Diffraction d'une onde harmonique par un écran en forme de demi-plan

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Diffraction d’une onde harmonique par un écran en

forme de demi-plan

L. Cagniard

To cite this version:

DIFFRACTION D’UNE ONDE

HARMONIQUE

PAR UN

ÉCRAN

EN FORME DE DEMI-PLAN

Par L. CAGNIARD.

Sommaire. 2014 Un récent mémoire (Journal de

_Physique,

_{1935, 6,} 310) exposait la solution du problème de la diffraction d’une onde _progressive, initialement sphérique et de profil arbitraire, par un écran en

forme de _demi-plan, ce _problème étant traité comme un _{problème d’équations} aux dérivêes _{partielles. Après} avoir brièvement indiqué les _{conséquences} de l’hypothèse d’une discontinuité cinématique localisée sur le

front de l’onde incidente et avoir montré en outre _que les formules _générales

fournissent à

la limite, la solution d’un problème statique, le mémoire traite enfin le problème de l’état de régime harmonique en le considérant aussi comme un cas _particulier du problème général. On _{supprime ainsi les difficultés que fait apparaître} l’expression des conditions à l’infini _lorsqu’on traite ce _{problème directement,} comme l’ont fait Sommerfeld et ses élèves.

On _parvient d’ailleurs à des formules _{beaucoup plus simples que celles de Sommerfeld} et qui se _prêtent

facilement au calcul numérique dans le cas des grandes longueurs d’onde, pour lequel l’approximation de Fresnel n’est pas valable. Dans le cas des _{petites longueurs} d’onde on _peut montrer que les formules se

réduisent, à peu de choses près, aux formules de Fresnel et il est _possible de discuter la valeur de l’approxi-mation ainsi obtenue.

Nous nous _proposons de traiter ici

_quelques

cas par-ticuliers de la solution

_{générale, exposée}

récemment

_(1),

du

_problème

de la diffraction d’une onde

_progressive,

initialement

_{sphérique, isotrope}

et de

_profil

arbitraire par un écran en forme de

_demi-plan.

Nous insisteront

particulièrement

sur l’état de

_{régime harmonique.}

Discontinuités

_cinématique

sur le front de l’onde diffractée. Les formules obtenues

_{présententl’avantage}

d’établir une distinction très nette entre le mécanisme propre-ment dit de la

_{propagation, exprimé}

_{par le facteur de} transmission

_A,

et toutes les

_{particularités}

accessoires de l’onde

_qui

sont sous la

_dépendance

de la fonction d’excitation.

Si nous avons

_{supposé d’abord,}

_{pour éviter toute}

dif-ficulté,

que la fonction

F(t)

est continue et indéfini-ment dérivable

_quel

_que

_{soit t,}

nous _pouvons désor-mais considérer des fonctions

_F(t)

_{plus générales,}

présentant

certaines discontinuités affectant ~’ ou ses

dérivées,

en considérant ces fonctions

_plus

_générales

comme les limites de fonctions

_F,

continues et indéfini-ment

dérivables,

dont certaines

dérivées,

tout en restant

continues,

présentent

des variations de

_plus

en

_plus

ra-pides.

Nous ne serons arrêtés dans cette

_{généralisation}

que par

l’obligation

de laisser à la solution une

signifi-cation

_physique

indiséutable.

Ainsi nous éviterons

d’envisager

des discontinuités du

_potentiel

ou de

l’élon-gation,

mais nous

_parlerons

volontiers de discontinuités

de vitesse ou

_{d’accélération,}

bien que la notion de dis-continuité de vitesse

_exige

une discontinuité de F"

_(t)

inadmissible si l’on se

_place

au

_point

de vue « le

_plus

strict » de

_{l’expression}

du

problème

à l’aide de ses

équations

aux dérivées

_partielles,

sans une étude

com-plémentaire spéciale

des

_phénomènes

sur la

_surface

de

front

d’onde.

En considérant une discontinuité de vitesse comme

du

_premier

ordre,

une discontinuité d’accélération

comme du second

ordre,

une discontinuité de l’accélé-ration seconde comme du troisième

_ordre,

etc...,

le (1) CAGNIARD L. Diffraction d’une onde progressive par un écran

en forme de _{demi-plan. (Journal} de

_Physique,

_{1935, 6, 310.)}

front de l’onde incidente est le

_siège

d’une disconti-nuité du nième ordre

_{représentée}

_par un vecteur radial

->

(n)

Cille.

porté

par S M si les n

premières

dérivées de F

(t)

sont continues

_{pour t}

~

0,

mais si la

_{(n +}

1)ième

est

dis-continue

Dans ces conditions le front de l’onde réfléchia est aussi le

_siège

d’une discontinuité

_cinématique

au nième ordre

_portée

_{par S’M :}

Si le vecteur

cI:L

est

_dirigé

vers l’extérieur de

-*

l’onde,

il en est de même de

Mais si l’on suppose

qu’aucune

des dérivées d’ordre

supérieur

â n

_{+ 1}

de la fonction T

_(t)

ne devient infinie

quand t

tend vers _{zéro par valeurs}

_positives,

_il appa-raît aussitôt en _{calculant les dérivées successives que} le front de l’onde diffractée n’est le

_siège

d’aucune dis-continuité

_cinématique

du

_type

_{précédemment}

décrit;

l’accélération

_{(n - 1)iéme}

est continue

_(pas

de disconti-nuité

_cinématique

du nième

_ordre),

mais l’accélération nième est infinie sur le front d’onde dans la

_région

ébranlée. On

_peut

d’ailleurs

_envisager

des fonctions

F(t) qui présentent

pour t

= 0 des

singularités

telles que le front de l’onde diffractée soit le

siège

de discon-tinuités

_{cinématiques}

du

_type

habituellement

_envisagé.

Nous n’insisterons pas

davantage

ici car cette

discus-sion ne

_présente

en réalité

_qu’un

intérêt secondaire. Problème

_statique

envisagé

comme cas limite du

_problème

dynamique.

Chaque

fois

_qu’un

_problème

de

_propagation

du

_type

actuel a été

résolu,

on obtient

_{immédiatement,}

_par un pacsage à la

limite,

la solution d’un

problème statique

correspondant.

Envisageons,

par

exemple,

la solution du

_problème

dans un milieu illimité

370

Si l’on suppose que F

_(t)

redevient _{nulle pour} l-

_{to >}

0 et reste nulle pour un

_point

M

_quelconque

de

l’espace

entre en mouvement à l’instant t

= rn et

revient définitivement au

_{repos à}

_{l’inslant É}

₊

to. L onde

ne

1

laisse pas subsister derrière elle un mouvement vibra-toire de durée infinie

_qu’on

_appelle

« cauda ».

Si,

au

_contraire,

la fonction

_{~’, après}

avoir subi des variations

_depuis

l’instant zéro

_jusqu’à

l’instant

_to,

demeure constante et différente de zéro pour il subsiste

_après

_{le passage de l’onde} un état de déforma-tion

_permanente,

caractérisé _par

K étant une constante. En d’autres termes _{les rayons}

des

_{sphères concentriques}

de centre

S,

de rayon r

s’ac-croissent

_(ou

_{diminuent) de quantités}

_qui

sont en raison inverse de r2.

Dans le

_problème

de diffraction

actuel,

si nous sup-posons que l’excitation F

(t)

a une _{durée finie et que} =

0,

l’onde incidente et l’onde réfléchie sont

dépourvues

de

_cauda,

_{mais il n’en est pas de même de} l’onde diffractée. Un

_point

1VI

_quelconque,

_après

_qu’il

a

été atteint

_par

le front de l’onde diffractée vibre indé-finiment. Dans la « cauda 1)

l’élongation

de

M,

sa

_vitesse,

son

_{accélération,}

_etc.,

tendent vers zéro

_{quand t}

croît indéfiniment.

Si r

_(/)

conserve une valeur constante _{f( pour t> to,}

il subsiste

_après

_{le passage de l’onde} un état de défor-malioo

_{permanente qui,}

au contraire de ce

_qui

a lieu dans le cas d’un milieu

illimité,

ne s’établit en un

_poiut

1B1

_qu’au

bout d’un

_temps

infini. Cet état de déforma-tion

_permanente

est _{caractérisé par}

Dans cette formule les arcs

_tg

sont définis _par conti-nuité.

L’état

de

_{régime harmonique.}

Au lieu de traiter directement le

_problème

de l’état de

_régime

_harmonique

à la manière dont nous avons traité l’état de

_{régime exponentiel,}

il est

_préférable

d’en chercher indirectement la solution en

_supposant

_{que la} source

S,

au _repos

_jusqu’à

l’instant

_zéro,

commence à

cette

_époque

à vibrer suivant une loi

_sinusoïdale

du

temps

pour

pour

et à chercher si la solution

_{correspondante admel,}

(1) Cette solution n’a _{quelque signification} physique que si

l’on suppose les variations de F très lentes et les élongations

très petites.

lorsque t

devient

_infini,

une

expression"

_{asymptotique.}

Cette manière de

_procéder

est

_beaucoup

_plus

cor-recte _{que la manière}

habituelle,

car elle évite l’intro-duction arbitraire de conditions à l’infini dont la néces-sité ne

_peut

_{pas ètre démontrée}

_{rigoureusement.}

Intégrale

I1.

- On

se trouve donc amené à cher-cher

_{l’expression asymptotique,}

_{pour t}

_infini,

d’inté-grales

du

_type

qui

deviennent,

en

_intégrant

_par

parties

et en

_prenan

t T

comme variable

_{d’intégration}

ou

Quand

t devient

infini,

les

_intégrales

_convergent

et

l’état de

_régime

_{est défini par :}

en

_posant

de sorte

_{qu’en adoptant}

la notation

_imaginaire

halo-tuelle

_(1),

nous éci ivons

Intégrale

Ji - ~-- Dans le calcul de

l’intégrale

(2)

nous

avons

_supposé

_{que l’arc}

_tangente

était

_compris

entre

- -

et

₊

ç;.

Nous serons donc amenés à considérer

2 2

également

des

_expressions

du

_type

que nous écrivons en notation

_imaginaire

)~

_désignant

la

_longueur

d’onde.

Expression

générale

de l’onde

harmonique

diffractée. - A un facteur constant

_près

_{d’amplitude}

et de

_{phase,clen employant}

la notation

_{imaginaireonaC):}

31

_région:

-.

_(ombre

_{géométrique}

de la source et de son

_images).

-.pc

₀₀

_{C ~~}

₊

₀₀

_(région

«

de la source et « ombre

_{géoiiiéliiquc »}

de

_limage

de la

source).

fre

_région:

0 0 _{~ ~ 2013}

₀₀

_(région

« lumière » de

la source et de

_l’image

de la

_source).

On notera l’indétermination et la discontinuité des

expressions :

-et

aux frontières des

_régions

ombre-lumière de l’onde directe et de l’onde réfléchie

_{respectivemenl.}

Les formules

₍₉₎

sont nouvelles. La théorie

_classique

de Sommerfeld _{aurait pu y}

conduire,

à condition de

particulariser

les chemins

_{d’intégration}

dans le

_plan

complexe.

Elles

_n’exigent

que le calcul

numérique

des

intégrales (10)

et

_(li)

_qui

est

_{particulièrement}

aisé ,

(I) Dans cette classification des _régions, nous nous _plaçons

dans le cas de

dans le cas où le

rapport!!..

_{n’est pas}

_trop

_grand.

D A

Si D

est très

_grand,

cas habituel des

_problèmes

de dif-fraction

_d’optique,

les formules

₍₁₀₎

et se

_prêtent

mal au calcul

_numérique

direct à cause du

_grand

nombre d’oscillations des fonctions sin

’-’ 1 ou cos

dans le domaine où les facteurs. et

n’ont pas encore de

valeurs

negli-geables.

_D

Nous allons montrer

_{précisément}

_que si

-:;-

est très

/,

grand,

les formules

₍₉₎

conduisent toutnaturellement à

l’approximation

de Fresnel.

Passage

aux

_intégrales

de

Fresnel.

Transformation de

_{l’intégrale}

5 bis. - Nous

allons transformer au

_{préalable l’intégrale}

(5

bis).

On a

Si donc l’on _pose

c’est-à-dire

il visent

. Posons à nouveau

372

Or,

dans les

_{expériences classiques}

de diffraction de rayons lumineux

(par exemple,

les

_expériences

entre-prises

par Fresnel lui-même pour vérifier ses formules

théoriques),

le coefficient

4n P

de i dans

l’exponen-À

tielle

_{qui figure}

sous le

_{signe d’intégration}

est très

grand.

Pour fixer un ordre de

_grandeur,

soit On a

La

_partie

réelle et la

_{partie imaginaire}

de

l’inté-grale

(13~

se

_composent

de termes de la forme

où

est une fonction décroissante

_qui

tend vers zéro

f(v)

quand v

devient infini.

Ces deux

_types

_{d’intégrales}

_{représentent}

la somme

d’aires alternativement

_positives

et

_négatives

consti-tuant une série alternée très

_rapidement

convergente.

(ÀXp

2)

Entre v = 0 et v -

0,01

la courbe sin

présente

déjà,

dans

_{l’exemple numérique}

_choisi,

400 zéros. La

_largeur

de la

_première

boucle est de 5

000.il--7,

celle de la seconde n’est

_{déjà plus}

_que

12~.10-7,

c’est-à-dire 40 fois

_{plus petite.}

Il est donc tout à fait

_légitime

de

_négliger

le terme

p

_{v2 devant l’unité} dans

_{l’expression}

de la fonction

_f(v)

b

puisque P

est

_toujours

inférieur à l’unité et

que 15 v2

D D

ne

_{peut prendre}

des valeurs _{sensibles que pour des} valeurs v telles que le reste de la série est

_négligeable

depuis longtemps.

On obtient donc la formule

_{approximative}

Or,

l’intégrale (14)

est du

_type

u

en

_{supposant a}

et b

_positifs.

Nous sommes donc ramenés aux

_intégrales

de

Fres-nel,

et nous avons la

_possibilité

de discuter la

valeur

de

_{l’approximation qu’elles représentent 1’ ).}

Ce résultat est

_également

nouveau.

Expression

générale

de l’onde

_harmonique

dif-fractée à l’aide des

_intégrales

de Fresnel

(expres-sions

_{approchées). -}

Les formules deviennent

_(~).

Troisième

_{région :}

6 >

60

+

7t

région:

Première

_{région :}

0

0

7t -

°0.

Abstraction faite des termes

_{complémentaires,}

_que la théorie

_{classique ignore,}

ces formules sont à peu de chose

_près

celles de Fresnel.

Remarque. -

En

_éloignant

le

_point

S à

l’infini,

la

théorie

précédente

conduit immédiatement aux

for-mules relatives à la diffraction d’une onde

_plane.

Ces formules sont

_{plus simples}

encore _{que celles}

_qui

se

rapportent

à l’onde

_sphérique.

Lorsqu’on

transforme les formules relatives à l’onde

plane

comme nous _{l’avons fait ici pour passer} aux

intégrales

de

Fresnel,

on

_{s’aperçoit}

_{que les formules de} Fresnel

_sont,

dans ce dernier cas,

rigoureuses.

Elles ne

comportent

pas non

_plus

de termes

_{complémentaires.}

Toutefois ce dernier résultat n’est pas absolument

nouveau, car on savait effectuer la réduction aux

inté-grales

de Fresnel dans ce cas

_{particulier (3)}

_par une

méthode

_qui,

selon _{la propre}

_expression

de Sommer-feld était « malheureusement

_quelque

_peu

artifi-cielle

_{)} (4).}

(1) On _peut traiter de la même manière le problème de l’écran « noir n. _{Ici encore, le procédé que} nous venons d’exposer permet la réduction aux _intégrales de Fresnel.

sous-entendons partout le facteur e-iwt

(3) FRANH VOIY 3IIsEs. _{Differential-Gleichungen} der Physik. Tome II.

(4) « Leider etwas künstlich ».