Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2020-2021 Mathématiques
Devoir maison n ◦ 02 – à rendre lundi 28 septembre
Toute calculatrice interdite
– Problème –
Soitnun entier naturel,n>2. On noteCl’ensemble des nombres complexes, etE=Mn(C)leC-espace vectoriel des matrices carrées d’ordrenà coefficients complexes.
O est la matrice nulle deE. PourAélément de E, on désigne par tr (A)la trace deA.
Pour(i, j)élément de[[1, n]]2, on noteEi,j la matrice deE dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne qui vaut1.
On rappelle que : ∀(i, j, k, `)∈[[1, n]]4, Ei,jEk,`=δj,kEi,`
oùδj,k= 1 sij=ketδj,k= 0sij6=k(symbole de Krönecker).
1. Montrer qu’il n’existe pas de normek · kdéfinie surE vérifiant :
∀(A, B)∈E2, kABk=kBAk. 2. Soientλ1, λ2, . . . , λn des éléments quelconques deC.
On considère les matrices X etY suivantes :
X =
n
X
j=1
E1,j +
n
X
i=2
Ei,i, Y =
n
X
r=1
λrEr,1.
CalculerXY etY X.
3. Une application qdeEversR+ vérifiant : (SN1) :∀A∈E,∀λ∈C, q(λA) =|λ|q(A); (SN2) :∀(A, B)∈E2, q(A+B)6q(A) +q(B);
est appelée une semi-norme surE.
Soitqune semi-norme surE.
(a) Montrer queq(O) = 0et que pour toutAdeE,q(−A) =q(A).
(b) Établir que pour AetB quelconques dansE, on a :
|q(A)−q(B)|6q(A+B) et que : siq(B) = 0, alorsq(A+B) =q(A).
4. On dit qu’une semi-normeqdéfinie surE vérifie la propriété(P)si :
∀(A, B)∈E2, q(AB) =q(BA).
On considère l’applicationf deE versR+ définie parf(A) =|tr (A)|.
Montrer quef est une semi-norme surE vérifiant(P).
5. Soitqune semi-norme surE vérifiant(P).
(a) Soienti,j deux entiers naturels distincts et compris entre 1etn.
Prouver que : q(Ei,j) = 0.
(b) Pour un élément A quelconque de E, on note ai,j le coefficient de A situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne. Montrer que : q(A) =q
n P
i=1
ai,iEi,i
. (c) Démontrer qu’il existeαréel positif tel que : q=αf.
Bon courage !
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Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2020-2021 Mathématiques
Devoir maison n ◦ 02 – éléments de correction
– Problème –
(d’après E3A 2000 PSI maths 2)Soitnun entier naturel,n>2. On noteCl’ensemble des nombres complexes, etE=Mn(C)leC-espace vectoriel des matrices carrées d’ordrenà coefficients complexes.
O est la matrice nulle deE. PourAélément de E, on désigne par tr (A)la trace deA.
Pour(i, j)élément de[[1, n]]2, on noteEi,j la matrice deE dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne qui vaut1.
On rappelle que : ∀(i, j, k, `)∈[[1, n]]4, Ei,jEk,`=δj,kEi,`
oùδj,k= 1 sij=ketδj,k= 0sij6=k(symbole de Krönecker).
1. En choisissant des matrices élémentaires, par exempleA=E1,1etB =E1,2, on aAB=E1,26=Otandis queBA=O.
Sik · kest une norme surE, l’axiome de séparation entraînekABk 6= 0etkBAk= 0.
2. Soientλ1, λ2, . . . , λn des éléments quelconques deC. On considère les matrices X etY suivantes :
X =
n
X
j=1
E1,j+
n
X
i=2
Ei,i, Y =
n
X
r=1
λrEr,1.
CalculerXY etY X.
Par définition X =
1 1 1 · · · 1
1
1 (0)
(0) . ..
1
, Y =
λ1 0 · · · 0 ... ... ... ... ... ... λn 0 · · · 0
. En jouant aux dominos avec les matrices
élémentaires, on obtient
XY =
n
X
i=1
λi
! E1,1+
n
X
j=2
λjEj,1=
n
P
i=1
λi 0 · · · 0
λ2 ... ... ... ... ... λn 0 · · · 0
et
Y X =
n
X
i=1
λi(Ei,1+Ei,2+· · ·+Ei,n) =
λ1 λ1 · · · λ1 λ2 λ2 · · · λ2
... ... ... λn λn · · · λn
.
3. Une application qdeEversR+ vérifiant : (SN1) :∀A∈E,∀λ∈C, q(λA) =|λ|q(A); (SN2) :∀(A, B)∈E2, q(A+B)6q(A) +q(B);
est appelée une semi-norme surE.
Soitqune semi-norme surE.
(a) Avec(SN1), q(O) =q(0·O) =|0| ·q(O) = 0 et q(−A) =q (−1)·A) =| −1| ·q(A) =q(A).
1
(b) On a q(A) =q (A+B)−B
6q(A+B) +q(−B) =q(A+B) +q(B), d’où l’on déduit (1):q(A)−q(B)6q(A+B). En échangeant les rôles deAetB, on obtient
(2):q(B)−q(A)6q(A+B). La conjonction des inégalités(1)et(2)donne enfin q(A)−q(B)
6q(A+B).
Siq(B) = 0, alors q(A) =|q(A)|=|q(A)−q(B)|6q(A+B)6q(A) +q(B) =q(A), doncq(A+B) =q(A).
4. On dit qu’une semi-normeqdéfinie surE vérifie la propriété(P)si :
∀(A, B)∈E2, q(AB) =q(BA).
On considère l’applicationf deE versR+ définie parf(A) =|tr (A)|.
On sait que tr (AB) = tr (BA), d’où la propriété (P). Par ailleurs, f est à valeurs réelles positives, on a f(λA) =
|tr (λA)|=|λtr (A)|=|λ|f(A)et enfin,
f(A+B) =|tr (A+B)|=|tr (A) + tr (B)|6|tr (A)|+|tr (B)|=f(A) +f(B), doncf est une semi-norme surE.
5. Soitqune semi-norme surE vérifiant(P).
(a) Soienti,j deux entiers naturels distincts et compris entre 1etn.
Sii6=j, alors q(Ei,j) =q(Ei,iEi,j) =q(Ei,jEi,i) =q(O) = 0.
(b) Pour un élémentAquelconque deE, on noteai,jle coefficient deAsitué dans lai-ème ligne et laj-ème colonne.
De la question 3.(b), on déduit que, siqest une semi-norme surE, alors l’ensemble F =q−1 {0}
={A∈E|q(A) = 0}est un sous-espace vectoriel deE. Dans le cas qui nous intéresse présentement, ce sous-espaceFcontient toutes les matricesEi,javeci6=j, donc contient les combinaisons linéaires de ces matrices.
SiA∈E, posons alors A=B+C avec B =X
i6=j
ai,jEi,j et C =Pn
i=1ai,iEi,i. Comme B ∈F, on aq(B) = 0 doncq(A) =q(C+B) =q(C), ce qu’il fallait prouver. Il en résulte que deux matrices qui ont les mêmes coefficients diagonaux ont la même image parq.
(c) SoitA= (aij)∈E. Considérons la matrice
M =
a11 a11 · · · a11
a22 a22 · · · a22
... ... ... ann ann · · · ann
=
n
X
i=1
ai,i n
X
j=1
Ei,j
.
Les matrices A et M ont les mêmes coefficients diagonaux, donc q(A) = q(M). Mais, avec les notations de la question 2. en posantλi=ai,i, on a aussiM =Y X, donc
q(M) =q(Y X) =q(XY). Or,XY =
tr (A) 0 · · · 0 a2,2 0 · · · 0 ... ... ... an,n 0 · · · 0
, doncq(XY) =q(( trA)E1,1)puisque ces deux
matrices ont les mêmes coefficients diagonaux. Finalement,
q(A) =q(M) =q(Y X) =q(XY) =q(( trA)E1,1) =q(E1,1)· |tr (A)|. Ceci étant valable pour toute matriceA, on a q=α f, avecα=q(E1,1).
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