Devoir maison 1 à rendre le jour de la rentrée

Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC Mathématiques Mr RHARIF | 1

PC DM 1

Soit la fonction :

 

 

²

: 0,

1 f

x x x

 





 1. Etude de f

(a) Etudier les variations de f sur



^0,



(b) En déduire que l’intervalle ^I

 

^0,1 est stable par f

Rappel : l’intervalle I est stable par f si, et seulement si, :

 

^{x I}



^



^{f x}

 

^I

 

(c) Etudier le signe de ^{f x}

 

^{x sur I}

On définit la suite

 

^u_{n n} ^{par :}u0 1 et  n ^, un_1 f u

 

n 2. Convergence de la suite

 

^u_{n n}

(a) Calculer u₁ et u₂

(b) Montrer que  n ^,unI

(c) Etudier la monotonie de la suite

 

^u_{n n}

(d) En déduire que la suite

 

^u_{n n}est convergente et préciser sa limite.

3. Une première suite auxiliaire On pose pour n^,

1

1 1

n

n n

v u _ u (a) Montrer :  n ^,

0 1

n 1

u n

 

 (b) En déduire que  n ^,

2 2 1

n 1

v n

  

 4. Une suite très classique

On pose pour n^*,

1

1

n n

k

H  k





^.

(a) Rappeler la nature de la série 1



n et en déduire que lim _n

n H

  

(b) Montrer, à l’aide d’une comparaison série intégrale que :

n ln

H n

 5. La constante  d’Euler (très classique)

On pose pour n^*,

1 ln

n n

a H n

  n et 1

n n ln

b H n

  n (a) Montrer que :  x 0 ,

 

1 ln 1

1

x x x x

x

   



(b) Montrer que les suites

 

an n_1 et

 

bn n_1sont deux suites adjacentes.

Les suites

 

an n_1 et

 

bn n_1sont adjacentes donc elles sont convergentes et ont la même limite  (c) Déterminer un entier n pour lequel a_n est une valeur approchée de  à 10^3 près.

Rappel :  0 , un réel a est une valeur approchée du réel x à  près lorsque a x 

Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC Mathématiques Mr RHARIF | 2 6. Un équivalent de u_n

(a) montrer que pour tout entier n1 ,

2 1 1 2 1 _n

n

n n H

 u    (b) En déduire un équivalent simple u_nlorsque n 