Phénomène d'interférences
Les points du cours à connaître
I- Interférence de deux sources synchrones
1. Phénomène d'interférence
Les interférences : l'intensité de la somme n'est pas la somme des intensités. Dans certains cas, de la lumière ajoutée à de la lumière donne de l'obscurité !
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
Exemples de phénomènes d'interférences vidéo
Au pointM, deux vibrations lumineuses synchrones sk(M, t) = a0kcos
ω
t− (SkM) c
−ϕsupk−φ0
s'ajoutent :
I(M) =
s1(M, t)2 +
s2(M, t)2
+ 2hs1(M, t)s2(M, t)i Une formule trigonométrique permet d'écrire
2hs1(M, t)s2(M, t)i=
= 2√
I1I2hcos [(ω−ω)t+ ∆ϕ]i +2√
I1I2hcos [(ω+ω)t+ ∆ϕ0]i 2√
I1I2hcos [∆ϕ]i
⇒
L'intensité I résultant de l'interférence de deux sources monochromatiques synchrones de longueur d'onde λ0 dans le vide, respectivement d'intensité I1 et I2 (si elles étaient seules) est
I =I1+I2+ 2p
I1I2 cos (∆ϕ) où∆ϕ= 2πλ
0δ+ϕsup avec δ, la diérence de marche en M et ϕsup =π dans le cas :
• d'une réexion sur un miroir métallique
• d'une réexion sur un dioptre d'indice supérieur
• du passage par un point de convergence 1 Formule de Fresnelthéorème
I1 est l'intensité reçue au point M avec la seule source S1, et I2, l'intensité reçue au point M avec la seule source S2.
I 6=I1+I2 à cause du terme d'interférence 2√
I1I2 cos (∆ϕ)
où ∆ϕ(M)est le déphasage entre les deux vibrations lumineuses arrivant au point M. Interprétation de la formule de Fresnel s'y retrouver
2. Dénitions relatives aux interférences
L'ordre d'interférence est la grandeur psans dimension telle que ∆ϕ(M) = 2π p. Ordre d'interférence dénition
Sur un écran, le lieu des pointsM contigus de même éclairement, donc de même phase, est appelé frange d'interférences.
Franges claires et sombres, interférences constructives et destructivesdénition
On est en présence
• d'une interférence constructive (c'est à dire d'une frange brillante ou claire) si p est entier ;
• d'une interférence destructive (c'est à dire d'une frange sombre ou noire) si pest demi entier (p= 12 +n avec n∈Z).
Nature des interférences et ordre d'interférence s'y retrouver
le contraste ou visibilité des franges est
C = Imax−Imin Imax+Imin Contraste ou visibilité des franges dénition
Montrer que 06C 61.
2 Encadrement du contraste exercice
CommeImax =I1+I2+2√
I1.I2 etImin =I1+I2−2√
I1.I2, on en déduit :C = 4.
√I1.I2
2.(I1+I2) =
√I1.I2
(I1+I2) 2
. Aussi, le contraste est le rapport de la moyenne géométrique des intensités des deux ondes seules sur la moyenne arithmétique de I1 etI2.
En calculant
pI1−p I12
=I1+I2−2p
I1I2 ≥0 on a bien C 61.
Aussi,
• le contraste est nul siI1 I2 ouI2 I1. Il est donc primordial d'avoir des intensités I1etI2 proches pour conserver un bon contraste donc une bonne visibilité des franges.
• le contraste est maximal (c'est à dire C = 1) si I1 = I2 : c'est la meilleure visibilité des franges.
Interprétation de la visibilité des franges s'y retrouver
Montrer qu'on peut écrire la formule de Fresnel d'une autre façon : I(M) =I0 [1 +C cos (∆ϕ)] avecI0 =I1+I2
3 Réecriture de la formule de Fresnel avec le contraste exercice
CommeImax =I1+I2+2√
I1.I2 etImin =I1+I2−2√
I1.I2, on en déduit :C = 4.
√I1.I2
2.(I1+I2) =
√I1.I2 (I1+I2)
2
. Aussi,I =I1+I2+ (I1+I2).C.cos (∆ϕ)
La gure ?? représente l'évolution de la visibilité des franges d'interférences (le contraste diminuant de haut en bas)..
Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.
Evolution de la visibilité des franges d'interférences avec le contraste animation
Figure 1 Evolution de la visibilité des franges d'interférences avec le contraste
3. Etude géométrique des interférences
Une surface d'iso-eclairement (ou d'iso-intensité) est l'ensemble connexe des points M tels que I(M) = constante, d'oùδ(M) = constante donc(S2M)−(S1M) = constante.
Surfaces d'iso-eclairement s'y retrouver
Le système de franges possède la symétrie de révolution par rapport à l'axe S1S2. Si le milieu est homogène d'indice n constant, cela correspond à S2M −S1M = constante
⇒
Dans le cas d'interférences de deux ondes issues de deux ondes synchrones enS1etS2, les 4 Forme des surfaces iso-eclairementthéorème
surfaces d'iso éclairement dans un milieu homogène sont des hyperboloïdes homofocales de foyers S1 etS2.
La gure ?? représente hyperboloïdes de foyers S1 et S2. Quelques surfaces iso-éclairement schéma
Figure 2 Quelques surfaces iso-éclairement
La gure ?? représente la trace de surfaces iso-éclairement dans un plan contenant l'axe S1S2 : hyperboles de foyers S1 etS2.
Trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plan contenant S1 et S2
schéma
La gure ?? représente la trace de surfaces iso-éclairement sur un écran dépend de la position de l'écran par rapport aux foyers S1 etS2.
Forme des franges schéma
II- Conditions d'interférences
On s'intéresse à deux sources ponctuelles précédentes : s1(S1, t) = a01cos (ω1t−φ1) et s2(S2, t) =a02cos (ω2t−φ2).
Montrer que l'intensité lumineuse en M est I(M) =I1+I2+ 2p
I1I2hcos [(ω1−ω2)t+ ∆ϕ]i
5 Calcul de l'intensité résultant de la superposition de deux ondes monochro- matiques exercice
Figure 3 Trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plan contenantS1 etS2
Figure 4 Forme des franges
où ∆ϕ= ω2(S2M)
c −ω1(S1M)
+ϕsup2 −ϕsup1 c
+φ2 −φ1 Les deux vibrations lumineuses s'additionnent et
I(M) =
s1(M, t)2 +
s2(M, t)2
+ 2hs1(M, t)s2(M, t)i Une formule trigonométrique permet d'écrire
2hs1(M, t)s2(M, t)i= 2√
I1I2hcos [(ω1−ω2)t+ ∆ϕ]i +2√
I1I2hcos [(ω1+ω2)t+ ∆ϕ0]i
où ∆ϕ = −ω1(S1cM) −ϕsup1 −φ1 +ω2(S2cM) +ϕsup2 +φ2 et ∆ϕ0 = −ω1(S1cM) −ϕsup1 −φ1 − ω2(S2cM) −ϕsup2 −φ2. Bien entendu, la seconde moyenne est nulle :
hcos [(ω1+ω2)t+ ∆ϕ0]i= 0
Il faut que les deux sources S1 et S2 aient la même pulsation :ω1 =ω2 pour que hcos [(ω1−ω2) t+ ∆ϕ]i=hcos (∆ϕ)i 6= 0
c'est à dire pour qu'il y ait interférence. ⇒
Deux longueurs d'onde diérentes n'interfèrent pas.
6 Condition d'interférence et cohérence temporelle théorème
Si les deux sources S1 et S2 ont la même pulsation : ω1 =ω2 pour que hcos [(ω1−ω2) t+ ∆ϕ]i=hcos (∆ϕ)i 6= 0
pour qu'il y ait interférence. Or ∆ϕ = ωc [(S2M)−(S1M)] +ϕsup2 −ϕsup1 +φ2 −φ1. Comme le déphasage à l'origine φ2 −φ1 entre deux sources lumineuses S1 et S2 est variable et quelconque. Ainsi sur le temps de réponse du détecteur, la phase varie un très grand nombre de fois entre0et2πet ainsihcos (∆ϕ)i= 0siS1etS2sont diérentes.
⇒
Deux sources primaires diérentes n'interfèrent pas.
7 Condition d'interférence et cohérence spatiale théorème
Pour que hcos (∆ϕ)i 6= 0 avec ∆ϕ = ωc [(S2M)−(S1M)] +ϕsup2 −ϕsup1 +φ2 − φ1, il faut que les trains d'ondes se superposent. Or, pour que se superposent ces trains d'onde, il faut que la diérence de marche ne soit pas plus grande (en valeur absolue) que la longueur du train d'onde dans l'espace, c'est à dire`c, la longueur de cohérence temporelle. ⇒
Pour que les interférences ne soient pas brouillées, il faut que la diérence de marche soit inférieure à la longueur de cohérence temporelle :
|δ|< `c
8 Condition d'interférence sur les trains d'ondethéorème
Une grande monochromaticité (et une grande longueur de cohérence temporelle) associée à une grande directivité (un point source à distance innie) expliquent pourquoi il est plus facile de réaliser des interférences avec un laser.
Utilisation des laser pour des interférences s'y retrouver
III- Interféromètres à division du front d'onde
1. Dispositif des trous de Young
si l'on veut réaliser des interférences, une solution consiste à créer deux sources à partir d'une unique source primaire. On parle alors de deux sources secondaires. C'est ce qui se passe en particulier dans le dispositif des trous de Young.
Il faut pour réaliser une source quasi ponctuelle :
• un laser (source ponctuelle à l'inni) ;
• ou bien un laser à qui on adjoint un objectif de microscope (source ponctuelle à distance nie) ;
• soit encore une lampe qui éclaire (grâce à un condenseur) un diaphragme (qui est dans ce cas la source ponctuelle à S distance nie).
Interférence à partir d'une unique source primaire s'y retrouver
La gure ?? représente deux rayons lumineux diérents, issus du même point source pri- maire (qu'on notera S) qui vont interférer en un point M. Depuis M, ces deux rayons lumineux semblent provenir (ou proviennent eectivement) de deux point sources secon- daires S1 etS2.
Principe du dispositif des trous de Young schéma
Dans le cas d'utilisation d'une source ponctuelle, les interférences ne sont pas localisées.
C'est à dire qu'elles existent a priori dans toute la zone de recouvrement des faisceaux.
Aussi, il n'est pas nécessaire a priori d'utiliser un dispositif de formation d'image (lentille) pour visualiser les interférences.
Non localisation des interférences s'y retrouver
le champ d'interférences est le lieu des points M pouvant être atteints par les deux signaux. On parle aussi de zone de recouvrement des faisceaux.
Champ d'interférences s'y retrouver
Figure 5 Principe du dispositif des trous de Young
Déterminer la diérence de marche δ dans le cas des trous de Young.
En utilisant le fait que les trous de Young sont situés à une distance a faible devant la distance d séparant les trous de l'écran, faire un développement limité pour exprimer δ en fonction dex et y les coordonnées du pointM sur l'écran.
9 Détermination de la diérence de marche dans le cas des trous de Young
exercice
La diérence de marche est
δ = (SS1M)−(SS2M) =SS1−SS2+S1M −S2M On peut calculer, en prenant O, l'origine du repère au milieu de S1S2.
S1M2 =a
2+x2
+y2+d2 ≈d
"
1 + 1 2
a 2 +x
d 2
+1 2
y d
2#
Donc
δ≈SS1−SS2+d
1 + x2+a x+a2/4 2d2 + y2
2d2
−d
1 + x2−a x+a2/4 2d2 + y2
2d2
=SS1−SS2+d2a x 2d2 On trouve donc δ≈SS1−SS2+a xd .
La gure ?? représente le plan d'observation derrière des trous de Young éclairés par un laser.
Ecran éclairé par un laser à travers des trous de Young schéma
En utilisant la diérence de marche δ ≈ SS1 −SS2 + a xd , déterminer la forme des franges observées sur l'écran dans le cas des trous de Young.
Retrouver le résultat en utilisant les surfaces iso-éclairement.
10 Forme des franges dans le cas des trous de Young exercice
Figure 6 Ecran éclairé par un laser à travers des trous de Young
La formule de Fresnel donne :
I =I1+I2+ 2p
I1I2cos (∆ϕ) avec ∆ϕ= 2λπ SS1−SS2+a xd
car il n'y a pas de déphasage supplémentaire. Aussi, I =I1+I2+ 2p
I1I2cos 2π
λ
SS1−SS2+a x d
qui n'est que fonction dex, donc invariante par translation suivanty: les franges sont rectilignes.
L'intersection des surfaces iso-éclairement avec l'écran donne des hyperboles. Sur une petite distances, ces hyperboles peuvent être considérées comme quasi-rectilignes.
sur l'écran d'observation, la distancei entre deux franges consécutives de même nature est appelée interfrange. C'est par exemple l'espace entre deux franges sombres consécu- tives.
Interfrange dénition
Cette dénition n'a véritablement d'intérêt que siiest constant, c'est à dire si l'éclairement est une fonction périodique d'une direction (par exemple x) du plan d'observation.
remarque
En utilisant la diérence de marche δ≈SS1−SS2+a xd , déterminer l'interfrange dans le cas des trous de Young écartés de a et observés à une distance d.
11 Interfrange dans le cas des trous de Young exercice
La formule de Fresnel donne :
I =I1+I2+ 2p
I1I2cos (∆ϕ) avec ∆ϕ= 2λπ SS1−SS2+a xd
car il n'y a pas de déphasage supplémentaire. Aussi, I =I1+I2+ 2p
I1I2cos 2π
λ
SS1−SS2+a x d
qu'on peut réécrire sous la forme
I =I1+I2+ 2p
I1I2cos 2πx
i +ϕ0
Il s'agit bien d'une fonction périodique de x avec une période spatiale, l'interfrange, i= λ da . 2. Notion de cohérence
Considérons un point source primaire :S0 qui éclaire par deux sources monochromatiques de fréquences ν1 et ν2 deux trous de Young S1 etS2.
p1(M) est l'ordre d'interférence enM dû à la source de fréquence ν1
et p2(M) celui dû à la source de fréquence ν2.
Montrer que la diérence d'ordre d'interférence en un point M est
|∆p|=|p1(M)−p2(M)|= δ
c|ν1−ν2| 12 Cohérence temporelle d'une source exercice
Si la diérence de marche est δ = [(S0S2) + (S2M)−(S0S1)−(S1M)], ∆ϕ(ν1, M) = 2π νc1δ, et ∆ϕ(ν2, M) = 2π νc2δ, soit :
p1(M)−p2(M) = δ
c(ν1−ν2) Donc :
|∆p|= δ
c|ν1 −ν2|
Considérons deux points sources primaires très proches : P1 et P2 qui éclairent par une source monochromatique de longueur d'onde λ deux trous de Young S1 et S2.
~
u1 et~u2 sont des vecteurs normés dans les directions deS1 etS2 :~u1 =
−−−→P1S1
P1S1 et~u2 =
−−−→ P1S2
P1S2. p1(M)est l'ordre d'interférence enM dû à la sourceP1 etp2(M)celui dû à la source P2. Montrer que la diérence d'ordre d'interférence en un point M quelconque du plan d'observation est
|∆p|=|p1(M)−p2(M)| ≈
−−→P1P2.(~u1−~u2) λ
13 Cohérence spatiale d'une source exercice
P2S1 = r
−−→
P2P1+−−→
P1S12
. Donc P2S1 = P1S1
1 + 2.−−→
P2P1·~u1+
P1P2
P1S1
212
. Un dévelop- pement limité au premier ordre donne : P2S1 ≈ P1S1
1 +−−→
P2P1·~u1
. De la même façon, P2S2 ≈P1S2
1 +−−→
P2P1·~u2 .
∆ϕ(P1, M) = 2πλ [(P1S2) + (S2M)−(P1S1)−(S1M)],
et ∆ϕ(P2, M) = 2πλ [(P2S2) + (S2M)−(P2S1)−(S1M)], soit : p1(M)−p2(M) = 1
λ[P1S2−P1S1−P2S2+P2S1] Donc :
|∆p|=|p1(M)−p2(M)| ≈
−−→P1P2· (~u1−~u2) λ
Si la variation de l'ordre d'interférence est |∆p| > 1/2 en un même endroit du plan d'observation, les interférences sont brouillées.
Cela peut arriver :
• pour une source large (|∆p|est alors évalué sur la moitié de l'étendue spatiale de la source), on parle de cohérence spatiale ;
• pour une source non monochromatique (|∆p| est alors évalué sur la moitié de l'éten- due spectrale de la source), on parle de cohérence temporelle.
Critère semi-quantitatif de brouillage des franges à retenir
3. Dispositif des fentes de Young
dans le cas des trous de Young, ∆p est nulle au premier ordre si −−→
P1P2⊥(~u1 −~u2). On peut utiliser une fente source primaire (P1P2) orthogonale à ~u1 et~u2. ⇒
On peut utiliser une fente source primaire parallèle à deux fentes de Young : ainsi, on gagne en luminosité, sans brouiller les interférences.
14 Passage de trous de Young aux fentes de Young théorème
L'expérience des trous (et des fentes de Young) met en évidence le phénomènes d'interfé- rences.
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
Expérience de Young vidéo
La gure ?? représente comparaison des observations dans le cas des trous de Young et des fentes de Young.
Comparaison des dispositifs des trous de Young et des fentes de Young schéma
Figure 7 Comparaison des dispositifs des trous de Young et des fentes de Young
Exercice traité en n de cours
Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)
On assimile deux télescopes distants dea à deux trousT1 et T2 de taille négligeable et à une lentille d'axe optiqueOz, de centreO, de distance focale f0. Le foyer image de la lentille est notéF0 et le plan focal est le plan d'observation.T1 etT2sont à une distance a2 de l'axe optique.
1) Un unique objet ponctuel à l'inniAest observé dans la direction de l'axe optique.
Pour simplier, on supposera que cet objet émet une unique radiation de longueur d'ondeλ= 2,0 µm. 1.a) Où se trouve l'image géométriqueA0 deA?
1.b) Calculer la diérence de marcheδ0entre les ondes provenant deAet se recombinant enA0, passant par les deux trousT1 et T2.
1.c) Dans quelle mesure peut-on considérer que le contraste des interférence vaut 1 ? Dans la suite on supposera eectivement que le contraste vaut 1.
1.d) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuseIA(x)d'un point d'abscissexdans le plan focal.
1.e) En déduire l'expression de l'interfrange.
1.f) Tracer l'allure de la gure d'interférence dans le plan(xF0y) telle qu'on pourrait l'observer avec une caméra infrarouge.
2) Un unique objet ponctuel à l'inni B est observé dans la direction iB 6= 0 par rapport à l'axe optique dans le planxOz, avec les mêmes caractéristique queA.
2.a) A quelle distancexB deF0 se trouve l'image géométrique deB?
2.b) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuseIB(x)en un point d'abscissex. 2.c) L'interfrange est-elle diérente de celle trouvée précédemment ?
3) Deux objets ponctuels à l'inni AetB sont observés dans les directionsiA= 0 etiB6= 0 par rapport à l'axe optique dans le planxOz.
Pour simplier, on supposera que ces deux objets émettent une unique radiation de longueur d'onde λ= 2,0 µmet la même puissance lumineuse.
3.a) Ces deux sources sont-elles cohérentes ?
3.b) En déduire l'intensité lumineuseIASB(x)en un point d'abscissex.
3.c) Pour quelle(s) valeur(s) de a y a-t-il brouillage des interférences ? On exprimera le résultat en fonction deiB.
3.d) Proposer alors une méthode de détermination expérimentale de l'angle entre deux étoiles composant une étoile double.
3.e) Quelle est la valeur numérique (en secondes d'arc) de la limite de résolution angulaire imin du VLTI ?
Correction :
1) Observation d'une source ponctuelle dans la direction de l'axe optique 1.a) taniA= xfA0, donc xA= 0 (normal :A0 enF0).
1.b) La diérence de marche entres les ondes provenant deA et se recombinant enA0, passant par les deux trousT1 etT2 sur la gure 5 est δ0= 0 d'après la symétrie du problème.
1.c) Le contraste des interférence vaut 1 si les intensités passant parT1 etT2 sont identiques.
1.d) L'intensité lumineuse estIA=I1+I2+2√
I1I2cos 2πλδ
= 2I1
1 + cos 2πλδ
oùδest la diérence de marche. Le théorème de Malus permet d'écrireδ=a(im)⇒ δ=a xf0 .
1.e) Puisque IA = 2I1
h
1 + cos
2π λ
a f0xi
l'interfrange (périodicité spatiale des interférences) est i= λfa0 .
1.f) On observe des franges rectilignes (parallèles àF0y, éloignées dei), dans une zone circulaire autour deF0 qui est la tache de diraction ("tache d'Airy", non exigible).
2) Observation d'une source ponctuelle dans une direction diérente de celle de l'axe optique 2.a) taniB =xfB0, donc xB =f0iB .
2.b) L'intensité lumineuse estIB =I1+I2+2√
I1I2cos 2πλδ
= 2I1
1 + cos 2πλδoùδest la diérence de marche. Le théorème de Malus permet d'écrireδ=a(im−iB)⇒ δ= fa0(x−xB).
2.c) PuisqueIB = 2I1
h
1 + cos
2π λ
a
f0 (x−xB)i
l'interfrange (périodicité spatiale des interférences) est inchangée : i= λfa0 .
3) Observation de deux sources ponctuelles 3.a) Ces deux sources sont incohérentes.
3.b) L'intensité résultante est donc la somme des deux intensités : IASB(x) =IA+IB= 2I1
2 + cos
2π λ
a f0x
+ cos
2π λ
a
f0 (x−xB)
donc IASB(x) = 4I1
h
1 + cos
π λ a
f0(2x−xB) cos
π λ a f0xB
i. 3.c) Il y a brouillage des interférences sicos
π λ a f0xB
= 0soit πλfa0xB =π2 +kπoùk∈Z c'est-à-dire a= λfx 0
B
1 2+k
⇒ a= iλ
B
1 2+k.
3.d) On met les deux télescopes très proches (a 7→0) visant dans la direction de l'étoile double. On visualise des franges d'interférence. On éloigne ensuite un télescope de l'autre et on s'arrête lorsque brouillage des franges. L'angle entre les deux étoiles est alors iB =2aλ .
3.e)
imin correspond àamax, soit imin= 2aλ
max = 2×102×100−6 = 1,0×10−8rad= 21msec.
Techniques à maîtriser
I- Calculs de diérences de marche
Associer la grandeur scalaire de l'optique à une composante d'un champ électrique.
Exprimer le retard de phase en un point en fonction du retard de propagation ou du chemin optique.
Utiliser l'égalité des chemins optiques sur les rayons d'un point objet à son image.
Associer une description de la formation des images en termes de rayon lumineux et en termes de surfaces d'onde.
ce qu'il faut savoir faire capacités
∆ψO→M =RM O ~k.−→
d`=2πλ
0(OM) +ϕsup.
Le calcul de chemin optique revient à évaluer la distance dans un milieu LHI et la multiplier par l'indice optique du milieu, sachant qu'il y a égalité de chemin optique entre deux points conjugués.
NB : il y a égalité de chemin optique entre un pointAet deux pointsBetB0 sur le trajet de la lumière depuisA, si B etB0 sont sur la même surface d'onde (qui est un plan à l'inni).
A) Calculer un chemin optiqueméthode
Sur le schéma ci-contre, le point d'observation M étant dans le plan focal image, il est conju- gué avec l'inni.
Du point de vue de l'optique géométrique, les rayons issus deS1etS2qui aboutissent enM sont parallèles (et parallèles au rayon ctif qui passerait par le centre de la lentille sans être dévié).
Du point de vue de l'optique ondulatoire, commeHest le projeté orthogonal deS1sur le rayon issus deS2,H etS1 sont dans le même plan d'onde.
Ainsi,(S1M) = (HM)d'après le théorème de Malus.
B) Appliquer le théorème de Malusméthode
1.1) Calcul de chemin optique dans le cas des trous de Young à distance nie
On s'intéresse à deux sources qui sont à une distance a=S1S2, l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurs coordonnées sontS1 −a2,0,0
et S2 +a2,0,0
Le plan d'observation est le planz=D,D.est donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observation M a pour coordonnées(x, y, D).
Le milieu de propagation est l'air d'indice n= 1. 1) Déterminer le chemin optique (S1M). 2) En déduire(S2M).
3) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (S1M)−(S2M)?
1) (S1M) =
q−−−→
S1M2. En remplaçant par les coordonnées précédemment données, (S1M) =
r
x+a 2
2
+y2+D2 soit :
(S1M) =D.
1 +
x+a2 D
2 +y
D 2!12
On fait un développement limité à l'ordre 2 en Dx, Dy et Da :
(S1M) =D.
"
1 +1 2
x2+x.a+a42 +y2 D2
!#
2)
(S2M) =D.
"
1 +1 2
x2−x.a+a42 +y2 D2
!#
3)
∆≈ x.a D
1.2) Calcul de chemin optique dans le cas des trous de Young à distance innie
On s'intéresse à deux sources qui sont à une distance a=S1S2, l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurs coordonnées sontS1 −a2,0,0et S2 +a2,0,0.
Le plan d'observation est le plan focal d'une lentille convergente de focale f0. Un point d'observationM a pour coordonnées(x, y, D).
Le milieu de propagation est l'air d'indice n= 1.
1) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (S1M)−(S2M)?
1) La lentille conjugue le pointM avec l'inni dans la direction qui fait un angle αavec l'axe optique.
Aussi,S1 etH sont dans le même plan d'onde :(S1M) = (HM). La diérence de marche est
∆ = (S1M)−(S2M) =−S2H D'autre part, S2H=S1S2.sinα≈a.α=a.xf0 . Donc
∆ =−a.x f0
1.3) Calcul de chemin optique dans le cas du réseau
On s'intéresse à une onde plane issue de S à l'inni faisant un angle αi avec l'axe Oz. L'onde est incidente sur un plan orthogonal àOz contenant deux trous qui sont à une distance a=S1S2, l'un de l'autre sur l'axe Ox. On observe l'onde plane émergente qui fait un angleαeavec l'axeOz enM, à l'inni.
Le milieu de propagation est l'air d'indice n= 1.
1) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (SS1M)−(SS2M)?
1) La lentille conjugue le pointM avec l'inni dans la direction qui fait un angle αavec l'axe optique.
Aussi,S1 etH sont dans le même plan d'onde :(S1M) = (HM). La diérence de marche est
∆ = (SS1) + (S1M)−[(SH) + (HS2) + (S2J) + (J M)]
oùH est dans le même plan d'onde incident queS1 :(SS1) = (SH). EtJ est dans le même plan d'onde queS2 :(S1M) = (J M).
D'autre part,S2H =−S1S2.sinαi≈ −a.αi etS2J =S1S2.sinαe≈a.αi.αe. Donc
∆ =a.(αe−αi)
1.4) Diérence de marche en lame d'air
On s'intéresse aux deux miroirs parallèles distants dee, le premier miroir traversé par la lumière rééchissent une partie de celle-ci, et laissant passer l'autre partie. On repère la position sur l'écran à partir du foyerF0 avec le rayon r. Si la focale de la lentille estf0, θ= fr0 est l'angle que font les rayons qui vont interférer avec l'axe optique. Montrer que la diérence de marche enrvaut∆ = 2.e.cosθ.
La diérence de marche vaut∆ = 2.e.cosθ= 2.e 1−θ22
où θ= fr0 est l'angle que font les rayons qui vont interférer avec l'axe optique.
II- Trous et fentes de Young
Savoir que les franges ne sont pas localisées dans le cas des trous d'Young.
Dénir, déterminer et utiliser l'ordre d'interférences.
Interpréter la forme des franges observées sur un écran éloigné parallèle au plan contenant les trous d'Young.
Confronter les deux dispositifs des trous d'Young et des fentes d'Young : analogies et diérences.
Interpréter la modication des franges lors du rajout d'une lame à faces parallèles sur un des trajets.
ce qu'il faut savoir faire capacités
Une fois écrit l'intensité lumineuse grâce à la formule de Fresnel sous la forme I=I1+I2+ 2p
I1I2cos 2πx
i +ϕ0 l'interfrangeiapparaît naturellement.
C) Déterminer l'interfrange méthode
Sans la lame d'épaisseure, le chemin optique estL1=e.
Avec la lame d'épaisseured'indicen, le chemin optique estL2=n e.
La substitution de l'air (L1) par la lame (L2) introduit une diérence de marche∆ = (n−1)een plus dans le dispositif.
D) Interpréter l'eet du rajout d'une lame à faces parallèles sur un des trajets.
méthode
2.1) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à l'inni
On s'intéresse à la visualisation des interférences dans le plan focal d'une lentille convergente de focalef0. 1) Montrer que la diérence de marche est
∆ = ∆0−a.x f0 où∆0 est une constante.
2) En déduire que les franges sont donc rectilignes, parallèles à Oy, comme précédemment.
3) Montrer que l'interfrange est :i= λ.fa0.
1) La lentille conjugue le pointM avec l'inni dans la direction qui fait un angle αavec l'axe optique.
Aussi,S1 etH sont dans le même plan d'onde :(S1M) = (HM). La diérence de marche est
∆ = (SS1M)−(SS2M) =SS1−SS2−S2H
On peut poser comme précédemment∆0=SS1−S2M. D'autre part, S2H=S1S2.sinα≈a.α=a.xf0 . 2) L'intensité lumineuse enM est donc
I(M) =I1+I2+ 2p
I1.I2.cos 2π
λ x.a
f0 +ϕsup+2π.∆0 λ
On voit que l'intensité ne dépendant que de x, les franges sont donc rectilignes, parallèles à Oy, comme précédemment.
3) L'intensité lumineuse enM peut se réécrire sous la forme I(M) =I1+I2+ 2p
I1.I2.cos 2πx
i +ψ oùiest la période spatiale des franges, c'est à dire l'interfrange.
2.2) Trous de Young sans diraction
Une source ponctuelleS0(en(0,0,−l0)) monochromatique (de longueur d'ondeλ) éclaire un écran opaque (placé enz=−D, oùD < l0) est percé de deux trous ponctuelsS1(en(a2,0,−D)) etS2(en(−a2,0,−D)). On observe les inteférences sur un écran enz= 0.
1) Calculs généraux :
On considère que les trous envoient, sur tout l'écran, des ondes de même intensité I0. On néglige donc le phénomène de diraction.
1.a) Exprimer l'éclairementE en fonction de∆, la diérence de marche au pointM et I0. 1.b) Déterminer la diérence de marche∆ pour le pointM placé en(x, y,0).
2) On suppose de plus queD |x|etD |y|.
2.a) Grâce à un développement limité, simplier l'expression de∆. 2.b) En déduire la forme des franges.
2.c) Quelle est l'interfrangei?
1) Calculs généraux :
1.a) E= 2.I0. 1 + cos 2.π.∆λ . 1.b) ∆ =S1M −S2M =
q
x−a22
+y2+D2− q
x+a22
+y2+D2. 2) On suppose de plus queD |x|et D |y|.
2.a) ∆≈ −a.xD.
2.b) Les franges sont rectilignes, parallèles à(Oy). 2.c) i= λ.Da .
2.3) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à distance nie
On s'intéresse à deux sources qui sont à une distance a=S1S2, l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurs coordonnées sontS1 −a2,0,0et S2 +a2,0,0.
Le plan d'observation est le planz=D,Dest donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observation M a pour coordonnées(x, y, D).
Le milieu de propagation est l'air d'indice n= 1.
1) Montrer que la diérence de marche en fonction de xest
∆ = ∆0+x.a D où∆0 est une constante.
2) En déduire que les franges sont rectilignes, parallèles àOy. 3) Montrer que l'interfrange est i= λ.Da .
4) Pour visualiser à l'÷il nu les franges, il faut que l'interfrange soit susant, c'est à direi >100µm. Qu'est ce que cela impose sura?
