Devoir à la maison n° 02 À rendre le 25 septembre

Lycée La Martinière Monplaisir Année 2013/2014

MPSI - Mathématiques le 18 septembre

Devoir à la maison n° 02

À rendre le 25 septembre

I. Similitudes dans un triangle

On apelle centre de gravité ou isobarycentre d’un triangle le point G d’affixe

1

3(a+b+c), où a, b, c sont les affixes des sommets du triangle.

On donne un triangle ABC, un réel positif k et un angle θ. On note S_M la similitude directe de centre M, de rapport k et d’angleθ.

Soient C₁ déduit de C par S_A, B₁ déduit de B par S_C, A₁ déduit de A par S_B.

Montrer que les deux triangles ABC et A₁B₁C₁ ont même centre de gravité.

II. Droite des moindres carrés

On s’intéresse à un phénomène physique dans lequel on mesure des couples de réels, dont les deux membres sont reliés théoriquement par une relation affine et on désire trouver les coefficients de cette relation affine (pente et valeur à l’origine). Étant donné n un entier supérieur ou égal à trois et des résultats expérimentaux (x₁, y₁), . . . , (x_n, y_n), il est facile de trouver a et b vérifiant

∀i∈ [[1, n]] y_i =ax_i+b si les points de coordonnées (x_i, y_i)i∈[[1,n]] sont alignés.

Malheureusement, c’est rarement le cas en pratique. On va donc se donner un critère objectif pour savoir quelle droite passe «au plus près» des points de coordonnées (x_i, y_i)i∈1,n.

Soit n ∈ N un entier au moins égal à 2. On se donne une famille de n réels x₁, . . . , x_n (non tous égaux) et une famille de n réels y₁, . . . , y_n. On note ¯x la moyenne de x₁, . . . , x_n et ¯y celle de y₁, . . . , y_n.

Soitaetbdes réels fixés. On appellek-ième résidu, pourk ∈[[1, n]] l’écart entre y_k et l’ordonnée au point d’abscisse x_k de la droite d’équation y=ax+b : On appelle E(a, b) la somme des carrés des résidus :

E(a, b) =

n

X

k=1

(y_k−(ax_k+b))²

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Le but du problème est de trouvera et b minimisant E(a, b).

1) Question préliminaire : soitϕ : R→Rune fonction telle que pour tout t∈R,ϕ(t) =at²+bt+c, aveca, b, c∈R eta >0. Montrer que ϕadmet un minimum en un pointx_m, et exprimer x_m en fonction dea etb.

2) Soit n ∈ N^∗ et (λ_k)_k∈[[1,n]] une famille de n réels de somme nulle. Soit µ∈R. Montrer qu’on a

n

X

k=1

(λ_k+µ)² >

n

X

k=1

λ²_k

(on a clairement l’égalité dans le casµ= 0).

3) En déduire que pour tout a et tout b, on a E(a, b) > E(a,y¯−a¯x) (on pourra poser pour k∈[[1, n]], λ_k =y_k−(ax_k+ ¯y−a¯x)).

4) On note

f : R → R

t 7→ E(t,y¯−t¯x)

Montrer que f admet un minimum en une valeur qu’on précisera.

5) Conclure : étant données une famille de réels non tous égaux (x_k)_k∈[[1,n]]

et une famille de réels (y_k)_k∈[[1,n]], quelles valeurs de a etb doit-on choisir pour minimiser la somme des carrés des résidus ? (cette méthode est appelée méthode des moindres carrés, elle est originellement dûe à Gauss dans le cadre d’un problème d’astronomie).

— FIN —

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