A R´ eduction de l’intervalle d’´ etude

ECS1 H. Boucher 25/09/2020 Devoir surveill´e n^o2 (dur´ee : 3 heures)

Les calculatrices et les documents sont interdits.

Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .

Si le candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il l’indique sur sa copie et poursuit en expliquant les initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.

Exercice 1 Questions ind´ependantes

1. Soit (u_n) une suite de nombres d´efinie par u₀ = 2 et pour tout n∈N,u_n+1 = 2u_n−n. Montrer par r´ecurrence que pour tout n∈N,u_n= 2ⁿ+n+ 1.

2. Soit N un entier sup´erieur ou ´egal `a 1.

(a) D´eterminer trois r´eelsa,b,ctels que pour tout k∈N^∗, 1

k(k+ 1)(k+ 2) = a k + b

k+ 1+ c k+ 2. (b) En d´eduire que

N

X

k=1

1

k(k+ 1)(k+ 2) = 1

4− 1

2(N + 1)(N + 2). 3. Soit pun entier sup´erieur ou ´egal `a 2. Calculer

p

Y

k=2

3kln(k+ 1) ln(k) . 4. Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a 2.

On rappelle que, pourx,y∈R, max(x,y) =

(x six > y

y sinon et min(x,y) =

(x si x < y y sinon . (a) Calculer X

16i,j6n

max(i,j).

(b) Calculer X

16i,j6n

2^min(i,j).

5. Montrer que pour tout entiernimpair,

xⁿ+yⁿ= (x+y)

n−1

X

k=0

(−1)^kx^n−1−ky^k.

6. Soit n ∈N^∗ et soit f :R→ R une fonction p´eriodique de p´eriode n. Soit g la fonction d´efinie sur R parg:x7→

n−1

X

k=0

f(x+k). Montrer que gest 1-p´eriodique.

7. Soit f :R→R une fonction impaire. D´eterminer f(0).

1

Probl`eme 1

A Une somme particuli` ere

1. Soit (a_n)n∈Nla suite de nombres d´efinie par a₀ =−1 et pour tout n∈N,a_n+1= 3a_n+ 4n+ 2.

(a) Calculer a1, a2 et a3. (si vous voulez, v´erifiez que a4 = 71; si vous n’avez pas cela, relisez la d´efinition et corrigez-vous avant de poursuivre)

(b) Montrer que pour tout entiern>2,a_n∈N^∗.

(c) En d´eduire que la suite (a_n) est strictement croissante.

2. Pour toutn∈N, on poseb_n= a_n+ 1 3ⁿ⁻¹ . (a) Pour toutk∈N, calculerb_k+1−b_k. (b) En d´eduire que pour toutn∈N,bn= 4

n

X

k=0

k 3^k. 3. Pour toutn∈N, on posecn=an+ 2n+ 2.

(a) Montrer que (cn)n∈Nest une suite g´eom´etrique.

(b) En d´eduire une expression decnpuis de anen fonction de n∈N.

4. `A l’aide des r´esultats pr´ec´edents, montrer que

∀n∈N,

n

X

k=0

k 3^k = 3

4−2n+ 3 4×3ⁿ.

B Une formule g´ en´ erale

Pour tout n∈N^∗, on pose Sn=

n

X

k=1

kx^k.

5. `A l’aide du changement d’indice j=k−1, montrer queSn=x(Sn−nxⁿ) +

n−1

X

j=0

x^j+1.

6. Donner la valeur de

n−1

X

j=0

x^j+1 et en d´eduire que

Sn= x−(n+ 1)xⁿ⁺¹+nxⁿ⁺²

(1−x)² .

7. Retrouver cette formule `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence.

8. V´erifier le r´esultat de la question 4.

2

Probl`eme 2

Soit f d´efinie par f :x7→e^cos(x). On rappelle que 2< e <3.

A R´ eduction de l’intervalle d’´ etude

1. Donner deux fonctions g et h telles que f = h◦g en pr´ecisant leurs ensembles de d´efinition et de d´erivabilit´e. En d´eduireD_f l’ensemble de d´efinition et de d´erivabilit´e de f.

2. Montrer que f est p´eriodique et en donner une p´eriode. Quel intervalle d’´etude peut-on alors choisir pour f?

3. ´Etudier la parit´e de f. Proposer alors un intervalle d’´etude optimal pourf. On le noteraI.

B Etude ´

4. Pour toutx∈Df, montrer que f⁰(x) =−sin(x)e^cos(x).

5. D´eterminer sur I le signe def⁰ et en d´eduire les variations de f. 6. R´esoudref(x) = 1 sur l’intervalleI.

7. Tracer une allure de la courbe repr´esentative de f sur I et (sur le mˆeme dessin) la prolonger sur un domaine pertinent en pr´ecisant les manipulations effectu´ees.

C Pr´ ecisions

8. Montrer que l’´equation f(x) = 2 admet une unique solution sur [0,π].

9. Montrer que pour tout x∈R,f(π−x) =f(π+x). Quelle propri´et´e g´eom´etrique peut-on en d´eduire sur la courbe repr´esentative de f?

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