L'intensité I résultant de l'interférence de deux sources monochromatiques synchrones de lon- gueur d'onde λ 0 dans le vide, respectivement d'intensité I 1 et I 2 (si elles étaient seules) est

Phénomène d'interférences

Les points du cours à connaître

I- Interférence de deux sources synchrones

1. Phénomène d'interférence Formule de Fresnel

L'intensité I résultant de l'interférence de deux sources monochromatiques synchrones de lon- gueur d'onde λ 0 dans le vide, respectivement d'intensité I 1 et I 2 (si elles étaient seules) est

I = I ₁ + I ₂ + 2 p

I ₁ I ₂ cos (∆ϕ) où ∆ϕ = ^2π _λ

0

δ + ϕ _sup avec δ , la diérence de marche en M et ϕ _sup = π dans le cas :

• d'une réexion sur un miroir métallique

• d'une réexion sur un dioptre d'indice supérieur

• du passage par un point de convergence 2. Dénitions relatives aux interférences

Ordre d'interférence

L'ordre d'interférence est la grandeur p sans dimension telle que ∆ϕ(M) = 2π p . Franges claires et sombres, interférences constructives et destructives

Sur un écran, le lieu des points M contigus de même éclairement, donc de même phase, est appelé frange d'interférences.

Contraste ou visibilité des franges le contraste ou visibilité des franges est

C = I _max − I _min I _max + I _min 3. Etude géométrique des interférences

Forme des surfaces iso-eclairement

Dans le cas d'interférences de deux ondes issues de deux ondes synchrones en S ₁ et S ₂ , les surfaces d'iso éclairement dans un milieu homogène sont des hyperboloïdes homofocales de foyers S ₁ et S ₂ .

II- Conditions d'interférences

Condition d'interférence et cohérence temporelle Deux longueurs d'onde diérentes n'interfèrent pas.

Condition d'interférence et cohérence spatiale Deux sources primaires diérentes n'interfèrent pas.

Condition d'interférence sur les trains d'onde

Pour que les interférences ne soient pas brouillées, il faut que la diérence de marche soit inférieure à la longueur de cohérence temporelle :

|δ| < ` _c

III- Interféromètres à division du front d'onde

1. Dispositif des trous de Young Interfrange

sur l'écran d'observation, la distance i entre deux franges consécutives de même nature est appelée interfrange. C'est par exemple l'espace entre deux franges sombres consécutives.

2. Notion de cohérence

Critère semi-quantitatif de brouillage des franges

Si la variation de l'ordre d'interférence est |∆p| > 1/2 en un même endroit du plan d'observation, les interférences sont brouillées.

Cela peut arriver :

• pour une source large ( |∆p| est alors évalué sur la moitié de l'étendue spatiale de la source), on parle de cohérence spatiale ;

• pour une source non monochromatique ( |∆p| est alors évalué sur la moitié de l'étendue spectrale de la source), on parle de cohérence temporelle.

3. Dispositif des fentes de Young

Passage de trous de Young aux fentes de Young

On peut utiliser une fente source primaire parallèle à deux fentes de Young : ainsi, on gagne en

luminosité, sans brouiller les interférences.

Exercice traité en n de cours

Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)

On assimile deux télescopes distants de a à deux trous T

1

et T

2

de taille négligeable et à une lentille d'axe optique Oz , de centre O , de distance focale f

⁰

. Le foyer image de la lentille est noté F

⁰

et le plan focal est le plan d'observation. T

1

et T

2

sont à une distance

^a₂

de l'axe optique.

1) Un unique objet ponctuel à l'inni A est observé dans la direction de l'axe optique.

Pour simplier, on supposera que cet objet émet une unique radiation de longueur d'onde λ = 2, 0 µm . 1.a) Où se trouve l'image géométrique A

⁰

de A ?

1.b) Calculer la diérence de marche δ

₀

entre les ondes provenant de A et se recombinant en A

⁰

, passant par les deux trous T

₁

et T

₂

.

1.c) Dans quelle mesure peut-on considérer que le contraste des interférence vaut 1 ? Dans la suite on supposera eectivement que le contraste vaut 1.

1.d) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse I

A

(x) d'un point d'abscisse x dans le plan focal.

1.e) En déduire l'expression de l'interfrange.

1.f) Tracer l'allure de la gure d'interférence dans le plan (xF

⁰

y) telle qu'on pourrait l'observer avec une caméra infrarouge.

2) Un unique objet ponctuel à l'inni B est observé dans la direction i

B

6= 0 par rapport à l'axe optique dans le plan xOz , avec les mêmes caractéristique que A .

2.a) A quelle distance x

B

de F

⁰

se trouve l'image géométrique de B ?

2.b) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse I

B

(x) en un point d'abscisse x . 2.c) L'interfrange est-elle diérente de celle trouvée précédemment ?

3) Deux objets ponctuels à l'inni A et B sont observés dans les directions i

_A

= 0 et i

_B

6= 0 par rapport à l'axe optique dans le plan xOz .

Pour simplier, on supposera que ces deux objets émettent une unique radiation de longueur d'onde λ = 2, 0 µm et la même puissance lumineuse.

3.a) Ces deux sources sont-elles cohérentes ?

3.b) En déduire l'intensité lumineuse I

_A^S_B

(x) en un point d'abscisse x .

3.c) Pour quelle(s) valeur(s) de a y a-t-il brouillage des interférences ? On exprimera le résultat en fonction de i

B

.

3.d) Proposer alors une méthode de détermination expérimentale de l'angle entre deux étoiles composant une étoile double.

3.e) Quelle est la valeur numérique (en secondes d'arc) de la limite de résolution angulaire i

min

du

VLTI ?

Techniques à maîtriser

I- Calculs de diérences de marche

Associer la grandeur scalaire de l'optique à une composante d'un champ électrique.

Exprimer le retard de phase en un point en fonction du retard de propagation ou du chemin optique.

Utiliser l'égalité des chemins optiques sur les rayons d'un point objet à son image.

Associer une description de la formation des images en termes de rayon lumineux et en termes de surfaces d'onde.

ce qu'il faut savoir faire capacités

∆ψ

_O→M

= R

M O

~ k. − →

d` =

^2π_λ

0

(OM ) + ϕ

_sup

.

Le calcul de chemin optique revient à évaluer la distance dans un milieu LHI et la multiplier par l'indice optique du milieu, sachant qu'il y a égalité de chemin optique entre deux points conjugués.

NB : il y a égalité de chemin optique entre un point A et deux points B et B

⁰

sur le trajet de la lumière depuis A , si B et B

⁰

sont sur la même surface d'onde (qui est un plan à l'inni).

Calculer un chemin optique méthode

Sur le schéma ci-contre, le point d'observation M étant dans le plan focal image, il est conju- gué avec l'inni.

Du point de vue de l'optique géométrique, les rayons issus de S

1

et S

2

qui aboutissent en M sont parallèles (et parallèles au rayon ctif qui passerait par le centre de la lentille sans être dévié).

Du point de vue de l'optique ondulatoire, comme H est le projeté orthogonal de S

1

sur le rayon issus de S

2

, H et S

1

sont dans le même plan d'onde.

Ainsi, (S

1

M ) = (HM ) d'après le théorème de Malus.

Appliquer le théorème de Malus méthode

1.1) Calcul de chemin optique dans le cas des trous de Young à distance nie

On s'intéresse à deux sources qui sont à une distance a = S

1

S

2

, l'une de l'autre sur l'axe Ox . Ainsi, leurs coordonnées sont S

1

−

^a₂

, 0, 0

et S

2

+

^a₂

, 0, 0

Le plan d'observation est le plan z = D , D . est donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observation M a pour coordonnées (x, y, D) .

Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1 . 1) Déterminer le chemin optique (S

₁

M ) . 2) En déduire (S

₂

M ) .

3) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (S

₁

M ) − (S

₂

M ) ?

∆ ≈

^x.a_D

.

1.2) Calcul de chemin optique dans le cas des trous de Young à distance innie

On s'intéresse à deux sources qui sont à une distance a = S

1

S

2

, l'une de l'autre sur l'axe Ox . Ainsi, leurs coordonnées sont S

1

−

^a₂

, 0, 0

et S

2

+

^a₂

, 0, 0

Le plan d'observation est le plan focal d'une lentille convergente de focale . f

⁰

. Un point d'observation M a pour coordonnées (x, y, D) .

Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1 .

1) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (S

₁

M ) − (S

₂

M ) ?

∆ = −

^a.x_f0

.

1.3) Calcul de chemin optique dans le cas du réseau

On s'intéresse à une onde plane issue de S à l'inni faisant un angle α

_i

avec l'axe Oz . L'onde est incidente sur un plan orthogonal à Oz contenant deux trous qui sont à une distance a = S

₁

S

₂

, l'un de l'autre sur l'axe Ox . On observe l'onde plane émergente qui fait un angle α

e

avec l'axe Oz en M , à l'inni.

Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1 .

1) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (SS

1

M ) − (SS

2

M ) ?

∆ = a. (α

e

− α

i

) .

1.4) Diérence de marche en lame d'air

On s'intéresse aux deux miroirs parallèles distants de e , le premier miroir traversé par la lumière rééchissent une partie de celle-ci, et laissant passer l'autre partie. On repère la position sur l'écran à partir du foyer F

⁰

avec le rayon r . Si la focale de la lentille est f

⁰

, θ =

_f^r0

est l'angle que font les rayons qui vont interférer avec l'axe optique. Montrer que la diérence de marche en r vaut ∆ = 2.e. cos θ .

∆ = 2.e. cos θ = 2.e

1 −

^θ₂²

.

II- Trous et fentes de Young

Savoir que les franges ne sont pas localisées dans le cas des trous d'Young.

Dénir, déterminer et utiliser l'ordre d'interférences.

Interpréter la forme des franges observées sur un écran éloigné parallèle au plan contenant les trous d'Young.

Confronter les deux dispositifs des trous d'Young et des fentes d'Young : analogies et diérences.

Interpréter la modication des franges lors du rajout d'une lame à faces parallèles sur un des trajets.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Une fois écrit l'intensité lumineuse grâce à la formule de Fresnel sous la forme I = I

₁

+ I

₂

+ 2 p

I

₁

I

₂

cos 2 π x

i + ϕ

₀

l'interfrange i apparaît naturellement.

Déterminer l'interfrange méthode

Sans la lame d'épaisseur e , le chemin optique est L

1

= e .

Avec la lame d'épaisseur e d'indice n , le chemin optique est L

2

= n e .

La substitution de l'air ( L

1

) par la lame ( L

2

) introduit une diérence de marche ∆ = (n − 1) e en plus dans le dispositif.

Interpréter l'eet du rajout d'une lame à faces parallèles sur un des trajets.

méthode

2.1) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à l'inni

On s'intéresse à la visualisation des interférences dans le plan focal d'une lentille convergente de focale f

⁰

. 1) Montrer que la diérence de marche est

∆ = ∆

0

− a.x f

⁰

où ∆

0

est une constante.

2) En déduire que les franges sont donc rectilignes, parallèles à Oy , comme précédemment.

3) Montrer que l'interfrange est : i =

^λ.f_a⁰

.

Les franges sont donc rectilignes, parallèles à Oy , comme précédemment.

2.2) Trous de Young sans diraction

Une source ponctuelle S

0

(en (0, 0, −l

0

) ) monochromatique (de longueur d'onde λ ) éclaire un écran opaque (placé en z = −D , où D < l

0

) est percé de deux trous ponctuels S

1

(en (

^a₂

, 0, −D) ) et S

2

(en (−

^a₂

, 0, −D) ). On observe les inteférences sur un écran en z = 0 .

1) Calculs généraux :

On considère que les trous envoient, sur tout l'écran, des ondes de même intensité I

0

. On néglige donc le phénomène de diraction.

1.a) Exprimer l'éclairement E en fonction de ∆ , la diérence de marche au point M et I

0

. 1.b) Déterminer la diérence de marche ∆ pour le point M placé en (x, y, 0) .

2) On suppose de plus que D |x| et D |y| .

2.a) Grâce à un développement limité, simplier l'expression de ∆ . 2.b) En déduire la forme des franges.

2.c) Quelle est l'interfrange i ?

∆ = S

1

M − S

2

M = q

x −

^a₂

2

+ y

²

+ D

²

− q

x +

^a₂

2

+ y

²

+ D

²

et i =

^λ.D_a

.

2.3) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à distance nie

On s'intéresse à deux sources qui sont à une distance a = S

1

S

2

, l'une de l'autre sur l'axe Ox . Ainsi, leurs coordonnées sont S

1

−

^a₂

, 0, 0 et S

2

+

^a₂

, 0, 0 .

Le plan d'observation est le plan z = D , D est donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observation M a pour coordonnées (x, y, D) .

Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1 .

1) Montrer que la diérence de marche en fonction de x est

∆ = ∆

₀

+ x.a D où ∆

₀

est une constante.

2) En déduire que les franges sont rectilignes, parallèles à Oy . 3) Montrer que l'interfrange est i =

^λ.D_a

.

4) Pour visualiser à l'÷il nu les franges, il faut que l'interfrange soit susant, c'est à dire i > 100µm . Qu'est

ce que cela impose sur a ?

1) ∆ = ∆

0

+

^x.a_D

2) Les franges sont rectilignes, parallèles à Oy . i =

^λ.D_a

. 3) a < 2, 5mm D .

2.4) Déplacement des franges

Un système de fentes d'Young F

1

et F

2

(parallèles à Ox ), éloignées de a = 1, 0mm suivant Oy est éclairé par une lampe à vapeur de sodium de longueur d'onde λ = 589nm , On observe les interférences sur un écran à une distance D = 1, 2m de F

1

et F

2

.

1) Calculer l'interfrange i .

2) On place devant F

1

une lame mince de verre d'indice n = 1, 5 et d'épaisseur e = 5, 0µm . Calculer le décalage ∆y des franges.

∆y = 3, 0mm .

2.5) Mesure de l'épaisseur d'une lame

On observe des franges d'interférences sur un écran placé à grande distance de fentes de Young.

On intercale ensuite une lame d'indice n et d'épaisseur e sur une des deux voies de l'inter- féromètre de Young.

1) Montrer que l'interfrange est inchangée mais qu'il y a un décalage des franges, qu'on exprimera en fonction de e et n .

δp

₀

=

^δ_λ⁰

=

^(n−1)e_λ

.

III- Dispositifs équivalents aux trous de Young

Tous les interféromètres à division du front d'onde peuvent se ramener au dispositif des trous d'Young.

L'interfrange est

^λ.D_a

, où D est la distance d'observation des deux trous source éloignés de a .

Pour connaître l'intensité, il s'agit de calculer la diérence de marche δ , de ne pas oublier les déphasages supplémentaires ϕ

_sup

: avant d'appliquer la formule de Fresnel :

I(M ) = I

1

+ I

2

+ 2 p

I

1

.I

2

. cos 2π

λ δ + ϕ

sup

Se ramener au dispositif des trous d'Young méthode

3.1) Miroirs de Fresnel et trous d'Young équivalents

On s'intéresse au dispositif des miroirs de Fresnel.

Les miroirs de Fresnel sont deux miroirs plans ayant une arête commune, dont l'angle α entre les normales est petit. On note R la distance de la source S à l'arête.

Dans ce dispositif, S

₁

est le symétrique de S par rapport au premier miroir M

₁

, tandis que S

₂

est le symétrique de S par rapport au second miroir M

2

.

1) Déterminer S

1

S

2

.

S

1

S

2

= 2.R.α .

3.2) Miroir de Lloyd et trous d'Young équivalents

Le miroir de Lloyd est un simple miroir plan. On note R la distance de la source S au miroir.

1) Déterminer S

1

S

2

, la distance entre deux trous d'Young équivalents.

Dans ce dispositif, S

1

est simplement S , tandis que S

2

est le symétrique de S par rapport au miroir.

Ainsi, la distance S

1

S

2

est 2.R .

3.3) Angle entre deux miroirs de Fresnel

On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel qui font entre eux un angle α inconnu. Ils sont éclairés par un laser hélium-néon (de longueur d'onde λ = 632, 8nm ) qui voit son faisceau élargi par un objectif de microscope placé à une distance d = 20cm de l'arête des miroirs. On observe des franges sur un écran à une distance D = 1, 6m de cette arête, grâce à une loupe de focale f

⁰

= 10cm . A travers cette loupe, on voit (sans accomoder) deux franges lumineuses consécutives à l'inni, écartées d'un angle β = 1

⁰

.

1) Quelle est l'interfrange i ?

2) En déduire la valeur numérique en

^◦

de α , l'angle entre les deux miroir.

i = 29µm et α = 89mrad = 5

^◦

.

3.4) Interfranges avec des miroirs de Fresnel éclairé par une lampe au mercure

On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel qui font entre eux un angle α = 4

⁰

0” . Ils sont éclairés par une fente ne parallèle à l'arête des miroirs à une distance d = 40cm de cette arête. On observe des franges sur un écran à une distance D = 1, 6m de cette arête.

1) Quelle est l'interfrange i des franges avec les diérentes longueurs d'onde du mercure : 1.a) λ

1

= 405nm

1.b) λ

2

= 436nm 1.c) λ

₃

= 546nm 1.d) λ

₄

= 579nm

i

1

= 0, 84mm , i

2

= 0, 91mm , i

3

= 1, 1mm et i

4

= 1, 2mm .

3.5) Biprisme de Fresnel et trous d'Young équivalents

On s'intéresse à un biprisme de Fresnel. Il s'agit de deux prismes (tri- angles rectangles) identiques, de petit angle α , accolés par leur base (leur petite largeur), d'indice optique n .

On note R la distance de la source S au biprisme.

1) Déterminer S

₁

S

₂

, la distance entre deux trous d'Young équivalents.

S

1

S

2

= 2.R. (n − 1) α .

IV- Cohérence spatiale

Établir la formule de Fresnel. Citer la formule de Fresnel et justier son utilisation par la cohérence des deux ondes.

Associer un bon contraste à des intensités I

1

et I

2

voisines.

Justier l'additivité des intensités dans le cas de deux ondes incohérentes entre elles. Utiliser le critère semi-quantitatif de brouillage des franges |∆p| > 1/2 (où |∆p| est évalué sur la moitié de l'étendue spatiale de la source) pour interpréter des observations expérimentales.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Deux sources primaires n'interfèrent pas. Aussi, pour éviter le brouillage, il faut que la diérence d'ordre d'interférence soit |∆p| < 1/2 .

Elargissement spatial de la source primaire méthode

4.1) Etude de la cohérence spatiale

Considèrons deux points sources primaires très proches : S et S

₀

. On admet que tous les rayons lumineux qui passent par la voie 1 (respectivement la voie 2) d'un interféromètre passent par S

₁

(respectivement S

₂

) . ~ u

₁

et ~ u

2

sont des vecteurs normés dans les directions de S

1

et S

2

: ~ u

1

=

−−−→ S0S1

S₀S₁

et ~ u

2

=

−−−→ S0S2

S₀S₂

.

On appelle δ∆ = (SS

1

− SS

2

) − (S

0

S

1

− S

0

S

2

) la diérence de diérence de marche entre les deux points sources pour aller en M suivant les deux voies de l'interféromètre.

1) Montrer que

|δ∆| ≈

−−→ SS

0

. (~ u

1

− ~ u

2

) λ pour que les interférences ne soient pas brouillées.

Une condition approximative de non brouillage des interférences sur δ∆ est donc : |δ∆| λ .

4.2) Cohérence spatiale avec deux points source primaires

On s'intéresse à un interféromètre avec deux trous

de Young S

1

et S

2

éloignés d'une distance a , pla-

cés à une distance D d'un écran. On éclaire ce

dispositif par deux points sources P

₁

et P

₂

éloi-

gnés d'une distance b , placés à une distance D

⁰

des trous de Young, ces deux points délivrant

un rayonnement monochromatique de même lon-

gueur d'onde λ

0

et de même intensité.

1) Calculer la diérence de marche δ

₁

relative au point source P

₁

. Faire de même pour δ

₂

relative au point source P

₂

.

2) Calculer l'intensité résultante en un point M de l'écran. On donne

cos α + cos β = 2 cos

α + β 2

cos

α − β 2

3) Calculer le contraste des interférences. En déduire la largeur b pour laquelle le brouillage des interférences apparaît.

La largeur pour laquelle le brouillage des interférences apparaît est :

^D₂⁰_a^λ0

.

4.3) Cohérence spatiale avec une fente source d'éclairage

On s'intéresse à un interféromètre avec deux trous de Young S

₁

et S

₂

éloignés d'une distance a , placés à une distance D d'un écran. On éclaire ce dispositif par une fente source de largeur b , placée à une distance D

⁰

des trous de Young, chacun des points de la fente source délivrant un rayonnement monochromatique de même lon- gueur d'onde λ

0

et de même intensité.

1) Calculer la diérence de marche relative à un point source P d'abscisse X . 2) Calculer l'intensité résultante en un point M de l'écran. On donne

sin α ± sin β = 2 sin

α ± β 2

cos

α ∓ β 2

3) Calculer le contraste des interférences. En déduire la largeur b pour laquelle le brouillage des interférences apparaît.

4) Retrouver ce dernier résultat grâce au critère de brouillage.

b =

^λ0_a^D0

.

Les techniques mathématiques à connaître

Dénitions de la moyenne : Soit s (t) une fonction de t .

• La moyenne physique de s est hsi

τ

=

¹_τ

τ

R

0

s (t) dt ,

• la moyenne mathématique de s est hsi =

_T¹

t₀+T

R

t₀

s (t) dt si s (t) est T -périodique.

On peut montrer aisément que la seconde dénition ne dépend pas de t

0

. On peut montrer aussi que la première dénition revient à la seconde, pour peu que τ T . On posera τ = N T + δt , avec N ∈ N, et δt < T (donc N 1 ) :

hsi

_τ

= 1 τ







T

Z

0

s (t) dt +

2T

Z

T

s (t) dt + ... +

N T

Z

(N−1)T

s (t) dt +

τ

Z

N T

s (t) dt







donc, d'après la périodicité de s ,

hsi

τ

= 1 N T + δt



N

T

Z

0

s (t) dt +

δt

Z

0

s (t) dt



 = 1 T +

^δt_N

T

Z

0

s (t) dt +

δt

R

0

s (t) dt N T ≈ 1

T

T

Z

0

s (t) dt

comme le second terme tend vers 0.

Quelques moyennes :

• si s (t) une fonction constante, hsi =

_T¹

T

R

0

s

₀

dt =

_T¹

[s

₀

t]

^T₀

= s

₀

• si s (t) une fonction qui varie aléatoirement autour de 0, hsi

τ

= 0 ;

• si s (t) une fonction sinusoïdale, hsi =

_T¹

T

R

0

s

₀

cos

^2π_T

t + α

dt =

_T¹

−

_2π^T

s

₀

sin

^2π_T

t + α

^T

0

= 0

• si s (t) une fonction sinusoïdale au carré, hsi = h

^cos(2α)+1₂

i = h

^cos(2α)₂

i + h

¹₂

i =

¹₂

Utilisation des complexes :

Si s

₁

(t) = Re (˜ s

₁

) et s

₂

(t) = Re (˜ s

₂

) , alors

hs

1

s

₂

i

τ

=

¹₂

Re (˜ s

₁

˜ s

^?₂

) où s ˜

^?₂

est le complexe conjugué de s ˜

₂

.

Démonstration :

hs

1

s

2

i

τ

= s

1

s

2

h cos (α

1

− α

2

) + cos

^4π_T

t + α

1

+ α

2

2 i

τ

= s

1

s

2

cos (α

₁

− α

₂

) 2 d'une part. D'autre part :

1

2 Re (˜ s

₁

s ˜

^?₂

) = 1 2 Re

s

₁

e

^j

(

^2π_T^t+α1

) s

₂

e

^−j

(

^2π_T^t+α2

)

= 1 2 Re

s

₁

s

₂

e

^j(α1−α2)

= s

₁

s

₂

cos (α

1

− α

2

) 2 (cqfd)

Calculs de moyennes méthode

5.1) Moyenne d'une fonction sinusoïdale au carré grâce aux complexes 1) Calculer hcos

^{2 2π}_T

t + α

i en utilisant les complexes.

hcos

^{2 2π}_T

t + α i

τ

=

¹₂

.

5.2) Moyenne d'un produit de fonctions sinusoïdales en quadrature de phase 1) Calculer hcos (ω t + α) sin (ω t + α)i en utilisant la formule trigonométrique

sin θ cos ϕ = sin (θ − ϕ) + sin (θ + ϕ) 2

hcos (ω t + α) sin (ω t + α)i = 0 .

5.3) Moyenne d'un produit de fonctions sinusoïdales en quadrature de phase grâce aux complexes 1) Calculer hcos (ω t + α) sin (ω t + α)i en utilisant les complexes.

hcos (ω t + α) sin (ω t + α)i = 0 .

5.4) Moyenne d'un produit de fonctions sinusoïdales déphasées 1) Calculer hcos (ω t) cos (ω t + α)i en utilisant la formule trigonométrique

cos θ cos ϕ = cos (θ − ϕ) + cos (θ + ϕ) 2

hcos (ω t) cos (ω t + α)i =

¹₂

cos α .

5.5) Moyenne d'un produit de fonctions sinusoïdales déphasées grâce aux complexes 1) Calculer hcos (ω t) cos (ω t + α)i en utilisant les complexes.

hcos (ω t) cos (ω t + α)i =

¹₂

cos α .

Résolution de problème

Les communications radios pour les bateaux

Extraits de l'article wikipedia sur "Canal 16"

disponible à l'adresse https: // fr. wikipedia. org/ wiki/ Canal_ 16

le canal 16 de la bande marine VHF est la fréquence internationale de détresse et d'appel en radiotéléphonie.

Le canal 16 doit être veillé en permanence par tous les navires, an de recevoir les appels de rou- tine, de sécurité ou d'urgence ainsi que les mes- sages de détresse. La portée d'exploitation est in- férieure à 60 km.

La fréquence 156,8 MHz est la fréquence in- ternationale de détresse, de sécurité et d'appel en radiotéléphonie pour les stations du service mobile maritime lorsqu'elles font usage de fréquences des bandes autorisées comprises entre 156 MHz et 174 MHz. Elle est employée pour le signal, les appels et le trac de détresse, pour le signal et le trac d'urgence et pour le signal de sécurité.

On observe des phénomènes de réexion ou de réfraction. La propagation des ondes VHF étant quasi-optique est comparable à celle d'un rayon lumineux.

Enoncé

1) Pourquoi les émetteur-récepteurs radio doivent-ils être en hauteur sur un rocher, et en haut des mats

des bateaux ?

Programmation en python

Eet du contraste sur la visualisation des interférences

On s'intéresse à deux sources synchrones de longueur d'onde λ qui interfèrent avec un contraste C grâce à un interféromètre à division du front d'onde équivalent à deux fentes de Young écartées de a , l'observation se faisant sur un écran à la distance d . On néglige le phénomène de diraction.

1) Ecrire un programme qui permet, pour divers contrastes, de :

1.a) tracer le graphe de l'intensité en fonction de la position x sur l'écran, 1.b) donner une visualisation du plan d'observation.

1) 1.a) Allure de l'intensité en fonction de x pour un contraste C = 0, 6 :

1.b) Allure de la visualisation des franges sur l'écran d'observation :

Exercices d'oral pour s'entraîner

exercice 1 (long) - Cohérence spatiale

On considère deux points sources très proches : S et S

0

. On admet que tous les rayons lumineux qui passent par la voie 1 (respectivement la voie 2) d'un interféromètre passent par P

1

(respectivement P

2

) .

~

u

1

et ~ u

2

sont des vecteurs normés dans les directions de P

1

et P

2

: ~ u

1

=

^S_S^0~P1

0P1

et ~ u

2

=

^S_S^0~P2

0P2

.

δ∆ = ∆ (S

₀

) − ∆ (S) est la diérence de diérence de marche entre les deux points sources pour aller en M suivant les deux voies de l'interféromètre.

1) En utilisant la formule des interférences pour une source monochromatique (de longueur d'onde λ) , donner une condition approximative sur δ∆ pour que les interférences ne soient pas brouillées.

2) Faire un développement limité au premier ordre de δ∆ . 3) Applications : donner δ∆ dans les cas suivants :

3.a) Fentes d'Young. Pourquoi utilise-t-on plutôt des fentes que des trous ? 3.b) Interférences localisées à distance nie : michelson en coin d'air.

3.c) Interférences localisées à l'inni : michelson en miroirs parallèles.

exercice 2 (court) - Miroirs de Fresnel

On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel M

1

et M

2

faisant un angle θ entre eux. Ils sont éclairés par une source ponctuelle S derrière laquelle est placée une lampe monochromatique à vapeur de sodium ( λ = 589nm ).

S se trouve à une distance R = 15cm du point O , appartenant aux deux miroirs, OS faisant un angle α avec M

1

.

1) On observe les interférences sur un écran placé à une distance D = 1, 0m R , de O . 1.a) Quelle est la forme de ces franges ?

1.b) Y a-t-il un déphasage supplémentaire ϕ

sup

introduit par ce dispositif ? 2) Rapport avec les trous d'Young :

2.a) A quelles distances de O se trouvent les sources secondaires S

₁

et S

₂

? 2.b) Que vaut l'angle

OS ~

1

, ~ OS

2

? 2.c) En déduire la distance a = S

₁

S

₂

. 3) Interfrange :

3.a) Quelle est l'interfrange i ?

On veut que l'interfrange soit, au moins i > i

min

= 1, 0mm .

3.b) Déterminer alors θ

max

, la valeur maximale de θ en degrés, minutes et secondes d'arc.

exercice 3 (court) - Mesure de l'indice d'un gaz

On éclaire un montage de fentes de Young S

1

et S

2

avec une lampe à vapeur de sodium de longueur d'onde λ = 589nm placée derrière une fente d'éclairage S .

On intercale sur le trajet de la lumière après S

2

une cuve transparente de longueur intérieure l = 10cm . On place un écran parallèlement à S

1

S

2

, à une distance grande devant S

1

S

2

.

Initialement la cuve est pleine d'air.

1) Que visualise-t-on dans le champ de recouvrement des faisceaux ?

Grâce à une pompe, on fait le vide dans la cuve. En un point M de l'écran on voit lors de l'opération déler n

1

franges.

2) Exprimer n

₁

en fonction de l , λ et l'indice de l'air n

_air

.

On remplit maintenant la cuve par du gaz ammoniac N H

₃

. Le déplacement total des franges (par rapport à l'état où la cuve était remplie d'air) est de n

₂

= 17 franges.

3) Déterminer la diérence ∆n des indices de l'air ( n

_air

) et de l'ammoniac ( n

_{N H3}

). Application numérique.

exercice 4 (court) - Miroir de Loyd

On s'intéresse à une source ponctuelle éclairée par une lampe monochromatique à vapeur de sodium ( λ =

589nm ) à une distance d d'un miroir.

1) On observe les interférences sur un écran placé à une distance D = 1, 0m d , orthogonalement au miroir entre le rayon issu directement de la source et celui rééchi sur le miroir.

1.a) Où se trouvent les franges ? 1.b) Quelle est la forme de ces franges ?

1.c) Y a-t-il un déphasage supplémentaire ϕ

sup

introduit par ce dispositif ? 2) Interfrange :

2.a) Quelle est l'interfrange i ?

On veut que l'interfrange soit, au moins i > i

min

= 1, 0mm .

2.b) Déterminer alors d

max

, la valeur maximale de d .

Approche documentaire (DNS)

Faisceaux d'ondes et de lumière

Jean-Michel COURTY et Roland LEHOUCQ Idées de physique c Pour la Science.

Plusieurs sources d'ondes électromagnétiques produisent ensemble un faisceau dont l'énergie peut être dirigée à volonté grâce aux interférences.

Un nouveau type de radars balaie le ciel sans bouger. Constitué d'un réseau d'antennes, il émet un faisceau d'ondes électromagnétiques dont on contrôle l'orientation en faisant interférer les ondes émises par chaque antenne. Limitée jusqu'à présent aux ondes radio, cette technique vient d'être mise à prot pour réaliser des vidéoprojecteurs optiques de qualité.

Et pourtant, ils ne tournent pas !

Les radars localisent les objets mobiles en émettant dans une direction donnée un faisceau d'ondes électro- magnétiques dans le domaine micro-onde, puis en détectant l'écho qui leur revient. Dans un radar classique, les microondes sont émises par une tige conductrice parcourue par un courant alternatif, placée au foyer d'un réecteur parabolique ; celui-ci concentre le rayonnement de l'antenne dans une seule direction. Le suivi d'une cible ou le balayage du ciel impose de faire tourner très vite le lourd système constitué par la parabole et l'antenne, ce qui pose des problèmes mécaniques. Pour les éviter, les ingénieurs ont mis à prot les interférences entre les ondes émises par plusieurs antennes et développé des radars sans parties mobiles. Pour saisir leur fonctionnement, considérons deux antennes dressées côte à côte, émettant la même onde électromagnétique, un champ électrique et un champ magnétique qui oscillent sinusoïdalement dans le temps en se propageant. En chaque point de l'espace, le champ électrique est la somme des champs créés par chaque émetteur. Face aux deux antennes, à égale distance de chacune, les ondes reçues mettent le même temps pour nous parvenir : elles sont en phase, ou synchrones. Leurs amplitudes s'ajoutent, elles interfèrent constructivement, et le champ détecté est le double du champ d'une antenne.

Plaçons-nous alors en un point où les distances aux antennes dièrent d'une demi-longueur d'onde (la moitié de la distance que parcourt l'onde en une période d'oscillation). Le signal qui parvient de l'antenne éloignée nous arrive avec un retard d'une demi-période par rapport à celui de l'antenne proche ; lorsqu'un des champs est maximal, l'autre est minimal. Les deux ondes sont en opposition de phase et leur somme est rigoureusement nulle : leurs interférences sont destructrices. Lorsque les antennes sont séparées d'une demi-longueur d'onde, on obtient de telles interférences en se plaçant dans l'alignement des deux antennes. Dans cette conguration, le champ est maximal face aux antennes, nul sur le côté, et dans une direction intermédiaire, son amplitude est comprise entre ces deux extrêmes.

Ainsi, l'association de deux antennes séparées d'une demi-longueur d'onde produit un faisceau grossièrement

dirigé selon leur axe médian. Pour diriger le faisceau selon une autre direction et viser un point, il sut de

retarder l'émission du champ par l'antenne la plus proche. Quand ce retard équivaut au temps que met le champ émis par l'antenne éloignée pour couvrir la distance supplémentaire, les deux ondes arrivent ensemble sur le point : les interférences sont constructives. Le signal reçu est alors maximal.

Pour rendre le faisceau plus directif, on associe dans un même réseau un grand nombre d'émetteurs. Le réseau le plus simple est constitué d'antennes alignées et régulièrement espacées. Comme dans le cas de deux émetteurs, lorsque toutes les antennes émettent de façon synchrone, les interférences sont constructrices dans la direction perpendiculaire au réseau. Dès que l'on s'en écarte, la multiplicité des déphasages entre ondes qui parviennent en un point fait que les interférences sont destructrices : seule une condition géométrique précise amène le synchronisme. Les ondes émises ensemble n'interfèrent constructivement que dans l'axe du faisceau ; on modie à volonté la direction du faisceau, en jouant sur les retards entre antennes grâce à des circuits de contrôle, les lignes à retard.

En optique aussi

Avec cette association de réseaux et de lignes à retard, on produit pour l'aéronautique un nouveau type de radars sans parties mobiles. De plus, le principe peut être étendu à des longueurs d'onde jusqu'à présent inaccessibles aux radars paraboliques. C'est le cas du radar Nostradamus, réalisé par l'ONERA, qui travaille à une longueur d'onde de quelques dizaines de mètre, donc de grande taille, pour laquelle il est impossible de réaliser un réecteur parabolique orientable. Nostradamus est constitué de 288 antennes réparties sur les bras d'une étoile à trois branches et s'étend sur des centaines de mètres. Comme les ondes qu'il émet vers le ciel rebondissent sur l'ionosphère, Nostradamus suit des objets mobiles au-delà de l'horizon : icebergs, navires de haute mer ou avions.

Grâce aux mêmes idées, on réalise depuis peu des vidéoprojecteurs performants en contrôlant des faisceaux de lumière visible. Le domaine de longueur d'onde correspondant est la fraction de micromètre. Le rôle des antennes y est joué par de petits miroirs disposés côte à côte que l'on éclaire avec une source laser.

Les miroirs étant de taille comparable aux lon- gueurs d'onde du visible, ils diractent la lumière en la renvoyant dans toutes les directions. Éclai- rons un tel réseau de biais de sorte que la dié- rence des distances entre le laser et les centres de deux miroirs consécutifs soit égale à la longueur d'onde du laser. Les ondes qu'ils reçoivent étant synchrones, les miroirs réémettent en phase : il se produit des interférences constructives dans la di- rection perpendiculaire au réseau. Pour une autre valeur de la longueur d'onde, les ondes ne sont plus synchrones de sorte qu'aucune lumière n'est émise dans la direction perpendiculaire au réseau.

En juxtaposant trois réseaux réglés pour les lon- gueurs d'onde du rouge, du vert et du bleu, on réalise un pixel actif, qui, éclairé de biais par ces trois couleurs, réémet chacune des trois cou- leurs de base vers une optique de projection.

An d'obtenir un point coloré sur un écran, il faut en outre régler à volonté les intensités rouge, verte et bleue. Pour cela, chaque pixel actif est muni de l'équivalent des lignes à retard variable

des radars : on monte un miroir sur deux sur un ruban métallique qu'une tension adéquate fait reculer. Quand on déplace susamment ces miroirs, la lumière qu'ils renvoient selon la normale se propage d'une demi-longueur d'onde de plus que celle des miroirs xes : les interférences sont donc destructrices dans la direction perpendicu- laire au plan des miroirs. Ainsi, en modiant les crénelures du triple réseau de miroirs, on contrôle les intensités rouge, verte et bleue renvoyées par le composant vers l'optique de projection. La Société Sony a récemment réalisé un prototype à partir d'un réseau linéaire de 1 080 pixels actifs constitués chacun de 6 rubans de 3 mi- cromètres de large et de 100 micromètres de long. Ces pixels forment ensemble sur l'écran une colonne verticale qui est déplacée à l'aide d'un miroir tournant pour former une image complète. D'un contraste et d'une rapidité jamais atteints auparavant, le nouveau système pourrait bientôt équiper nos salles de projection.

Enoncé

1) On assimile deux antennes à deux sources ponctuelles, S

₁

et S

₂

émettant une onde monochromatique de longueur d'onde λ , de même amplitude. Elles se trouvent dans un plan horizontal, éloignées de

^λ₂

.

1.a) L'émission des deux ondes est synchrone.

Écrire la forme de l'amplitude de ces ondes aux points sources puis en un point M quelconque. En déduire l'intensité de l'onde au point M . Vérier que "face aux deux antennes, à égale distance de chacune, les ondes reçues [...] interfèrent constructivement" et que, au contraire, les "interférences sont destructrices [...] en se plaçant dans l'alignement des deux antennes."

1.b) On suppose maintenant que l'émission n'est plus synchrone, "pour diriger le faisceau selon une autre direction et viser un point" M .

Écrire la forme de l'amplitude des ondes aux points sources puis en un point M quelconque. En déduire l'intensité de l'onde au point M et donner l'expression du retard pour que les interférences soient constructives.

2) On s'intéresse à deux miroirs quasi ponctuels (en S

1

et S

2

) d'un pixel dont parle le document, éclairés de biais par un laser de longueur d'onde λ . S

₂

est monté sur un ruban métallique qu'une tension adéquate fait reculer par rapport à S

₁

.

Faire un schéma dans le cas où la lumière renvoyée perpendiculairement aux miroirs subit une interférence

constructive et un autre dans le cas où l'interférence est destructive. Expliquer dans les deux cas pourquoi.

Problème (DNS)

Holographie

1) Expérience des fentes d'Young :

On réalise l'expérience des fentes d'Young suivant la gure précédente. S

1

et S

2

sont deux ouvertures en forme de fente ne, symétriques par rapport à l'axe SO . La source S monochromatique est elle aussi une fente ne parallèle à S

1

et S

2

et coïncide avec le foyer de la lentille L

1

; l'écran d'observation P se trouve dans le plan focal de la lentille L

2

de distance focale f

₂⁰

. Soit M un point de l'écran P .

1.a) Tracer la marche des rayons lumineux qui parviennent des points S

1

et S

2

et interfèrent au point M .

1.b) La distance S

1

S

2

est égale à a , calculer la diérence de marche ∆ en fonction de a , f

₂⁰

et OM = x . 1.c) En déduire l'interfrange i . On donne f

₂⁰

= 1, 0 m , a = 1, 0mm et λ = 0, 600 µm .

2) Sur le trajet des rayons issus de S

1

on place une lame d'épaisseur e et d'indice n .

2.a) Dans quel sens se sont déplacées les franges quand on a interposé la lame ? Calculer ce déplacement pour n = 1, 5 et e = 0, 010 mm .

On rappelle que le contraste des franges est : V =

^I_I^max−Imin

max+Imin

.

2.b) La lame précédente est absorbante, de sorte que l'amplitude a

₁

des ondes provenant de S

₁

est beaucoup plus faible que l'amplitude a

₂

des ondes provenant de S

₂

. En déduire l'intensité au point M et le contraste V des franges en fonction de a

1

, a

2

et du déphasage φ entre les deux ondes interférant en M en l'absence de lame.

3) On remplace l'écran P par une plaque photographique. Celle-ci après développement, éclairée par une onde plane monochromatique de longueur d'onde quelconque transmet en chaque point où elle avait reçu une intensité I une amplitude a

t

= I

^−g2

où g est une constante caractéristique de l'émulsion photographique.

3.a) Calculer en faisant un développement limité au 1

^er

ordre en

^a_a¹₂

, l'amplitude a

_t

des ondes transmises par la plaque en fonction de a

₁

, a

₂

, g , n , e et φ .

La plaque ainsi obtenue est éclairée par un faisceau parallèle (cf. gure suivante). Ce faisceau est de même longueur d'onde que celle utilisée pour impressionner la plaque λ = 0, 600 µm .

3.b) En négligeant le déphasage introduit par la lame, montrer que l'on obtient après la plaque, 3 ondes planes dont 2 sont déphasées par rapport à l'onde incidente.

3.c) Montrez alors que ces deux ondes vont converger après une lentille L

3

de même distance focale que L

2

, en 2 points S

₁⁰

et S

⁰₂

du plan d'observation placé dans le plan focal image de L

3

.

3.d) Déterminer la distance d de chacun des points S

₁⁰

et S

₂⁰

à l'axe optique de la lentille L

3

.