ECS1 H. Boucher pour le 09/04/2021 Devoir maison no7
La pr´esentation, l’orthographe et la qualit´e de la r´edaction seront prises en compte.
Les r´esultats des questions non r´esolues pourront ˆetre admis pour la suite.
Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .
La recherche de l’int´egralit´e du sujet est indispensable pour tous.
Cependant, vous r´edigerez un devoir par binˆome. Bien sˆur les ´ecritures des deux signataires devront apparaˆıtre de mani`ere significative dans la copie.
Extrait du r`eglement des concours :
Les informations fournies par le candidat engagent sa responsabilit´e. En cas d’erreur de d´eclaration, de non- respect des r`egles, d’omission ou de fausse d´eclaration, le candidat s’expose `a des cons´equences pouvant aller jusqu’`a l’exclusion du ou des concours pr´esent´es et `a la perte du b´en´eficie ´eventuel de l’admission dans une
´ecole.
Lors du d´eroulement des ´epreuves, le non-respect des r`egles, la fraude, ainsi que la suspicion ou la tentative de fraude sont passibles de sanction. Un candidat pris en flagrant d´elit de fraude ou suspect´e de fraude fera l’objet d’un proc`es-verbal. (...) Les sanctions sont ap- pliqu´ees en fonction de la gravit´e de l’infraction et des circonstances (...). Selon la gravit´e des faits : avertis- sement, attribution de la note z´ero ´eliminatoire, exclu- sion de tous les concours pour la session consid´er´ee, exclusion d´efinitive des concours pr´esents et futurs.
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Exercice 1
Soit P le polynˆomeP =X6−5X4+ 8X3−9X2+aX+bo`u aetbsont deux r´eels.
1. D´eterminer aet b pour que 1 soit racine multiple du polynˆome P. Dans la suite de l’exercice, a etb auront ces valeurs. Quel est alors l’ordre de multiplicit´e de 1 comme racine de P?
2. Factoriser P surR[X] puis surC[X] (en produit d’irr´eductibles).
3. Factoriser P(X2) surR[X] puis surC[X] (en produit d’irr´eductibles).
4. Montrer successivement mais sans calcul, queP0, P(2) et P(3) poss`edent chacun au moins une racine r´eelle dans l’intervalle ouvert ]−3,1[.
Exercice 2
Soit n∈N. On va ´etudier les polynˆomesPn∈R[X] qui v´erifient
∀x∈R, Pn(cosx) = cos(nx).
1. (a) Soit n∈N. Montrer que si in tel polynˆome existe, alors il est unique.
(b) Calculer P0,P1 etP2.
(c) Montrer par r´ecurrence double que
∀n∈N, Pn existe et v´erifiePn+2= 2XPn+1−Pn. 2. (a) D´eterminer le degr´e de Pn et son coefficient dominant.
(b) R´esoudre dans [0,π] l’´equation cos(nx) = 0. En d´eduire l’ensemble des racines de Pn puis sa d´ecomposition en produit d’irr´eductibles.
(c) En ´evaluant judicieusementPn, calculer
n−1
Y
k=0
cos
(2k+ 1)π 2n
.
Probl`eme 1
L’objet de ce probl`eme est de d´eterminer tous les polynˆomesP ∈C[X] qui v´erifient :
P(X2) =P(X)2. (1)
1. D´eterminer tous les polynˆomes constants qui v´erifient (1).
Soit d´esormais P ∈C[X] un polynˆome v´erifiant (1).
2. (a) D´eterminer les valeurs possibles de P(1).
(b) Dans chacun de ces cas, d´eterminer alors les valeurs possibles de P(−1).
(c) En d´eduire les polynˆomes de degr´e 1 v´erifiant (1).
Supposons P non constant. Soitaune racine deP.
3. (a) Montrer que pour toutn∈N,a2n est aussi une racine deP. (b) Montrer que si aest non nulle, il exister∈N∗ tel quear= 1.
Soit θ∈[0,2π[ tel quea=eiθ soit une racine deP.
4. (a) Montrer que pour toutn∈N,eiθ/2n est aussi racine deP. (b) En d´eduire la valeur de θ.
5. Supposons que 1 est racine deP. Montrer que−1 est aussi racine deP. Que peut-on en d´eduire ? 6. Donner finalement toutes les racines de P.
7. Conclusion : quels sont tous les polynˆomes de C[X] v´erifiant (1).
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