♥ ✸ ❧♦*.B✉❡

δ Γ < 1✳ ▲❡✉*. ♠2)❤♦❞❡. .♦♥) ❞✐✛2*❡♥)❡. ❞❡. ♠✐❡♥♥❡.✳

(15)

✶✷ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆

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❞❡ ❣%♦✉♣❡✳ ❈❡''❡ '❤&♦%✐❡ ❡-'✱ ❞❡♣✉✐- ✭▲❡❞%❛♣♣✐❡% ❡' ❨♦✉♥❣✱ ✶✾✽✺✮✱ ✓❝❧❛--✐E✉❡✔ ❀

❥✬❛✐ ❝❡♣❡♥❞❛♥' ❞H✱ ❢❛✉'❡ ❞✬✉♥ ❡①♣♦-& E✉✐ ♠❡ -❛'✐-❢❛--❡✱ ❧❛ ❞&✈❡❧♦♣♣❡% ❞❡♣✉✐- -❡- ♣%❡♠✐❡%- &❧&♠❡♥'- ✿ ❝✬❡-' ❧❡ ❝❤❛♣✐'%❡ ✷ ❞❡ ❝❡''❡ '❤L-❡✳ ❆✉'❛♥' ❧✬❛✈♦✉❡%✱ ❝❡

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▲❡ ❝❤❛♣✐'%❡ ✷ -✬❛❝❤L✈❡ -✉% ❧❡ '❤&♦%L♠❡ ✷✳✷✳✺✳✶ E✉✐ '%❛♥-♣♦-❡ O ❝❡ ❝❛❞%❡ ❞❡ ❧❛

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✺✳ ❉✐♠❡♥*✐♦♥ ❞❡* ♣+♦❥❡❝'✐♦♥* ❞❡ ❧❛ ♠❡*✉+❡ ❞❡ 7❛''❡+*♦♥✲❙✉❧❧✐✈❛♥✳ ▲❛

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❙♦✐' Γ ✉♥ -♦✉-✲❣%♦✉♣❡ ❞✐-❝%❡' ❞❡ SL 2 ( C )✱ ❩❛%✐-❦✐✲❞❡♥-❡ ❡' ❞❡ ♠❡-✉%❡ ❞❡

❇♦✇❡♥✲▼❛%❣✉❧✐-✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ✜♥✐❡✱ ❡' -♦✐' µ ❧❛ ♠❡-✉%❡ ❞❡ "❛''❡%-♦♥✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ❞✬❡①✲

♣♦-❛♥' δ Γ ❛--♦❝✐&❡ O Γ✳ ❚✐%♦♥- ✉♥ ♣♦✐♥' ξ ∈ S 2 ❛✉ ❤❛-❛%❞ -❡❧♦♥ ❧❛ ❧♦✐ ❞❡ µ ❡'

✐❞❡♥'✐✜♦♥- µ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ♠❡-✉%❡ ❞❡ ♣%♦❜❛❜✐❧✐'& µ ˆ -✉% R 2 ✈✐❛ ❧❛ ♣%♦❥❡❝'✐♦♥ -'&%&♦✲

❣%❛♣❤✐E✉❡ R 2 → S 2 \ {ξ}✳ ❙✐ ❧✬♦♥ '✐%❡ ❛✉ ❤❛-❛%❞ ✉♥❡ ❞%♦✐'❡ U ❞❡ R 2 ✭-✉✐✈❛♥' ❧❛

♠❡-✉%❡ ❞❡ ▲❡❜❡-❣✉❡ ❞❡ ❧❛ ❞%♦✐'❡ ♣%♦❥❡❝'✐✈❡ %&❡❧❧❡✮ ❡' E✉❡ ❧✬♦♥ ♣%♦❥❡''❡ ♦%'❤♦❣♦✲

♥❛❧❡♠❡♥' µ ˆ -✉% U ✱ ❧❛ ♠❡-✉%❡ ♦❜'❡♥✉❡ ❡-' ❞❡ ❞✐♠❡♥-✐♦♥ ✐♥❢&%✐❡✉%❡ inf {δ Γ , 1}✳

❖♥ ♣❡✉' ❞✐%❡ ♣❧✉-✳ ❆✉ ❝❤❛♣✐'%❡ ✸✱ ❥❡ ❞&♠♦♥'%❡✱ -♦✉- ✉♥❡ ❢♦%♠✉❧❛'✐♦♥ ✉♥ ♣❡✉

❞✐✛&%❡♥'❡✱ ❧❡ %&-✉❧'❛' E✉❡ ✈♦✐❝✐✳ ❈♦♠♠❡♥[♦♥- ♣❛% ✉♥❡ ❞&✜♥✐'✐♦♥ -✐♠♣❧✐✜&❡ ✭❡♥

✸✳✸✳✶ ♥♦✉- ❞♦♥♥♦♥- ✉♥❡ ❞&✜♥✐'✐♦♥ ♣♦✉% ❧❡- ♠❡-✉%❡- ❞❡ ❘❛❞♦♥✮✳

❉1✜♥✐'✐♦♥✳ ❯♥❡ ♠❡$✉&❡ ❞❡ ♣&♦❜❛❜✐❧✐./ $✉& R n ❡$. %&❣✉❧✐L%❡ $✐ ❡❧❧❡ ❡$. ❞❡ ❞✐♠❡♥✲

$✐♦♥ ❡①❛❝.❡ δ ❡. $✐ ♣♦✉& .♦✉. k ∈ {1, . . . , n − 1} ❡. .♦✉. k✲♣❧❛♥ U ✱ ❧❛ ♣&♦❥❡❝.✐♦♥

♦&.❤♦❣♦♥❛❧❡ ❞❡ ❝❡..❡ ♠❡$✉&❡ $✉& U ❡$. ❞❡ ❞✐♠❡♥$✐♦♥ ✐♥❢/&✐❡✉&❡ /❣❛❧❡ ♣&❡$8✉❡

♣❛&.♦✉. 9 inf{k, δ}✳

❚❤1♦+>♠❡ ❉ ✭♣❛%❛❣%❛♣❤❡ ✸✳✸✳✶✱ '❤&♦%L♠❡ ✸✳✸✳✶✳✷✮✳ ❙♦✐. Γ ✉♥ $♦✉$✲❣&♦✉♣❡

❞✐$❝&❡. ❞❡ G = SO o (1, n)✱ ❩❛&✐$❦✐✲❞❡♥$❡ ❡. ❞❡ ♠❡$✉&❡ ❞❡ ❇♦✇❡♥✲▼❛&❣✉❧✐$✲

❙✉❧❧✐✈❛♥ ✜♥✐❡✳ ❙♦✐. µ ❧❛ ♠❡$✉&❡ ❞❡ C❛..❡&$♦♥✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ❞✬❡①♣♦$❛♥. δ Γ ❛$$♦❝✐/❡

9 Γ✳ C♦✉& µ✲♣&❡$8✉❡ .♦✉. ξ✱ ❧✬✐♠❛❣❡ &/❝✐♣&♦8✉❡ ❞❡ µ ♣❛& ❧❛ ♣&♦❥❡❝.✐♦♥ $./&/♦❣&❛✲

♣❤✐8✉❡ R n−1 → ∂ H n R \ {ξ} ❡$. %&❣✉❧✐L%❡✳

❱♦✐❝✐ ✉♥❡ ❝♦♥-&E✉❡♥❝❡ ❛--❡③ ❢%❛♣♣❛♥'❡ ✿ ♣♦✉% µ✲♣%❡-E✉❡ '♦✉' ξ✱ ♣♦✉% .♦✉.❡

❞%♦✐'❡ ✈❡❝'♦%✐❡❧❧❡ U ❞✉ '❛♥❣❡♥' T ξ ∂ H n R ✱ ❡' ♣♦✉% µ✲♣%❡-E✉❡ '♦✉' η✱ -✐ S ❡-' ❧❡

♣❡'✐' ❝❡%❝❧❡ ♣❛--❛♥' ♣❛% ξ ❡' η ❡' '❛♥❣❡♥' ❡♥ ξ O U✱ ♦♥ ❛

ε→0 lim

log µ (V (S, ε) \ B(ξ, ρ))

log ε = inf{δ Γ , n − 1 − m}

♦_ V (S, ε) ❡-' ❧❡ ε✲✈♦✐-✐♥❛❣❡ ❞❡ S ✭♣♦✉% ❧❛ ❞✐-'❛♥❝❡ -♣❤&%✐E✉❡✮ ❡' B(ξ, ρ) ✉♥❡

❜♦✉❧❡ ❞❡ %❛②♦♥ ρ > 0 ✜①& ❝❡♥'%&❡ ❡♥ ξ✳

❏❡ ♥❡ -✉✐- ♣❛- ❡♥❝♦%❡ ♣❛%✈❡♥✉ O ❞&♠♦♥'%❡% ❧❡ ♠a♠❡ &♥♦♥❝& ❛✈❡❝ µ(V (S, ε))

❛✉ ❧✐❡✉ ❞❡ µ(V (S, ε) \ B(ξ, ρ))✳ ❱♦✐% ❧❡ ❝♦%♦❧❧❛✐%❡ ✸✳✸✳✶✳✺ ❡' ❧❛ ❞✐-❝✉--✐♦♥ E✉✐ ❧❡

-✉✐'✳

(16)

❚❛❜❧❡ ❞❡& ♠❛(✐*+❡&

✶ ❚❤#♦%✐❡ ❣#♥#%❛❧❡ ❞❡ ❧❛ ❞✐♠❡♥.✐♦♥ ✶✺

✶✳✶ ❉✐♠❡♥'✐♦♥ ❞❡' ♠❡'✉+❡' ❞❛♥' ❧❡' ❡'♣❛❝❡' ❞♦✉❜❧❛♥1' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✶✳✶✳✶ ❘❛♣♣❡❧' '✉+ ❧❛ ❞4'✐♥14❣+❛1✐♦♥ ❞❡' ♠❡'✉+❡' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✶✳✶✳✷ ❉4✜♥✐1✐♦♥' ❣4♥4+❛❧❡' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✶✳✶✳✸ ❊'♣❛❝❡' ❞♦✉❜❧❛♥1' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾

✶✳✷ ❉✐♠❡♥'✐♦♥ ❞❡' ♣+♦❥❡❝1✐♦♥' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻

✶✳✷✳✶ ➱♥❡+❣✐❡ ❞✬✉♥❡ ♠❡'✉+❡ ❞❡ ❘❛❞♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼

✶✳✷✳✷ ▲❡ 1❤4♦+B♠❡ ❞❡ ▼❛+'1+❛♥❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼

✶✳✷✳✸ D+♦❥❡❝1✐♦♥' ❞❡ ♠❡'✉+❡' ❢+❛❝1❛❧❡' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵

✷ ❈♦♥❞✐2✐♦♥♥❡❧❧❡. ❡2 ❡♥2%♦♣✐❡ ✸✸

✷✳✶ ❚❤4♦+✐❡ ❣4♥4+❛❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

✷✳✶✳✶ ❈♦♥'1+✉❝1✐♦♥ ❞❡' ❝♦♥❞✐1✐♦♥♥❡❧❧❡' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹

✷✳✶✳✷ ❘4❝✉++❡♥❝❡ ❀ ❞✐''✐♣❛1✐✈✐14 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹

✷✳✶✳✸ ❚+❛♥'✐1✐✈✐14 ❞❡ ❧❛ ❞4'✐♥14❣+❛1✐♦♥ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞✬✉♥ ❣+♦✉♣❡ ✳ ✳ ✳ ✺✵

✷✳✷ ❚❤4♦+✐❡ ❡+❣♦❞✐L✉❡ ❡1 ❡♥1+♦♣✐❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺

✷✳✷✳✶ ❉4✜♥✐1✐♦♥ ❞❡ ❧✬❡♥1+♦♣✐❡ ❀ ❞✐♠❡♥'✐♦♥ ❞❡' ❝♦♥❞✐1✐♦♥♥❡❧❧❡' ✳ ✳ ✺✻

✷✳✷✳✷ ❈+♦✐''❛♥❝❡ ❞❡ ❧✬❡♥1+♦♣✐❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✾

✷✳✷✳✸ ■♥4❣❛❧✐14 ♠❛①✐♠❛❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✷

✷✳✷✳✹ ❉❡✉① ❧❡♠♠❡' 1❡❝❤♥✐L✉❡' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹

✷✳✷✳✺ ▲❛ ❢♦+♠✉❧❡ ❞❡ ▲❡❞+❛♣♣✐❡+✲❨♦✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✽

✸ ❈❛❧❝✉❧. ❞✬❡♥2%♦♣✐❡. ❡2 ❞❡ ❞✐♠❡♥.✐♦♥. ✼✶

✸✳✶ D+4❧✐♠✐♥❛✐+❡' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶

✸✳✶✳✶ ❊'♣❛❝❡' ❤②♣❡+❜♦❧✐L✉❡' +4❡❧' ❡1 ❝♦♠♣❧❡①❡' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶

✸✳✶✳✷ ❇♦+❞ T ❧✬✐♥✜♥✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶

✸✳✶✳✸ ❋✐❜+4 ✉♥✐1❛✐+❡ 1❛♥❣❡♥1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✷

✸✳✶✳✹ ❍♦+♦'♣❤B+❡' ❡1 ❝♦♦+❞♦♥♥4❡' ❞❡ ❍♦♣❢ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✸

✸✳✶✳✺ ❚❤4♦+✐❡ ❞❡ D❛11❡+'♦♥✲❙✉❧❧✐✈❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✹

✸✳✶✳✻ ❈♦♥❞✐1✐♦♥♥❡❧❧❡' ❧❡ ❧♦♥❣ ❞✉ ❣+♦✉♣❡ ❤♦+♦'♣❤4+✐L✉❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✾

✸✳✷ ❈❛❧❝✉❧' ❞✬❡♥1+♦♣✐❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✵

✸✳✸ ❉✐♠❡♥'✐♦♥ ❞❡' ♣+♦❥❡❝1✐♦♥' ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸

✸✳✸✳✶ D♦'✐1✐♦♥ ❞✉ ♣+♦❜❧B♠❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸

✸✳✸✳✷ ❉4♠♦♥'1+❛1✐♦♥ ❞✉ 1❤4♦+B♠❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✻

✸✳✹ D+4'❡♥1❛1✐♦♥ ❞✉ ❝❛' ❤②♣❡+❜♦❧✐L✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✽

✸✳✹✳✶ ▲✬❡'♣❛❝❡ ❤②♣❡+❜♦❧✐L✉❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ❡1 '♦♥ ❜♦+❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✽

✸✳✹✳✷ ❊♥1+♦♣✐❡ ❡1 ❞✐♠❡♥'✐♦♥ ❞❡ ❍❛✉'❞♦+✛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✷

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(17)

✶✹ ❚❆❇▲❊ ❉❊❙ ▼❆❚■➮❘❊❙

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❈❤❛♣✐%&❡ ✶

❚❤"♦$✐❡ ❣"♥"$❛❧❡ ❞❡ ❧❛

❞✐♠❡♥-✐♦♥

▲✬♦❜❥❡& ❞❡ ❝❡ ❝❤❛♣✐&-❡ ❡.& ❞❡ -❛♣♣❡❧❡- 0✉❡❧0✉❡. ❢❛✐&. 3❧3♠❡♥&❛✐-❡. .✉- ❧❛ ❞✐✲

♠❡♥.✐♦♥ ❞❡. ♠❡.✉-❡.✳ ❉❛♥. ❧❡ ♣❛-❛❣-❛♣❤❡ ✶✳✶✳✷ ♥♦✉. -❛♣♣❡❧♦♥. ❧❡. ❞3✜♥✐&✐♦♥. ❀

❞❛♥. ❧❡ ♣❛-❛❣-❛♣❤❡ ✶✳✶✳✸ ♥♦✉. ❢❛✐.♦♥. ❧❛ &❤3♦-✐❡ 3❧3♠❡♥&❛✐-❡ ❞❡. ❡.♣❛❝❡. ♠3✲

&-✐0✉❡. ❞♦✉❜❧❛♥&. ♣♦✉- 3&❛❜❧✐- ❞❡. ❧❡♠♠❡. 0✉✐ ♥♦✉. .❡-✈✐-♦♥& ❛✉ ❝❤❛♣✐&-❡ ✷ @ 3&✉❞✐❡- ❧❛ ♥♦&✐♦♥ ❞❡ ✓❞✐♠❡♥.✐♦♥ &-❛♥.✈❡-.❡✔ ✭❞❛♥. ❧❡ ❝❛❞-❡ ❞❡. ❝♦♥❞✐&✐♦♥♥❡❧❧❡. ❧❡

❧♦♥❣ ❞✬✉♥❡ ♦♣3-❛&✐♦♥ ❞❡ ❣-♦✉♣❡✮✳ ▲❛ ♣❛-❛❣-❛♣❤❡ ✶✳✷✳✷ ❝♦♥&✐❡♥& ✉♥ &❤3♦-E♠❡ ❝❧❛.✲

.✐0✉❡ ❞❡ ❏✳ ▼✳ ▼❛-.&-❛♥❞✳ ▲❡ ♣❛-❛❣-❛♣❤❡ ✶✳✷✳✸ ❝♦♥&✐❡♥& ❧✬3♥♦♥❝3 ❞✬✉♥ &❤3♦-E♠❡

❞❡ ▼✳ ❍♦❝❤♠❛♥ .✉- ❧❡. ♣-♦❥❡❝&✐♦♥. ❞❡ ♠❡.✉-❡. ✓❢-❛❝&❛❧❡.✔ ❡& ❧❡✉- ❞✐♠❡♥.✐♦♥✳

◆♦✉. ❝♦♠♠❡♥J♦♥. ❛✉ ♣❛-❛❣-❛♣❤❡ ✶✳✶✳✶ ♣❛- ❞❡. -❛♣♣❡❧. .✉- ❧❛ ❞3.✐♥&3❣-❛&✐♦♥ ❞❡.

♠❡.✉-❡.✳

✶✳✶ ❉✐♠❡♥'✐♦♥ ❞❡' ♠❡'✉+❡' ❞❛♥' ❧❡' ❡'♣❛❝❡' ❞♦✉✲

❜❧❛♥2'

✶✳✶✳✶ ❘❛♣♣❡❧' '✉) ❧❛ ❞+'✐♥.+❣)❛.✐♦♥ ❞❡' ♠❡'✉)❡'

❉!✜♥✐%✐♦♥ ✶✳✶✳✶✳✶✳ ❙♦✐❡♥% (X, Σ, µ) ❡% (Y, T, ν) ❞❡✉① ❡)♣❛❝❡) ♠❡)✉./) ❡% φ

✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛%✐♦♥ ♠❡)✉.❛❜❧❡ X → Y ✳ ❖♥ ❞✐% 4✉❡ ν ❡)% ♣)❡✉❞♦✲✐♠❛❣❡ ❞❡ µ ♣❛. φ )✐ ❝✬❡)% ✉♥❡ ♠❡)✉.❡ ✜♥✐❡ ❞♦♥% ❧❡) ♣❛.%✐❡) ♥/❣❧✐❣❡❛❜❧❡) )♦♥% ❝❡❧❧❡) ❞♦♥% ❧❡) ✐♠❛❣❡) ./❝✐♣.♦4✉❡) ♣❛. φ )♦♥% ♥/❣❧✐❣❡❛❜❧❡) ♣♦✉. µ✳

❙✐ µ ❡.& σ✲✜♥✐❡✱ ✐❧ ❡①✐.&❡ ✉♥❡ ♠❡.✉-❡ ♣.❡✉❞♦✲✐♠❛❣❡ ❞❡ µ ♣❛- φ ✿ ♦♥ ♣❡✉& .❡

❞♦♥♥❡- ✉♥❡ ♠❡.✉-❡ ✜♥✐❡ µ .✉- (X, Σ) 30✉✐✈❛❧❡♥&❡ @ µ ❡& ♣-❡♥❞-❡ ♣♦✉- ν ❧✬✐♠❛❣❡

❞❡ µ ♣❛- φ✳

❉!✜♥✐%✐♦♥ ✶✳✶✳✶✳✷✳ ❙♦✐❡♥% (X, Σ, µ) ❡% (Y, T, ν) ❞❡✉① ❡)♣❛❝❡) ♠❡)✉./) ❡% φ

✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛%✐♦♥ ♠❡)✉.❛❜❧❡ X → Y ✳ ❙✉♣♣♦)♦♥) 4✉❡ ν )♦✐% ♣)❡✉❞♦✲✐♠❛❣❡ ❞❡ µ ♣❛.

φ✳ ❯♥❡ ❞3.✐♥&3❣-❛&✐♦♥ ❞❡ µ ❛✉✲❞❡))✉) ❞❡ ν ✭❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ φ✮ ❡)% ❧❛ ❞♦♥♥/❡ ❞✬✉♥❡

❛♣♣❧✐❝❛%✐♦♥ y 7→ µ y ✱ ❛))♦❝✐❛♥% = %♦✉% ♣♦✐♥% y ∈ Y ✉♥❡ ♠❡)✉.❡ µ y )✉. Σ✱ ❡%

♣♦))/❞❛♥% ❧❡) ♣.♦♣.✐/%/) )✉✐✈❛♥%❡) ✿

✶✳ A♦✉. ν✲♣.❡)4✉❡ %♦✉% y✱ µ y ❡)% ❝♦♥❝❡♥%./❡ )✉. φ −1 (y)✱ ❝✬❡)%✲=✲❞✐.❡ 4✉❡

φ −1 (y) ❡)% ❞❡ ❝♦♠♣❧/♠❡♥%❛✐.❡ ♥/❣❧✐❣❡❛❜❧❡ ♣♦✉. µ y ❀

✶✺

(19)

✶✻ ❈❍❆#■❚❘❊ ✶✳ ❚❍➱❖❘■❊ ●➱◆➱❘❆▲❊ ❉❊ ▲❆ ❉■▼❊◆❙■❖◆

✷✳ "♦✉% &♦✉&❡ ♣❛%&✐❡ A ∈ Σ✱ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥ y 7→ µ y (A) ❡0& ν✲♠❡0✉%❛❜❧❡ ✭❝✬❡0&✲

5✲❞✐%❡ ♠❡0✉%❛❜❧❡ ♣♦✉% ❧❛ &%✐❜✉ ❝♦♠♣❧7&7❡ ❞❡ T %❡❧❛&✐✈❡♠❡♥& 5 ν ✮ ❀

✸✳ "♦✉% &♦✉&❡ ❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥ f ∈ L 1 (X, Σ, µ)✱ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥ y 7→ R

Y f (x)dµ y (x)

❞7✜♥✐& ✉♥ 7❧7♠❡♥& ❞❡ L 1 (Y, T, ν)✱ ❡& ♦♥ ❛ ❧❛ %❡❧❛&✐♦♥

Z

Y

dν(y) Z

X

f (x)dµ y (x) = Z

X

f (x)dµ(x)✳

▲❡0 ♠❡0✉%❡0 µ y ✭y ∈ Y ✮ 0❡%♦♥& ❛♣♣❡❧7❡0 ✓❝♦♥❞✐&✐♦♥♥❡❧❧❡0 ❞❡ µ ❛✉✲❞❡00✉0 ❞❡ ν

✭❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ φ✮✔✳

◆♦✉% ♥♦✉% %❡(✈✐(♦♥% %♦✉✈❡♥+ ❞❡ ❧❛ ♣(♦♣♦%✐+✐♦♥ %✉✐✈❛♥+❡✳

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✶✳✶✳✶✳✸ ✭✭❑❡❝❤(✐%✱ ✶✾✾✺✮✮✳ ❙♦✐& φ : X → Y ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥ ❜♦✲

%7❧✐❡♥♥❡ ❡♥&%❡ ❞❡✉① ❡0♣❛❝❡0 ❜♦%7❧✐❡♥0 0&❛♥❞❛%❞0 (X, Σ) ❡& (Y, T)✳ ❙♦✐❡♥& µ ✉♥❡

♠❡0✉%❡ σ✲✜♥✐❡ 0✉% Σ ❡& ν ✉♥❡ ♣0❡✉❞♦✲✐♠❛❣❡ ❞❡ µ ♣❛% φ✳ ❖♥ ♣❡✉& ❞70✐♥&7❣%❡%

µ ❛✉✲❞❡00✉0 ❞❡ ν ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ φ ❡& ❧❛ ❞70✐♥&7❣%❛&✐♦♥ ♦❜&❡♥✉❡ ❡0& ❡00❡♥&✐❡❧❧❡♠❡♥&

✉♥✐D✉❡✱ ❛✉ 0❡♥0 0✉✐✈❛♥& ✿ 0✐ (µ y ) ❡& (µ y ) 0♦♥& ❞❡✉① &❡❧❧❡0 ❞70✐♥&7❣%❛&✐♦♥0✱ ♦♥ ❛ µ y = µ y ♣♦✉% ν✲♣%❡0D✉❡ &♦✉& y✳

❘❡♠❛!/✉❡ ✶✳✶✳✶✳✹✳ ◆♦✉0 ❡♠♣❧♦②❡%♦♥0 ❧❛ ❧♦❝✉&✐♦♥ ✓❞70✐♥&7❣%♦♥0 µ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡

φ✔ ♣♦✉% ❞✐%❡ D✉❡ ♥♦✉0 ♥♦✉0 ❞♦♥♥♦♥0 ✉♥❡ ♣0❡✉❞♦✲✐♠❛❣❡ ν ❞❡ µ ♣❛% φ ❡& D✉❡ ♥♦✉0

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✶✳✶✳✷ ❉$✜♥✐(✐♦♥* ❣$♥$,❛❧❡*

❉3✜♥✐&✐♦♥ ✶✳✶✳✷✳✶✳ ❙♦✐& X ✉♥ ❡0♣❛❝❡ ♠7&%✐D✉❡✱ ❡& µ ✉♥❡ ♠❡0✉%❡ 0✉% X ♣♦✉%

❧❛D✉❡❧❧❡ &♦✉&❡ ❜♦✉❧❡ ❡0& ❞❡ ♠❡0✉%❡ ✜♥✐❡✳ ▲❛ ❞✐♠❡♥0✐♦♥ ✭❧♦❝❛❧❡✮ ✐♥❢7%✐❡✉%❡ ❞❡ µ

❡♥ ✉♥ ♣♦✐♥& x ❡0& ❧❡ ♥♦♠❜%❡ ✜♥✐ ♦✉ ✐♥✜♥✐

dim(µ, x) = lim inf

ρ→0

log µ(B(x, ρ)) log ρ ;

❧❛ ❞✐♠❡♥0✐♦♥ ✭❧♦❝❛❧❡✮ 0✉♣7%✐❡✉%❡ ❞❡ µ ❡♥ x ❡0& ❧❡ ♥♦♠❜%❡ ✜♥✐ ♦✉ ✐♥✜♥✐

dim(µ, x) = lim sup

ρ→0

log µ(B(x, ρ)) log ρ ✳

▲❛ ❞✐♠❡♥0✐♦♥ ✐♥❢7%✐❡✉%❡ ❞❡ µ ❡0& ❧✬✐♥✜♠✉♠ µ✲❡00❡♥&✐❡❧ ❞❡ dim(µ, x)✱ ✐✳❡✳

dim(µ) = sup{s ≥ 0 ; dim(µ, x) ≥ s ♣♦✉% µ✲♣%❡0D✉❡ &♦✉& x}✳

❙✐ ❧❡0 ❞✐♠❡♥0✐♦♥0 ✐♥❢7%✐❡✉%❡ ❡& 0✉♣7%✐❡✉%❡ ❞❡ µ 0♦♥& 7❣❛❧❡0 µ✲♣%❡0D✉❡ ♣❛%&♦✉&

5 ✉♥ ♠I♠❡ ♥♦♠❜%❡ δ✱ ♥♦✉0 ❞✐%♦♥0 D✉❡ µ ❡%+ ❞❡ ❞✐♠❡♥%✐♦♥ ❡①❛❝+❡ >❣❛❧❡ B δ✳

(20)

✶✳✶✳ ❉■▼❊◆❙■❖◆ ❉❊❙ ▼❊❙❯❘❊❙ ❉❆◆❙ ▲❊❙ ❊❙-❆❈❊❙ ❉❖❯❇▲❆◆❚❙ ✶✼

❆✉$%❡♠❡♥$ ❞✐$✱ µ ❡,$ ❞❡ ❞✐♠❡♥,✐♦♥ ❡①❛❝$❡ δ ,✐

ρ→0 lim

log µ(B(x, ρ)) log ρ = δ

♣♦✉% µ✲♣%❡,3✉❡ $♦✉$ x✳ ◆♦$♦♥, 3✉❡ ❞❛♥, ❝❡, ❞6✜♥✐$✐♦♥, ✐❧ ♥✬② ❛ ♣❛, ❧✐❡✉ ❞❡

♣%6❝✐,❡% ,✐ ❧❡, ❜♦✉❧❡, ,♦♥$ ♦✉✈❡%$❡, ♦✉ ❢❡%♠6❡,✳

❖♥ ♣❡✉$ ❝❛❧❝✉❧❡% ❧❡, ❞✐♠❡♥,✐♦♥, ❧♦❝❛❧❡, ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡, ,✉✐$❡, 3✉✐ ♥❡ $❡♥❞❡♥$ ♣❛,

$%♦♣ %❛♣✐❞❡♠❡♥$ ✈❡%, 0✳ @❧✉, ♣%6❝✐,6♠❡♥$ ✿

▲❡♠♠❡ ✶✳✶✳✷✳✷✳ ❙♦✐# µ ✉♥❡ ♠❡(✉)❡ (✉) ❧✬❡(♣❛❝❡ ♠/#)✐0✉❡ X ✱ ♣♦✉) ❧❛0✉❡❧❧❡

#♦✉#❡ ❜♦✉❧❡ ❡(# ❞❡ ♠❡(✉)❡ ✜♥✐❡✱ ❡# (♦✐# x ✉♥ ♣♦✐♥# ❞❡ X ✳ ❙♦✐# (ρ n ) n ✉♥❡ (✉✐#❡

❞❡ ♥♦♠❜)❡ )/❡❧( > 0 #❡♥❞❛♥# ✈❡)( 0 ❡♥ ❞/❝)♦✐((❛♥#✳ ❖♥ (✉♣♣♦(❡ 0✉✬✐❧ ❡①✐(#❡ ✉♥❡

❝♦♥(#❛♥#❡ C > 1 #❡❧❧❡ 0✉❡ ρ n ≤ Cρ n+1 ♣♦✉) #♦✉# n✳ ❆❧♦)(

dim(µ, x) = lim inf

n→∞

log µ(B(x, ρ n )) log ρ n

❡# ❞❡ ♠:♠❡ ♣♦✉) ❧❛ dim✳

❉/♠♦♥(#)❛#✐♦♥✳ ➱✈✐❞❡♥$❡✳

■❧ ❡,$ ❢❛❝✐❧❡ ❞✬❡♥ ❞6❞✉✐%❡ 3✉❡ ❧❡, ❛♣♣❧✐❝❛$✐♦♥, x 7→ dim(µ, x) ❡$ x 7→ dim(µ, x) ,♦♥$ ❜♦%6❧✐❡♥♥❡,✱ ❝❡ ❞♦♥$ ♥♦✉, ♥♦✉, ,❡%✈✐%♦♥, ❧✐❜%❡♠❡♥$✳

❘❛♣♣❡❧♦♥, ❛✉,,✐ ❧❛ ❞6✜♥✐$✐♦♥ ❞❡, ♠❡,✉%❡, ❞❡ ❍❛✉,❞♦%✛ ❡$ ❞❡ ❧❛ ❞✐♠❡♥,✐♦♥

❞❡ ❍❛✉,❞♦%✛✳ ❙♦✐$ $♦✉❥♦✉%, X ✉♥ ❡,♣❛❝❡ ♠6$%✐3✉❡✳ @♦✉% $♦✉$❡ ♣❛%$✐❡ A ❡$ $♦✉,

%6❡❧, δ > 0✱ s ≥ 0 ♥♦$♦♥, H s δ (A) ❧❡ ♥♦♠❜%❡

inf ( X

i

diam(U i ) 2

s

; ❧❡, U i ,♦♥$ ❞❡, ♦✉✈❡%$, ❞❡ ❞✐❛♠I$%❡ ≤ 2δ ❡$ A ⊂ [

i

U i

)

◆♦$♦♥, 3✉✬♦♥ ♣♦✉%%❛✐$ ,❡ ❜♦%♥❡% ❞❛♥, ❝❡$$❡ ❜♦%♥❡ ✐♥❢6%✐❡✉%❡ ❛✉① %❡❝♦✉✈%❡✲

♠❡♥$, ❞❡ A ♣❛% ❞❡, ❜♦✉❧❡, ♦✉✈❡%$❡, ❞❡ %❛②♦♥ ≤ δ✳

▲❛ ❢♦♥❝$✐♦♥ δ 7→ H s δ (A) ❡,$ ❞6❝%♦✐,,❛♥$❡ ❡$ ♦♥ ♥♦$❡ H s (A) ❧❛ ❧✐♠✐$❡ ✭✐✳❡✳ ❧❡

,✉♣%❡♠✉♠✮ ❞❡ H δ s (A) ❧♦%,3✉❡ δ $❡♥❞ ✈❡%, 0✳ ▲❛ ❞✐♠❡♥(✐♦♥ ❞❡ ❍❛✉(❞♦)✛ ❞❡ A

❡,$ ❧❡ ♥♦♠❜%❡

dim H (A) = inf{s > 0 ; H s (A) = 0} = sup{s > 0 ; H s (A) = ∞}✳

▲❡♠♠❡ ✶✳✶✳✷✳✸✳ ❙♦✐# µ ✉♥❡ ♠❡(✉)❡ (✉) ❧✬❡(♣❛❝❡ ♠/#)✐0✉❡ X ♣♦✉) ❧❛0✉❡❧❧❡ ❧❡(

❜♦✉❧❡( (♦♥# ❞❡ ♠❡(✉)❡ ✜♥✐❡✳ ▲❛ ❞✐♠❡♥(✐♦♥ ✐♥❢/)✐❡✉)❡ ❞❡ µ✱ dim(µ)✱ ❡(# ❧❛ ❜♦)♥❡

✐♥❢/)✐❡✉)❡ ❞❡( ❞✐♠❡♥(✐♦♥( ❞❡ ❍❛✉(❞♦)✛ ❞❡( ♣❛)#✐❡( ❜♦)/❧✐❡♥♥❡( ❞❡ ♠❡(✉)❡ > 0

♣♦✉) µ✳ ❆✉#)❡♠❡♥# ❞✐#✱

dim(µ) = inf{dim H (A) ; µ(A) > 0}

❉/♠♦♥(#)❛#✐♦♥✳ ❱♦✐% ✭▲❡❞%❛♣♣✐❡%✱ ✷✵✶✸✮✱ ♣%♦♣♦,✐$✐♦♥ ✷✳✺✳ ▲❡❞%❛♣♣✐❡% ❞6♠♦♥$%❡

❝❡ ❧❡♠♠❡ ♣♦✉% ✉♥❡ ♠❡,✉%❡ ✜♥✐❡ ♠❛✐, ,♦♥ ❛%❣✉♠❡♥$ ❞❡♠❡✉%❡ ♣♦✉% ♥♦$%❡ ❧❡♠♠❡

❛✈❡❝ ❞❡, ♠♦❞✐✜❝❛$✐♦♥, ❞❡ ❞6$❛✐❧✳

@♦✉% 6♥♦♥❝❡% ❧❡ ❧❡♠♠❡ ,✉✐✈❛♥$✱ ❞6✜♥✐,,♦♥, ❧❛ ♣%♦♣%✐6$6 ❞❡ ❇❡,✐❝♦✈✐$❝❤✱ 3✉✐

♥♦✉, ,❡%✈✐%❛ ❡♥❝♦%❡ ❛✉ ❝❤❛♣✐$%❡ ✷✳

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