Rendu le mardi 14 septembre 1 / 1
Correction Devoir Maison 01
Exercice 1
1. f(1 +i) = 0.
2. Soitz∈C:
f(z) =z2+z2
=z2+z2=z2+z2=f(z)doncf(z)∈R
3. (a) Pour toutz∈C, ´ecrivonsz sous forme alg´ebrique :z=x+iy (o`u(x, y)∈R2) : f(z) = 0⇔(x+iy)2=−(x−iy)2
⇔x2−y2+ 2ixy=−x2+y2+ 2ixy
⇔x2=y2
⇔x=±y
Par cons´equent l’ensembles des solutions de l’´equationf(z) = 0est l’ensemble des nombres complexes dont la partie r´eelle est ´egale ou oppos´ee `a la partie imaginaire.E est la r´eunion des deux droites d’´equationy=xety=−x.
Remarque : On pouvait aussi mettrez6= 0 sous forme trignom´etrique pour arriver `a la conclusion queargz= π4 π2
.
(b) Cet ensemble est sym´etrique par rapport `a l’axe (0;#»u) car z est solution de cette ´equation si et seulement si zl’est.
Exercice 2
1.
2. Si on note A0 et B0 les points d’affixe2 et3alors les trianglesOA0AetOB0B sont rectangles donc : tan÷A0OA= A0A
A0O tanB÷0OB=B0B B0O
Donc÷A0OA=Arctan12 etB÷0OB=Arctan13. Or ces angles g´eom´etriques sont ´egaux `a un argument dea et de bainsi Arctan12= Arga(2π)et Arctan13 = Argb (2π).
3. ab= 5 + 5i etArgab= π4 (2π).
4. De la relation Argab = Arga+ Argb (2π) on d´eduit que Arctan12 +Arctan13 = π4 (2π). Comme, pour tout x∈R, Arctanx∈
−π2,π2
on a Arctan12+Arctan13 ∈]−π, π[donc : Arctan1
2 +Arctan1 3 = π
4
St´ephanePasserat- TSI1 - Lyc´ee LouisVincent
