Devoir à la maison N°01

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Devoir à la maison N°01

Lycée Secondaire Classe :

Ali Zouaoui 4 ^ème Sciences EXERCICE N° 01

Cocher la réponse juste

 La fonction ^{x  sin}   ^{ x 2} est dérivable sur  et sa dérivée est : A ^{x  cos}   ^{ x 2}

B ^{x  2  x cos}   ^{ x 2}

C x  cos 2   x 

 On considère la suite   u _{n n }

^*

définie par ₂  

1

1 ⁿ . ;

n

k

u E k E

n 

  ^ est la fonction partie entière , alors lim _n

n u

  A 

B 2

 C 0

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  ^{O,u,   v} 

 Soit    1 i  .L’ensemble des points M d’affixe z x iy   tel que z     1 i 3 4 i à pour équation :

A y    x 1 B  x  1  ²  y ²  5 C z    1 i 5 e ^{i } ;   

 Les points A a B b C c D d         , , , et E e   sont sur le cercle de diamètre  AB  , alors on a :

A a b   0 B ^{b c} i

a c

 

  .

C arg b a arg e c   2 e a ^ b c ^ 

    

     

   

D c e d a   

E a c d e     1

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( C f )

EXERCICE N° 02 On considère l’équation :

  : ²  1   1 tan    1 tan ²   0 ; , E z   i   z i            ^     2 2 ^  

1- a) Calculer  ^{1  i}  ²  ^{1 tan }   ^  ² . b) Résoudre dans  l'équation   E

2- Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct  ^{O u v , ,  }  , on considère les points 1   1 et 2   2 avec 1 1 tan   et 2 tan   ; ,

M z M z z   i  z   i     ^     2 2 ^  

a) Déterminer la forme exponentielle de z ₁ et de z ₂

b) Montrer que OM ¹  OM ² et déterminer  OM OM ^   ¹ , ² 

c) Déterminer  pour que le triangle OM M _{1 2} soit équilatéral.

EXERCICE N° 03

La graphe ci contre est la représentation graphique d’une fonction f définie et continue sur  .L’axe des abscisses est une asymptote à ( C _f ) au voisinage de ^

Soit g la fonction définie sur  par  

 

g x 1

 f x 1- Calculer lim   et lim  

x

g f x

x

g f x







 .

2- Déterminer ^{g f }    ^0,2 

3- Montrer que l’équation g f x     1 admet une unique solution dans  .

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EXERCICE N° 04 Soit h la fonction définie sur  par   ₂

1 h x x

 x

 . On considère la suite   u

_{n n}

définie par ⁰ 1  

1

n n

;

u

u

_

h u n

 

   

 

1- Montrer que   x 0 , on a : 0  h x    x 2- a) Montrer que u

_n

   0 , n 

b) Etudier la monotonie de   u

_{n n}

.En déduire que   u

_{n n}

est convergente et calculer sa limite.

3- a) Exprimer pour tout n  , _{2 2} ²

1

1 1 en fonction de

_n

n n

u

_

 u u

b) En déduire que pour tout n  

^

, on a : ₂ ^{1 2}

0

1 2 1

ⁿ _k

n k

n u

u





   

c) Montrer que pour tout n  

^

, on a : 1

2 1

u

n

 n

 . Retrouver lim

_n

n_

u 4- a) Montrer que , on a :   ²

2

x h x x x

    

b) On pose pour tout n , S

_n

h 1 ₂ h 2 ₂ h 3 ₂ h n ₂

n n n n



       

             

       

 

Prouver que    2   

3 1

1 2 1 1 2 1

1 1 ( on donne )

2 12 2 6

n

n k

n n n n n

n S n k

n n n

^

   

      

c) Montrer que S

_n

est convergente et calculer sa limite.

EXERCICE N° 05

Soit  la fonction définie sur  par :  

 

 

2 2

2

sin si 0 2 si 0,1

2

2 1 si 1

x x x

x x

x x

x

x x x





  

 

     

    

 1- Montrer que  est continue sur  .

2- a) Montrer que pour tout x  0 , on a : x   1    x   x 1

b) En déduire _lim   _{et lim}  

x x

x x

x

 

 

3- a) Montrer que l’équation   ¹

x 2

  admet une unique solution 3 ,1

 _{ } ^ 4 ^

 

b) Donner un encadrement de  à 125 10 

^

³ prés.

Bon Travail ^….. 