Lycée La Martinière Monplaisir Année 2013/2014
MPSI - Mathématiques le 09 octobre
Devoir à la maison n° 04
À rendre le 16 octobre
I. Images directes et réciproques
SoientE et F deux ensembles, f : E → F une application, A etA0 deux parties de E etB etB0 deux parties deF.
1) Montrer quef−1(B∪B0) =f−1(B)∪f−1(B0).
2) Montrer quef−1(B∩B0) =f−1(B)∩f−1(B0).
3) Montrer quef(A∪A0) =f(A)∪f(A0).
4) Montrer en donnant un exemple que l’on n’a pas nécessairementf(A∩A0) =f(A)∩f(A0), mais que cette égalité est vraie sif est injective.
II. Injectivité et surjectivité d’une fonction
SoientE un ensemble etA etB deux parties deE. On noteϕl’application
ϕ :
( P(E) → P(A)×P(B) X 7→ (X∩A, X∩B) .
A. On veut montrer que ϕest injective si et seulement siA∪B =E.
1. On suppose queϕ est injective, mais queA∪B 6=E.
a. Calculer ϕ(∅).
b. Montrer qu’il existe x∈E tel quex /∈A etx /∈B.
c. Que vautϕ({x}) ? Conclure.
2. On suppose queA∪B =E. Soit X, Y ∈P(E) tel que ϕ(X) =ϕ(Y).
a. Soit x∈E. Montrer quex∈Aou x∈B.
b. Soitx∈X. Montrer que six∈A, on a aussix∈Y, et qu’il en est de même six∈B.
Que peut-on en conclure ?
c. Achever la démonstration en montrant queX=Y.
B. On veut maintenant montrer queϕest surjective si et seulement si A∩B =∅.
1. On suppose queϕest surjective. En utilisant que (A,∅) a un antécédent parϕ, montrer que A∩B =∅.
2. On suppose maintenant queA∩B =∅. SoientA0 ⊂AetB0⊂B. Trouver un antécédent de (A0, B0) parϕs’exprimant de manière très simple en fonction deA0etB0, et conclure.
— FIN —
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