A rendre le vendredi 05 octobre` 1 / 1
Devoir Maison 02
On pourra utiliser la calculatrice et le pr´eciser dans la r´edaction.
Exercice 1
On munit le plan P d’un rep`ere orthonormal(O;#»u ,#»v)et de sa structure complexe associ´ee. Soit a∈Ret fa la fonction d´efinie ci-dessous dont on noteraCa la courbe repr´esentative :
fa(x) =p
x2+ax+ 1
1. (a) Pr´eciser l’ensemble de d´efinition defa en fonction dea.
(b) D´eterminer un intervalleI tel quefa est d´efinie surRsi et seulement sia∈I.
2. On suppose dans la suite de l’exercice que a∈I.
(a) Comparerf(x)et f(−x−a)pour toutx∈R. (b) Interpr´eter graphiquement le r´esultat pr´ec´edent.
3. (a) Calculerf0(x).
(b) En d´eduire le sens de variation def. 4. (a) D´eterminer les limites def en+∞et−∞.
(b) D´emontrer que la droitedd’´equationy=x+a2 est asymptote `a Ca au voisinage de+∞.
(c) D´eterminer l’asymptoted0 `aCa au voisinage de−∞.
5. Repr´esenterCa ainsi que ses deux asymptotesdetd0 lorsquea= 1.
Exercice 2
1. D´emontrer que l’ensemble des solutions de l’´equationÄ1+z
1−z
ä5
= 1d’inconnuez∈Cest : ß
i tankπ
5 , k∈J0,4K
™
2. D´evelopper et r´eduire(1 +z)5−(1−z)5pour toutz∈C. 3. (a) R´esoudre dansCl’´equationZ2+ 10Z+ 5 = 0.
(b) En d´eduire les solutions de l’´equation(1 +z)5−(1−z)5= 0d’inconnuez∈C. 4. (a) D´eduire des questions pr´ec´edentes que :
tanπ 5 =
» 5−2√
5
(b) En d´eduire enfin que :
cos2π
5 = −1 +√ 5 4
St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent
