Diffraction d'une onde progressive par un écran en forme de demi-plan

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Diffraction d’une onde progressive par un écran en

forme de demi-plan

L. Cagniard

To cite this version:

DIFFRACTION D’UNE ONDE

PROGRESSIVE

PAR UN

ÉCRAN

EN FORME DE

DEMI-PLAN

Par L. CAGNIARD.

Sommaire. 2014 Le présent mémoire étudie l’onde diffractée _qui se forme _lorsqu’une onde _progressive, initialement sphérique et de profil arbitraire, atteint l’arête d’un écran eu forme de _demi-plan. Ce

problème 2014 le plus élémentaire de ceux de diffraction 2014 est traité _{comme un}

problème d’équations aux

dérivées partielles, avec conditions initiales et conditions aux limites. Il est résolu complètement, non

pas suivant les méthodes générales classiques d’intégration des _équations aux dérivées partielles, mais par une extension d’une méthode _proposée par Carson, particulièrement adaptée à ce genre de problèmes. Les formules très élémentaires définissant l’onde _{progressive permettent} la discussion immédiate du

phénomène et le calcul _numérique. Une

_application

_importante de ces formules sera _développée dans un

très _prochain mémoire.

1 Introduction. - - L’étude de la

_propagation

d’une onde conduit à la recherche des solutions d’un

_système

d’équations

aux dérivées

_{partielles, auquel}

sont

.adjointes

certaines conditions aux limites et certaines conditions initiales.

Les méthodes

_{classiques d’intégration}

des

_équations

.aux dérivées

_partielles

ne

_permettent

_pas, en dehors de très rares

_exceptions,

d’obtenir des solutions

utili-sables pour le

physicien.

Aussi,

dans

_{l’impossibilité}

d’atteindre des solutions correctes, ce dernier est-il

conduit à se contenter

_{d’approximations qui}

ne trou-vent leur

_{justification}

a

_posteriori

_{que dans l’accord} des résultats

_{expérimentaux}

avec ceux de la théorie. Telle est la méthode de Fresnel pour le calcul des

phé-nomènes de diffraction d’une onde

_harmonique

perma-nente.

Le

_problème

de l’état de

_{régime harmonique}

perma-nent est d’ailleurs

_{beaucoup plus}

_simple

_{que celui de}

l’onde

_progressive

car, si l’on admet que les

élongations

s’expriment

par des fonctions sinusoïdales du

temps,

les

_équations

du

_{problème, lorsqu’elles}

sont

linéaires,

,font

_place

à de nouvelles d’où la variable

_temps

a

disparu.

Mais il convient de faire toutes réserves sur

la _{valeur des raisonnements par}

_lesquels,

en donnant

aux notions de vitesse de

_phase,

_{de groupe, de}

propa-gation d’énergie

une

_{signification qu’elles}

_{n’ont pas} nécessairement on essaie de

_prévoir,

à

_partir

des

formules de l’état

_permanent,

ce _que

_peut

être le

phénomène

transitoire,

le

_phénomène

d’établissement,

c’est-à-dire l’onde

_progressive.

Certes,

en sommant des solutions sinusoïdales sous

la forme d’une

_intégrale

de

Fourier,

on

_{peut, lorsque}

les

_équations

sont

_{linéaires, espérer}

obtenir la solution du

_problème

de

_propagation.

Encore conviendrait-il

- _ce

qu’on

passe

généralement

sous silence - de

vérifier

_après

_{coup la correction du}

_procédé

en montrant par

exemple

que les dérivations sous le

_signe

somme -sont

_légitimes.

Ce

_point

_supposé

_acquis,

subsiste cette

difficulté que

l’expression

d’une fonction sous forme d’une série ou d’une

intégrale

de Fouricr ne

_permet

que très difficilement d’en discuter les

propriétés

ou d’en effectuer le calcul

_numérique.

Comme en

_témoigne

la belle étude de M. Galbrun

_(i),

des

_{renseignements}

_beaucoup

_{plus précieux}

son

obtenus

_lorsque,

à la suite de

_Hugoniot,

on définit la surface de front d’onde comme le

_siège

d’une disconti-nuité

_{cinématique.}

Les

_{conséquences}

de cette définition ont été

_{développées systématiquement}

par M. Hadamard dans ses célèbres

_Leçons

sur la

_propagation

des

_ondes(2).

Elles

_présentent

un intérêt d’autant

_{plus grand qu’à}

certains

_points

de vue elles

_apparaissent

comme très

générales.

Toutefois il convient de remarquer, d’une

part

que le front d’onde n’est pas nécessairement le

siège

d’une discontinuité

_{cinématique,}

d’autre

_part

que l’étude de la surface de front

d’onde,

de sa forme

et de la

_grandeur

de la discontinuité

_cinématique

dont il est éventuellement le

_siège

ne _{constitue que l’étude} d’une

_propriété

isolée des fonctions _par

_lesquelles

peut

s’exprimer

la solution.

Notre

but,

beaucoup plus

modeste,

est tout différent. Il vise la découverte de solutions

_complètes

et

rigou-reuses de

_problèmes

nouveaux, choisis

parmi

les

_plus

simples

mais les

_{plus typiques}

de la

_propagation

d’une

onde,

afin de

_permettre

un contrôle des

_applications

souvent hasardeuses

_qui

sont faites des

_principes

d’Huyghens

ou de Fermat.

De calculs

_poursuivis

actuellement,

qui

se

_rapportent

plus spécialement

à la

_sismologie,

est extrait le

_problème

élémentaire de diffraction ici traité dans ses

_grandes

lignes.

2. Enoncé du

_{problème. -}

Les

_équations.

-I. Soient trois axes

_{rectangulaires}

_Oy,

Oz.

L’écran en forme de

_demi-plan

a son arête suivant

Oy

est contenu dans le

_demi-plan

de l’écran.

Oz lui est normal.

CI) H. GALBRUN. _Propagation d’une onde sonore dans l’atmos-phère et Théorie des zones de silence (Gauthier-Villars,Paris, 193i). (~) J. HAD.BMARD. Leçons sur la propagation des ondes et les équa-t2ons de _{l’hydrodynamique. (Hermann, Paris,} 1903).

311

La source

_ponctuelle

S est située dans le

_plan

Nous définissions un

_point

_{M par} ses coordonnées

cylindriques

p,

0, x :

Les coordonnées

_cylindriques

de S sont _po, o. On ne restreint pas la

généralité

du

_problème

en

_posant

0

₀₀

x.

Nous poserons :

en

_désignant

_{par S’}

_l’image

de S _par

_rapport

à l’écran.

’ ’

II. Pour

_alléger

cet

_exposé,

nous

_{préciserons qu’il}

s’agit

d’une onde

_acoustique

se

_propageant

dans un fluide

_{homogène parfait,}

initialement au _repos, ainsi que d’un écran

parfaitement

réfléchissant. La méthode

permet

de traiter sans

_plus

de difficultés d’autres conditions aux

_limites,

voire de discuter la diffraction par une arête

_prismatique

ou un écran idéalement

absorbant. Les résultats obtenus _pour l’onde

_acoustique

s’étendent

_également

au cas de l’onde

électromagné-tique

sans même

_qu’il

soit nécessaire dans ce dernier

cas

_d’apporter

les

_quelques

restrictions _que nous devons énoncer au cours de ce

_paragraphe.

La méthode

_{d’intégration appliquée}

dans ce mémoire

ne convient en effet

_{qu’aux équations}

linéaires.

Aussi,

dans le cas de l’onde

_acoustique,

_{supposerons-nous} essentiellement que les mouvements sont

petits

Soient

les

_{coordonnées,}

à

_{l’instant t,}

du

_point

du fluide

_qui

(1) En fait, on démontre que, dans le cas dit des [ petits mouvements », ce sont les accélérations qui dérivent d’un

potentiel :

avec

~Cf. par ex. Galbrun. ouvrage cité, pages 61 à 70j

Nous poserons plus loin que les dérivées _partielles de la fonction U existent et sont continues jusqu’au second ordre au

coïncidait avec le

_point

M

_(x,

_{, y,}

_,;,)

de

l’espace

durant toute la

_période

_{initale de repos.}

we,

.ç, 1

définissent les

_composantes

du vecteur

élon-,

.

gation 1,

et nous _posons

la

_{fonction ’f}

devant satisfaire à

_{l’équation}

Q

_désignant

la vitesse de

_pha,sedes

ondes

_harmoniques

planes

dans le milieu considéré.

Il convient en outre _{de remarquer que, du fait}

_qu’on

adopte

les

_{équations (2)}

et

₍₃₎

comme

_point

de

_départ,

l’on _suppose

_également

_{que le}

_paramètre

SZ est bien

défini. Si les vibrations de la source sont suffisamment

rapides,

les

_phénomènes

de

_compression

et de dilata-tation sont considérés comme

_{adiabatiques,}

tandis

qu’ils

sont considérés comme isothermes si les vibra-tions sont suffisamment lentes. La valeur de Q

_qui

correspond

à ces deux cas extrêmes n’est _{pas la même.} Or nous _{remarquerons que si la}

_perturbation

initiale

est de durée limitée et

_correspond

à des vibrations

rapides,

le mouvement d’un

_point

du fluide débute

également

par des vibrations

rapides,

mais se

_prolonge

par une « cauda » de durée infinie caractérisée _{par des}

vibrations de

_plus

en

_plus

lentes. Les

_phénomènes

de

compression,

sensiblement

_adiabatiques

au début t

deviennent sensiblement _{isothermes par la suite. Il} est

certain a

_priori.

_{que dans} un tel cas, la théorie ne _pourra rendre

_compte

des résultats

_{expérimentaux qu’avec}

une

_{approximation}

médiocre.

III. L’écran est considéré comme infiniment

_rigide,

indéformable. Au

_voisinage

de

l’écran,

la

_composante

de

_{l’élongation}

normale à l’écran doit être nulle. La condition aux limites

_{correspondante}

s’écrit :

IV. Dans le milieu

illimité,

c’est-à-dire sans

_écran,

une solution des

_{équations (2)}

_et(3)

_s’exprime,

suivant un résultat

_classique,

_par

moins, dans tout _l’espace et quel que soit t, y compris sur les fronts d’onde, à la seule exception de la source sonore lorsqu’on

la suppose ponctuelle

De _plus, les _{élongations,} les vitesses, les accélérations, la

fonction Ú sont supposées identiquement nulles dans tout t

l’espace 0.

En intégrant (2 bis), il vient alors

Une nouvelle intégration conduit à _{l’équation (2)} et l’on

F (t)

est une fonction arbitraire

_{de t,}

_assujettie

à pos-séder

_quel

_{que soit t} une dérivée

_première

et une dérivée seconde.

La fonction ~’

_(t)

_peut

être

_{identiquementnulle}

avant une certaine

_époque;

_{l’équation (5)}

définit alors une onde

_progressive

_{pourvue d’un front avant}

_et,

éven-tuellement,

d’un front arrière. Une telle onde

_peut

être

engendrée

en

_imposant

aux divers

_points

d’une

_sphère

S de centre S et de

_rayonfiniR

des

_pulsations

radiales,

isotropes,

suivant une loi déterminée du

_temps

mais,

la solution

₍₅₎

n’est valable

_qu’à

l’extérieur de la

_sphère

~. Cette solution

₍₅₎

définira l’onde incidente ou directe dont nous nous _{proposons d’étudier la diffraction.}

Peut-être _{n’est-il pas} inutile _{de remarquer que tout}

problème

d’onde

_progressive

_comporte

des

_phases

suc-cessives dont chacune

_présente

des

_{complications}

nou-velles par

rapport

à la

_{précédente.}

C’est _{ainsi que} l’écran _{n’intervient pas tant que le} front de l’onde directe ne l’a pas encore atteint. Dans cette

_première

phase

du

_phénomène

l’onde directe se _propage comme

si le milieu était illimité. A

_partir

du moment où le front t de l’onde directe atteint

_l’écran,

un nouveau

problème

se _pose,

_qui

_est,

suivant le cas de

_figure,

un

_problème

de réflexion ou un

_problème

mixte

de réflexion et de diffraction

_(1).

Il faut encore un nouvel intervalle de

_temps

_{fini avant que le front} de l’onde réfléchie ou de l’onde diifractée vienne atteindre la

_sphère

E. Cet intervalle de

_temps

cons-titue la seconde

_phase

du

_phénomène.

A cette seconde

phase

fait suile une troisième dans

_laquelle

les

ondes

_déjà

réfléchies ou diffractées _{par l’écran sont} diffractées à nouveau _{par la}

_sphère.

Les ondes

dif-fractées par la

sphère

sont d’ailleurs réfléchies ou diffractées une nouvelle fois par l’écran. Il est donc aisé de

_prévoir

_{que le}

_problème

doit devenir

rapide-ment inextricable. Un

_problème

d’onde

_progressive

ne

_peut,

en

_général,

être résolu

_{que j}

_usqu’à

une

_époque

déterminée.

Dans le cas

_{actuel, nous}

nous sommes limités à l’étude

de la

_première

et de la

_secondephase

du

_phénomène.

Si

l’onde directe est

_plane,

c’est-à-dire si la

_{sphère Y-}

est

rejetée à l’in f ini,le phénomène ne comporte

d’ailleurs que ces deux

_phases.

Si l’onde directe est

_sphérique

nos

formules resteront encore valables

_après

_{que les ondes} réfléchies ou diffractées auront atteint ou

_dépassé

la

sphère

1. à la condition

_d’imaginer

_{que le rayon l~ est} infiniment

_petit

_{pour que la}

_{perturbation apportée}

_par la

_sphère

sur les ondes de retour

_puisse

être considérée

comme

_{négligeable.}

On sera donc amené à définir une source

_ponctuelle

S en

_posant

_{que la}

_{fonction w}

_y

présente

une

_singularité

donnée.

Une autre remarque

peut

être faite utilement.

Lors-qu’on

étudie la

_propagation

d’un front d’onde à

_partir

de la définition

_{d’Hugoniot, l’hypothèse}

d’une discon-tinuité

_cinématique

localisée sur ce front d’onde a

sur-(1) Ces _{explications, qu’il} est utile de fournir dès _maintenant,

paraitronl plus claires lors d’une seconde lecture du mémoire.

tout pour but de définir une

_{particularité qu’on puisse}

étudier isolément sans recourir à

_{l’intégration}

véritable des

_{équations (3)}

ou

_{(3 bis)}

de

_propagation.

Cet artifice n’est pas

utile,

bien au

_contraire,

_{lorsqu’on prend}

_pour

point

de

_départ

les

_équations

de

_propagation.

C’est

pourquoi

nous _{poserons que toutes les dérivées} par-tielles

_qui

_figurent

dans les diverses

_équations

_du pro-blème existent

_quels

_{que soient} x, y,

z, t,

exceptionr

faite de la source

_{ponctuelle qui}

se

_présente

comme

une

_{singularité.}

Comme il ne nous

_importe

_{pas que lets}

fonctions soient

_analytiques

ou _non, nous admettrons

même _que nos fonctions

_pourront

être continues et

indéfiniment dérivables par

rapport

à x,

quelles

que soient ces variables.

Par

_exemple

la fonction F

_(t)

_pourra avoir la défini-tion suivante :

Cependant,

sans vouloir nous demander si les

phé-nomènes

_{macroscopiques}

doivent être

_exprimés

_par des fonctions continues ou _{non, il est certain que le}

cas d’une fonction continue dont les variations sont

particulièrement

brusques

et

_rapides

_peut

être traité avec

_profit

et

_plus

de

_simplicité

en _{considérant que la} dérivée de cette fonction

_présente

comme cas limite une discontinuité

_(’).

C’est donc à ce

_point

de vue _que nous traiterons

«

_après

_{coup » les} discontinuités

_{cinématiques.}

V. En résumé le

_problème

consistera à déterminer

une solution des

équations (3)

et

_(4),

identiquement

nulle

₍₁₎

_{pour t}

₄

o, telle que la

diffé-rence demeure

_toujours

et

_{partout finie,}

conti-nue et indéfiniment dérivable. Cette solution doit enfin ’être telle _{que les}

_points

à l’infini restent au _{repos tant}

que t

demeure fini.

Méthode

_employée

_{pour obtenir la solution.} - La

méthode de Carson

_qui

a _{été décrite pour obtenir la}

solution de

_problèmes

d’établissement

_régis

_par des

équations

différentielles,

ne

_présente

à ce

_point

de vue

qu’un

intérêt

_{mathématique}

très restreint. Par

contre,

elle se

_{prête particulièrement}

à la découverte des solu-tions de

problèmes

du

_type

_{de celui que} nous traitons

ici,

où il

_s’agit

de chercher les

_{intégrales particulière}

d’un

_{système d’équations}

aux dérivées

_partielles

satis-faisant à des conditions initiales

_{qui s’expriment}

à l’aide d’une « fonction d’excitation » F

(t)

arbitra’re.

~

(1) C’est ainsi qu’un piston, sur lequel repose un _{corps pesant}

maintenu d’abord immobile, démarre avec une vitesse _nulle, mais une accélération différente de zéro lorsqu’on abandonne le corps aussi soudainement que possible Sur le front de l’onde

acoustique qui prend naissance est alors localisée une disconti nuité _cinématique dite « du second ordre ».

-+

(2) Pour i % 0, la condition /1== 0 entraîne _’.v = Cleo Nous pou.

vons _{supposer cette constante nulle, puisque ~} n’est défini qu’à

313

Si l’on admet certaines

_{hypothèses plausibles,}

dont

cependant

l’on ne

_peut

_{pas démontrer} a

_{priori qu’elles}

sont

nécessaires,

on _{démontre que la solution}

_peut

être

obtenue en deux

_{temps :}

11 En

_désignant

_{par p} un nombre

réel,

_positif,

on cherche une solution de la forme

qui

satisfasse à

_{l’équation (3) ;}

~t aux conditions aux limites :

En

_outre,

la fonction

_Xp,

_que nous

_désignerons

sous

le nom de « coefficient

exponentiel »,

s’annulera à

l’in-fini. Elle sera

_{partout finie,}

sauf en S. En ce

_point

la

différence

devra

_également

rester finie.

2> On détermine ensuite la transformée de

_Laplace

A

_(u)

relative à la fonction

Xp.

Cette transformée est

P définie par la relation

qui

constitue une

_éqnation

_intégrale

de

_{première espèce}

où A

_(u,

_{p, 0,}

_x)

est la fonction inconnue.

_{L’expression}

de

_Xp

est souvent fort

compliquée

et l’on

_peut

craindre que cette

équation

intégrale

ne conduise

_qu’à

une

impasse.

Il n’en est rien en

_général

si l’on cherche

pré-cisélnent à

_{exprimer la}

fonction

X p

sous forme d’une

intégrale

définie du mème

_type

_{que celle}

qui

figure

au second membre de

_(9),

de sorte

_qu’une

identification

immédiate des deux membres de cette

_équation

fasse

connaître une

_intégrale

A _que nous

_désignons

sous

le nom de « facteur de transmission ». Il

_importe

de

souligner

dès maintenant que

l’expression

du « facteur

de transmission »

_peut

_apparaître

ainsi comme

_plus

simple

que celle du coefficient t

_exponentiel

X ,

en d’autres termes

_{qu’un problème}

d’ondes

_progressives

peut

conduire à des formules

_plus

maniables

qu’un

problème

d’état

_permanent.

3° La théorie

_exprime

alors la solution du

_problème

sous la forme

en

_désignant

_{par J-?’}

_(l)

_{la dérivée de la fonction}

d’exci-tation

_{11 (t) .}

Bien

entendu,

comme les bases de la théorie sont

incertaines,

la solution

₍₁₀₎

conserve un caractère

dou-teux si l’on ne vérifie pas a

_posteriori

_{que ’~}

satisfait à toutes les conditions

_{imposées (équations}

aux

déri-vées

_partielles,

conditions aux

_limites,

conditions

ini-tiales). L’expression (10)

de

_tout

en étant

_plus

sim-ple

que celle de

est

cependant

souvent si

compli-quée

que cette

vérification

directe

_pourrait

conduire à des calculs inextricables.

Heureusement,

en dérivant par

rapport

aux diverses variables les deux membres des

_équations

₍₉₎

et

_(10),

ce

_{qui n’exige}

de la fonction A

_(u)

_{que certaines} conditions très

_générales

aisément

vérifiables, puis

en

_comparant

les résullats

_obtenus,

on arrive à montrer que les

équations

(3)

ou

₍₄₎

sont satis-faites par la solution

(10)

comme

_conséquence

des

équations

(7)

et

_(8).

_Quant

au fait que les conditions initiales sont _{vérifiées par la solution}

_(10),

_{il doit}

appa-raître au

_premier

examen de cette solution.

L’objet

très restreint de ce mémoire ne nous per-met pas de traiter avec

_l’ampleur

nécessaire cette

question, cependant

fondamentale _pour

_{l’application}

de la méthode de

_Carson,

et

_qui

n’a fait

_{jusqu’à paré.}

sent

_l’objet

d’aucune

_publication.

A vrai

_dire,

dans le

problème particulier

ici traité le facteur de transmission

A

_(u)

admet une

_expression

tellement

_simple

_{que la} vérification directe

_apparaîtra

comme des

_plus

faciles :

telle sera, en

_définitive,

la seule raison que nous nous bornerons ici à

_invoquer

_pour

_justifier

notre solution. 3. Détermination du facteur de transmission.

- Première fonction ramifiée. - La détermination

du coefficient

_exponentiel

_Xp

_pose un

_problème

d’état

de

_{régime exponentiel,}

d’une

_{signification physique}

à peu

près nulle,

dont la solution

_peut

être

_calquée

sur celle que Sommerfeld et ses élèves ont donnée au

pro-blème de l’état de

_régime

_harmonique.

Cette dernière solntion est

_{classique ~1) :}

_{aussi exposerons-nous} ce

premier point

très brièvement. Une solution de

l’équa-tion

₍₇₎

étant :

nous chercherons à définir une solution

_U,

_(première

fonction

_ramifiée),

sous la forme

en

_désignant

_{par a} une variable

_complexe

et C un

par-cours dans le

_plan

de cette variable.

Nous allons

_préciser

la

_{signification}

du

_radical,

sous

lequel

figure

x.

La

_quantité

sous le radical s’annule _pour

(1) MisES _{Differentiai Gleichungen} der (tome Il, Vieweg u. Braunschweig, 1935.. >

ou

Ces valeurs de a ont

_pourimages

les

_{points N, N, , N 2,..,}

1 N’t,

N’2...

de ramification du radical.

Fig. 2.

Lorsqu’on pratique

les coupures

figurées

ci-contre dans le

_plan

de la variable a, le radical est une fonction

uniforme. La détermination que nous

_envisageons

est

celle

_qui

se réduit à la racine

_{arithmétique quand a}

est réel.

Le parcours C que nous considérons est formé des deux

_tronçons

r,

r’ parcourus dans le sens

_indiqué

sur la

_figure

et

_qui

s’étendent tous deux

_jusqu’à

l’infini sur les

_parallèles

8

_{- ho}

- 7t et 8 -

60

+ ’7t

à l’axe des

ima-ginaires

pures

(~).

Les denx arcs de courbe reliant les

deux

_parallèles

entre

A,

B d’une

_part,

_A’,

B’ d’autre

part

sont

_quelconques,

à condition

_qu’ils

ne traversent

ni l’axe

réel,

ni les coupures.

Quand

on a

la

_quantité

sous le radical x’

+

p2

+

oo2

+ 2

ppo

Ch ~

est réelle et

_positive,

le radical

_désigne

la racine

arithmétique.

L’intégrale

(i1)

et celles

_qu’on

_{forme par dérivation}

sous le

_signe

somme sont donc uniformément

conver-gentes.

Par

suite,

cette

_première

fonction ramifiée

U1

est solution de

_{l’équation}

_(7).

Deuxième fonction ramifiée. - Ce _sera la fonction

U2

définie par

(voir

figure ci-contre) :

(1) Il n’est pas tout à fait correct de _{particulariser} ainsi dès le début le chemin d’intégration. (Cf. FRAXK-VON )IISES. Ouv. cité).

Le radical a même définition

_qu’au

_paragraphe

pré-cédent.

’

Fig. 3.

Ses

_points

de ramifications sont ici

T,

Ti ,

1°~,....,

T’, T! 1, T’2, ....

définis par :

Pour

le radical se réduit à une racine

arithmétique.

~2

est aussi une solution de

_{l’équation}

_(7).

Propriétés

des deux fonctions ramifiées. - I. Ces

deux fonctions sont

_{finies, continues,}

_dérivables,

sauf

si _{les parcours}

_{d’intégration}

viennent à _{passer par} un

pôle.

Les

pôles

sont les

_{points :}

où s’annule le

_{dénominateur}

Pour que les parcours viennent à _{passer par} un de

ces

_pôles,

il faut d’abord que les lucarnes

NN’, TT’

sel

réduisent à un

_point

de l’axe

_réel,

c’est-à-dire

ou

ou

ensuite,

pour la fonction

U, :

315

En ne

_prenant

en _{considération que tes}

_points

_par

lesquels

0 0 2 7U

qui

correspondront

par Eonvention à notre espace

physique,

tandis que les 0 0 ou les 0

> ~ ’1t

corres-pondront

à des espaces ramifiés de Riemann

qui

ne

signifieront

rien pour nous, les conditions

(13)

et

(t3 bis)

montrent que les parcours FB

r’ passent

par un

pôle (a = 0)

pour

c’est-à-dire

_quand

M coïncide avec la source S. Au

.

contraire,

les parcours

rB ne

passent

jamais

par

un

pôle quand

le

_point

M reste dans

_{l’espace physique.}

I~.

_Quand

il existe un

_{pôle («}

=

₀₎

situé _sur l’axe réel entre

~~ - 60 - ’1t et 0 -

00

+ ’it; l’intégrale li)

étendue à un contour fermé C formé de

r,

r’ et des deux

_{parallèles à}

l’axe des

_imaginaires

_{pures :}

est

_{égale, d’après}

le théorème des résidus à

Donc,

quand

M tend vers

_{S, U,}

devient infinie comme

à une fonction additive

_près,

_bornée,

_continue,

dé-rivable.

III.

U,

et

U2

tendent vers zéro

_lorsque

p devient infini.

IV. Pour 0 = 0 _ ~ _x, les fonctions sous le

signe

somme sont les mêmes dans

_{l’expression}

_{de U,}

ou de

U2.’

Pour 0

_{= 0,}

_{les parcours}

_{d’intégration}

sont

égale-ment les mêmes. ils se déduisent l’un de

l’autre _pa,r une translation de 4 1t

_{parallèlement}

à l’axe

réel, qui

laisse

_inchangée

la valeur des

_{intégrales, 4}

if)

étant la

_période

de

e

Dans les deux cas, on a donc

Y’. Un raisonnement similaire montre de même que pour 0 = 0 ou 2 _1:, l’on a : 1

Expression

du coefficient

_exponentiel

à l’aide des fonctions et

_U2.

- Il résulte du

paragraphe pré

cèdent que la somme des

_parties

réelles et

Lh

satisfait aux conditions

_exigées

du _coefficient

expo-nentiel

_X~.

_[~r,

₊

_Y2j.

₍

4

₈₁

_{J1tiJ 1}

d 3 la diffraction. -

Inté-grales

u. - Sur l’une

ou l’autre des

_quatre

_parallèles

à l’axe

_imaginaire

dont les abscisses sont

posons i- 2

a -~-

i ~

a

_{et 8}

réels.

et

_désignons

_par zc

_1"intégrale

_(il)

ou

_~~~)

effectuée le

long

de cette

_{parallèle depuis}

2a - i oc

_jusqu’à

n , .

où les radicaux sont des racines

_{arithmétiques.}

Par-tageons

l’intervalle

_{d’intégration}

en deux

_parties,

la

première

de - oc à

_0,

la seconde de 0 à

₊

_oo,

_puis

posons dans la

première

~=== 2013

~-

de manière à obtenir deux chemins

_{d’intégration}

de 0 à

₊

x .

Il vient

Intégrales

U1 et Ms. - Posons : _-.

Equation

intégrale

de la diffraction. -- C’est

l’équation :

qui

conduira immédiatement

_{à l’expression}

du facteur de transmission. On _{passe de l’une à l’autre des}

équa-tions

₍₁₈₎

en

_changeant

le

_signe

de 0.

Posons

_(t)

Il vient :

~en

_posant

D

_représente

la

_plus

courte

_longueur

d’une

_ligne

brisée

_{S I M,}

_{telle que le}

_point

I soit sur l’arête de l’écran.

Posons enfin : 1

L’intégrale

(19)

devient

en vertu d’une

_intégration

_par

_parties.

Il _{sulfit désormais de comparer les}

_équations

₍₁₈₎

et

i 2L»

pour obtenir

aussitôt,

par

identification,

une

sô-lution de

_{l’équation intégrale.}

Ainsi la

_{solution a,}

_s’exprime

à l’aide d’une D fonction dont la dérivée est discontinue pour u =

.

2

(1) Cette variable d’intégration n’a rien de commun avec la fonction u définie par l’intégrale (15) et dont nous ne ferons plus usage désormais.

Cette

_{discontinuité (’)}

_{exprime précisément,}

comme

nous le verrons dans un

_instant,

le mécanisme de la

propagation

par onde

progressive

(2).

L’intégrale

(21 ) définissant

iv, se calcule d’ailleurs

immédiatement

en _{convenant que la détermination de l’arc}

_tg

est

com-. 7c 7:

prise

entre

2013 2013

et 2

et en

_posant

La solution de la seconde

_{équation (18),}

s’écrit en

changeant

fi en - 0.

1

-avec

1"are,

_tg

étant de même

_compris

entre

5. Facteur de transmission de l’onde diffrac-tée. Solution du

_{problème. -}

Valeurs de

_U,

et

U2

dans les divers3s

_régions

de

l’espace.

- Il _ne reste

que

quelques

mots à

_ajouter

_{pour former la solution de}

l’équation (9),

c’est-à-dire

_{l’expression}

du facteur de transmission A

_(u).

_Rappelons

_{que, par définition}

et _que nous ne tenons

_compte

_{que des}

_points

de

_l’espace

physique

pour

lesquels

1’) Dans des _{problèmes plus compliqués,} il existe _plusieurs

discontinuités de ce _{gPnre affectant la fonction} ou ses dérivées.

Il _peut même en exister une infinité Ce dernier cas se

présen-terait par exemple si l’on traitait le problème de la diffra, tion par une fente.

n

(2) La valeur de la dérivée de al (u) pour est arbitraire.

On _peut de même modifier arbitrairement la valeur de en

un certain nombre de _points isolés Toutes les solutions de l’équation intégrale ainsi obtenues conduisent à la même

fonc-tion ~ (équation 10). Si l’on _impose à la fonction a1 (u certaines conditions très générales, on _{peut montrer que la solution de}

l’équation intégrale, si elle existe. est _{unique. Nous} n’avons pas insisté sur ce _{point, qui} ne _{présente pas d’intérêt immédiat}

317

1° Considérons d’abord la fonction

_Ul.

a)

Supposons

0 9 00

+

1r. Entre les deux pa-rallèles 6 -

0o

- ’7t et 6 -

@0 +

x se

_place

un

_pôle

et un

seul,

le

pôle a

= 0.

b)’

Supposons

Oo-)-~0;2T:.Il

n’existe pas de

pôle

entre les deux

parallèles

2 > _{Considérons la fonction}

6~.

a) Supposons

0

_{g 0}

60. Il existe un

_pôle,

,x _-_

0,

entre les deux

parallèles

- 0 - 60 -

7t et

b)

Supposons x -

60 8

C ~

7t. Il n’existe _{pas de}

pôle

entre les deux

_parallèles

Facteur de transmission de l’onde diffractée.

-Remarquons

d’abord que les calculs

précédents

ont montré incidemment que

Ui

et

Ll2

étaient réels

L’ex-pression

(14)

du coefficient

_{exponentiel ~p}

se réduit donc à

Par

_conséquent

est

_égal

à ul

_-E-

U2 à un terme

-- - , ,

additif

_près

suivant la

_région

de

l’espace

considérée.

Fig. 4.

Distinguons

ces

_régions

en

_supposant

conformément

au cas de

_figure

-On

_analyserait

de même le cas

qui

conduit aux mêmes formules

_dpfinitives.

D’où

La

_{première région}

est,

si nous

_employons

le

_langage

de

_{l’optique géométrique,}

la

_région

de

_pleine

lumière incidente et de

_pleine

lumière réfléchie.

La deuxième

_région

est la

_région

de

_pleine

lumière

incidente,

mais d’ombre

_{géométrique}

_{pour la} lumière

réfléchie.

La troisième

_région

est la

_région

de l’ombre

géomé-trique

à la fois pour la lumière incidente et la lumière réfléchie. Lés discontinuités de A

_(u)

marquent

l’arri-vée des fronts d’onde successifs. Si l’on se

_reporte

en effet à

_{l’équation}

₍₁₀₎

_{qui exprime}

la

_{solution ’1’}

_à par-tir de A

_(u),

il

_apparaît

_que les surfaces de front d’onde

ont pour

équations :

1° Pour l’onde incidente

2° Pour l’oncle réfléchie

La surface

_{correspondante}

est la

_partie

de la

_sphère

de centre S’ et de

_{rayon Q}

t située dans la

_première

région.

;3° Pour l’onde diffi@actée

Cette surface est un fuseau

_complet

de

_tore,

_engendré

en faisant tourner autour de l’arête l’un des arcs de cercle suivant

_lequel

la

_sphère

r ~ _est

_coupée

par le

_plan

_{défini par l’arête} et la source S.

Il semble à

_première

vue

_qu’en

dehors des disconti-nuités dont les divers fronts sont le

_siège,

existent d’autres discontinuilés de -1

_(u)

de

_part

et d’autre des

plans

6 == 1: -

60

ou 0 =

_Ao

_{+ ’7t}

_séparant

les diverses

régions.

Ce n’est

_qu’une

_apparence, car les détermina-tisons des arcs

_tang

_{qui figurent}

dans

_{1 expression}

de

wi et subissent au _{passage de} ces

_plans

des discon-tinuités

_qui

_compensent

celles

_{qu’introduisent}

l’appa-rition ou la

_disparition

des

termes -

ou -,,

r r

La définition suivante

_(u),

_équivalente

à celle

qui précède,

montre que A

(u)

ou ses dérivées sont des

fonctions continues en dehors des surlaces de fronts d’onde : La fonction zl

_(u)

est nulle dans le domaine extérieur à la lois à celui de l’onde

incidente,

à celui de 1 onde réfléchie et à celui de l’onde diffractée. Elle est

égale

à -

flans le domaine de l’onde incidente

exté-i.

rieur à la fois à celui de l’onde réfléchie et de l’onde

diffractée Elle

_{est égale}

à -

- 1,

dans le domaine

r >.

commun à l’onde incidente et à l’onde

réfléchie,

exté-rieur à celui de l’onde diffractée. Elle est

_égale

à

wl

+

to. dans le domaine de l’onde

diffractée,

si l’on

pose que dans le,s

expressions

(27)

de ll’i

et _1(’’1, les arcs

_tangente

sont _{définis par}

continuité,

et si l’on convient

_qu’ils

sont

_compris

entre

-- (-

_{et Î}

dans la

ré-2 2

gion

de l’ombre

_{géométrique}

commune aux inci-dente et

_réfléchie.

Telles sont les formules

_{définitives,}

valables dans

tous les cas de

_figure,

sur

_lesquelles

on vérifiera

aisé-ment

_qu’elles

satisfont aux

_équations

et conditions du

problème.

Une

_{application importante}

de ces formules sera

développée

dans un très

_prochain

mémoire.