Plan du problème

(1)

MATHÉMATIQUES I

Plan du problème

Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur les applications intégrables. Elles sont illustrées par la partie I et utilisées pour établir les résultats de la partie II. Dans les parties III et IV, on étudie le com- portement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui précèdent.

Rappels et notations

• Soient et deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s’annu- lant pas au voisinage d’un élément , sauf éventuellement en ce point. et sont dites équivalentes en si et seulement si leur quotient tend vers en . On notera alors en . est dite négligeable devant en si et seulement si le quotient tend vers en . On notera alors

en .

• Soient et deux suites réelles de termes non nuls à partir d’un cer- tain rang. Les suites et sont dites équivalentes si et seulement si la suite définie pour assez grand par converge vers ; on note alors . La suite est dite négligeable devant si et seulement si converge vers ; on note alors .

• Pour une série de nombres réels, on note la suite de ses sommes partielles :

pour , .

Si de plus est convergente, on note la suite de ses restes :

pour , .

• désigne le logarithme népérien.

f g

b∈IR∪{+∞ ∞,– }

f g b

1 b f

∼

g ^{b f}

g b f g⁄ 0 b

f = o g( ) b u_n

( ) ( )v_n u_n

( ) ( )v_n w_n

( ) n w_n u_n

v_n ---

= 1

u_n

∼

v_n ( )^un ( )v_n

w_n

( ) 0 u_n = o v( )_n

u_n

∑

⁽^Sⁿ⁾ⁿ∈^IN

n∈IN S_n u_k

k=0

∑

n

=

u_n

∑

⁽^Rⁿ⁾ⁿ∈^IN

n∈IN R_n u_k

k=n+1 +∞

∑

=

ln

(2)

Filière PC

Préliminaires

Soit et , et deux applications continues par morceaux sur à valeurs strictement positives.

1) On suppose que est intégrable sur . a) Montrer qu’en , la relation entraîne

.

b) Montrer qu’en , la relation entraîne

(on justifiera l’intégrabilité de sur les intervalles considérés).

2) On suppose que n’est pas intégrable sur .

a) Montrer qu’en , la relation entraîne .

Montrer à l’aide d’exemples que l’on ne peut en général rien dire de l’intégrabi- lité de sur .

b) Montrer qu’en , la relation entraîne . Que dire de l’intégrabilité de sur ?

Partie I -

I.A -

I.A.1) Déterminer un équivalent simple de en .

I.A.2) En déduire un équivalent simple de en . I.B -

I.B.1) À l’aide d’une intégration par parties, montrer qu’en , on a

a∈IR b∈]a,+∞[∪{+∞} f g

[a b, [

g [a b, [

b f = o g( )

xf

∫

b ^o x^g

∫

b

 

 

=

b f

∼

g

∫

_x^b^f x^g

∫

b

∼

f [x b, [

g [a b, [

b f = o g( ) f

a

∫

x ^o a^g

∫

x

 

 

=

f [a b, [

b f

∼

g ^f

a

∫

x a^g

∫

x

∼

f [a b, [

e^t Arc sin t ---dt

x

∫

1 ⁰⁺

e^t Arc sin t --- dt

x³ x²

∫

⁰⁺

+∞ t

d ln( )t ---

2

∫

x

∼

^ln---( )^x^x

(3)

I.B.2) Plus généralement, si est un entier naturel, établir le développe- ment asymptotique suivant en :

. I.C -

I.C.1) Justifier le développement asymptotique suivant en : .

I.C.2) Écrire, dans le langage associé au logiciel de calcul formel utilisé, une procédure permettant d’obtenir le terme d’indice ( ) du développement asymptotique en (par rapport aux , ) de :

(on indiquera le logiciel de calcul formel utilisé).

Partie II -

Soit un nombre réel et une application de classe sur à valeurs strictement positives. On suppose que le quotient tend vers une limite finie en .

II.A - Montrer à l’aide des préliminaires qu’en , tend vers (on peut distinguer le cas ).

II.B - On suppose dans cette question . II.B.1) Montrer que est intégrable sur . II.B.2) Montrer qu’en , on a

(on peut considérer et utiliser les préliminaires).

II.C - On suppose dans cette question . II.C.1) Étudier l’intégrabilité de sur . II.C.2) Montrer qu’en , on a

.

n +∞ t

d ln( )t ---

2

∫

x _ln---^k^k!x⁺¹_{( )}_x

k=0

∑

n +^o_ln---ⁿ⁺^x¹_{( )}_x

=

+∞ e^t

t²+1 --- dt

1

∫

x ^ex---^x² 2e^x

x³ --- o e^x

x³ ---

  

+ +

=

n n≥2

+∞ e^x

x^k --- k≥2

x e^t

t²+1 --- dt

1

∫

x

a

a f C¹ [a,+∞[

x f′( )x f x( ) ---

α +∞

+∞ ln(f x( )) ln( )x

--- α

α = 0

α<–1

f [a,+∞[

+∞ f

x

∫

+∞

∼

^–---α^{xf x}+^{( )}1 xf x( )

α+1 ---

α>–1 f [a,+∞[ +∞

af

∫

x

∼

---^{xf x}α+^{( )}1

(4)

strictement positives telles qu’en le quotient tende vers une limite , mais telle que l’on n’ait pas .

II.D -

II.D.1) Étudier l’intégrabilité sur des applications , selon .

II.D.2) Étudier, à l’aide des questions précédentes, l’intégrabilité sur

des applications , selon et .

II.E - Que conclure quant à l’intégrabilité de sur dans le cas ?

Partie III -

Dans cette partie, on considère une application de classe sur , à valeurs strictement positives.

On suppose qu’en , tend vers .

On considère la série de terme général . On note la suite de ses sommes partielles et la suite de ses restes quand la série converge.

On associe à deux applications et continues par morceaux sur et définies par :

pour tout et tout , et .

On pose enfin pour tout , .

III.A - Soit fixé.

Montrer l’existence de tel que pour tout entier et tout , on ait :

(on peut considérer ).

III.B - On suppose dans cette question que n’est pas nul. Déduire de III.A que lorsque tend vers , on a

.

III.C - On suppose encore dans cette question que n’est pas nul.

III.C.1) Exprimer pour les intégrales et à l’aide de .

+∞ ln(f x( )) ln( )x ---

α>–1 f

a

∫

x

∼

^{xf x}---α+^{( )}1

[2 +, ∞[ x 1

x(ln x)^β --- a

β∈IR

[2 +, ∞[

x 1

x^γ(ln x)^β ---

a β∈IR γ∈IR

f [a,+∞[ α = –1

f C¹ IR⁺

+∞ f′( )x f x( )

--- α∈IR

f n( ) (S_n)_n_∈_IN R_n

( )_n_∈_IN

f u v IR⁺

n∈IN^* x∈[n–1,n[ u x( ) = f n( ) v x( ) f t( )dt

n–1

∫

n

= x∈IR⁺ h x( ) = e^–^α^xf x( )

ε>0

n₀∈IN^* n≥n₀

t∈[n–1,n]

h t( )–h n( ) ≤(e^ε–1)h n( ) h′ ---h

α

n +∞

f t( ) dt

n–1

∫

n

∼

¹---^–α^e^–^αf n( )

α

k∈IN^* v t( )dt

k–1

∫

k k–1^{u t}^{( )}^d^t

∫

k

f

(5)

À l’aide des préliminaires, établir les résultats suivants :

III.C.2) Si est intégrable sur , alors la série de terme général converge et on a quand vers ,

.

III.C.3) Si n’est pas intégrable sur , alors la série de terme général diverge et on a quand vers ,

.

III.D - On suppose à présent que .

Montrer alors que la série de terme général est convergente si et seulement si est intégrable sur , avec en cas de convergence et

en cas de divergence.

Partie IV -

IV.A - À l’aide de ce qui précède, déterminer un équivalent simple des sommes suivantes quand tend vers :

IV.A.1)

IV.A.2)

IV.A.3)

IV.B - Soient et deux suites réelles strictement positives équivalentes.

On note pour tout ,

et .

f IR⁺

f n( ) n +∞

R_n α

1–e^–^α

--- f t( )dt

n +∞

∼ ∫

f IR⁺ f n( )

n +∞

S_n α

1–e^–^α

--- f t( )dt

0

∫

n

∼

α = 0

f n( )

f IR⁺ R_n f t( )dt

n +∞

∼ ∫

S_n f t( )dt

0

∫

n

∼

n +∞

1 k---

k=1

∑

n

( )k ln

k=1 n

∑

2^kln( )k

k=1

∑

n

a_n

( )_n_∈_IN ( )b_n _n_∈_IN n∈IN

S_n( )a a_k

k=0 n

∑

= S_n( )b b_k

k=0 n

∑

=

(6)

Dans le cas où ces séries convergent, on note pour tout , et

IV.B.1) Montrer que si converge, alors quand tend vers , on a .

IV.B.2) Montrer que si diverge, alors quand tend vers , on a .

IV.C - Déduire de ce qui précède les résultats suivants lorsque tend vers : IV.C.1)

IV.C.2)

où et sont deux constantes qu’on ne demande pas d’expliciter.

IV.C.3) Que vaut ?

••• FIN •••

n∈IN

R_n( )a a_n

k=n+1 +∞

∑

= R_n( )b b_n

k=n+1

∑

+∞

=

a_n

∑

ⁿ ⁺^∞

R_n( )a

∼

R_n( )b

a_n

∑

ⁿ ⁺^∞

S_n( )a

∼

S_n( )b

n +∞

1 k---

k=1 n

∑

^ln^{( ) γ}ⁿ 2n---¹ o1 n--- ( )

+ + +

=

n! δn

n 1 2--- +

e^–ⁿ 1 1 12n--- o1

n--- ( )

+ +

 

 

=

γ δ

δ