Devoir maison n ◦ 05 – à rendre lundi 16 octobre – durée 2h

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2017-2018 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 05 – à rendre lundi 16 octobre – durée 2h

Soit n∈N^∗. Dans tout l’exercice, on identifie un vecteur deCⁿ et sa matrice colonne associée d’une part et un endomorphisme deCⁿ avec sa matrice canoniquement associée, d’autre part.Indésigne la matrice identité d’ordren.

Soitk.k une norme surCⁿ.

On considèreN la norme subordonnée àk.k, c’est à dire telle que, pour toute matriceA∈ M_n(C), on a N(A) = sup

kXk≤1

kAXk

On admet que l’on a∀(A, B)∈ Mn(C)², N(AB)≤ N(A)N(B).

1. Démontrer que l’on a∀X∈Cⁿ, kAXk ≤ N(A)kXk.

2. M. Cochet : on admet pendant quelques chapitres qu’une fonction continue sur une partie fermée et bornée de Cⁿ est bornée et atteint ses bornes.

Prouver qu’il existe X0∈Cⁿ,X06= 0, tel que l’on aN(A) =^kAX_kX^0k

0k . 3. Vérifier l’égalitéN(In) = 1.

On rappelle que la normeN∞ est définie surMn(C), pour toute matrice A= (ai,j)1≤i,j≤n deMn(C)par N_∞(A) = max

1≤i,j≤n|ai,j|.

4. Justifier, sans le calculer, l’existence de deux réels positifsαetβ tels que l’on a

∀A∈ M_n(C), αN_∞(A) ≤ N(A) ≤ βN_∞(A).

SoitG un sous-groupe du groupe multiplicatifGL_n(C)qui possède la propriété suivante :

∀A∈ G, N(A−In) ≤ 1

ce que l’on peut traduire par :G est inclus dans la boule fermée de centreIn et de rayon1 pour la normeN. 5. Montrer que l’ensembleG est borné pour la normeN.

6. SoientA∈ G etk∈Z. 6.1 Justifier queA^k∈ G.

6.2 Soitλune valeur propre deAet X un vecteur propre associé. Prouver que λest non nul et calculerA^kX. 6.3 Montrer que l’on ak(A^k−In)Xk ≤ kXk. En déduire les inégalités|λ^k−1| ≤1puis||λ^k| −1| ≤1.

6.4 Démontrer que|λ|= 1.On pourra raisonner par l’absurde et distinguer les cas |λ|>1et |λ|<1.

On pose dans la suite de cette questionλ=e^iθ oùθ∈[−π, π].

6.5 Montrer que, pour toutk∈Z, on a |cos(kθ)−1| ≤1, puiscos(kθ)≥0.

6.6 Montrer alors successivement que l’on aθ∈[−π/2, π/2],θ∈[−π/4, π/4]puis∀q∈N,θ∈[−π/2^q, π/2^q].

6.7 En déduireSp(A) ={1}.

7. Dans toute cette question, on étudie le casn= 2. SoitAune matrice non diagonalisable deG.

7.1 M. Cochet : on admet pendant deux chapitres que toute matrice deMn(C)est trigonalisable.Montrer que Aest semblable à une matrice du typeT = 1 a

0 1

!

oùaest un complexe non nul.

7.2 Soitm∈N^∗. CalculerT^mpuisN∞(T^m).

7.3 Démontrer lim

m→+∞N(T^m) = +∞, puis lim

m→+∞N(A^m) = +∞.

7.4 En déduire que toute matrice deG est diagonalisable.

7.5 Décrire alors l’ensembleG.

Bon courage !

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