V Douine – 1SPEMATHS – Travail à distance 23 - CORRECTION

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Une série d’exercices pour s’entraîner Exercice 1

La figure ci-contre représente un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1. Calculez les produits scalaires proposés ci-dessous :

 1 1 cos ¹

3 2

OA OB _{     }  _

   

 1 1 cos ^{2 1}

3 2

OA OC _  _

       

 

 ^{OA OD     1 1 cos}   ^{   1}

 ^{AB DE     1 1 cos}   ^{   1}

 ^{AD FE     2 1 cos 0}   ^{ 1}

 1 1 cos 0

OA FB _{ }  2

        

 1 1 cos 0

OC BD _{     }  2 _{ }

 

 

Exercice 2

En utilisant les renseignements portés sur la figure, calculez les produits scalaires proposés ci-dessous :

 BH BC   CH BH   HA HB 

 ^{BH BC     1 3 cos 0}   ^{ 3}

 ^{CH BH     2 1 cos}   ^{   2}

 HA BC   0

 HA BH   0

A l’aide d’une décomposition vectorielle, montrer que BA BC   3 et que CA BH    2 .

 ^{BA BC  }  ^{BH  HA BC}  ^{  BH BC   HA BC     3 0 3}

 ^{CA BH  }  ^{CH  HA BH}  ^{  CH BH   HA BH       2 0 2}

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Exercice 3

ABCD est un losange de centre O tel que OA  4 et OD  3 . En utilisant les coordonnées des points, calculez les produits scalaires :

 AB AD   OC BA   AD DC 

 4 4

16 9 7 3 3

AB AD    

              

 ^{4 4} 16

0 3 OC BA              

   

 ^{4 4} 16 9 7

3 3

AD DC                   

En utilisant le projeté orthogonal d’un vecteur sur un autre, calculez les produits scalaires :

 AC AD   BO BC   CO CD   BC BD 

 AC AD   AC AO     8 4 32

 BO BC   BO BO     3 3 9

 CO CD   CO CO     4 4 16

 BC BD   BO BD     3 6 18 Exercice 4

A chacune des figures proposées ci- contre, associer parmi les égalités suivantes celle qui lui correspond :

Egalité a = Figure 1 / Egalité b = Figure 3 / Egalité c = Figure 5 Egalité d = Figure 4 / Egalité e = Figure 2

Dans chacun des cas, illustrer l’égalité énoncée par une figure à main levée faisant intervenir trois

ou quatre points distincts AB AC   0 / AB AC   0 / AB AC   0 / AB AM   AB AN  .

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0 AB AC  

0 AB AC  

0 AB AC  

AB AM   AB AN 