Devoir maison n ◦ 6 – éléments de correction

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 6 – éléments de correction

d’après CCP 2005 MP maths 2

Exemple 1 : détermination de Rac(A) lorsqueA possède n valeurs propres distinctes.

1. La matriceAd’ordrenpossèdenvaleurs propres distinctes, par conséquent A est diagonalisable .

Notons (f_i) une base de E_λi(A). La famille (f₁, . . . , f_n) est une base de Rⁿ. Si P est la matrice de la base canonique de Rⁿ aux fi alors P⁻¹AP est la matrice dans la base (fi) de l’endomorphisme canoniquement associé àA. Par choix desfi, cette matrice estdiag (λ1, . . . , λn)et on a donc

A = P DP⁻¹ avec D = diag (λ1, . . . , λn).

Soit R ∈ M_n(R) et S = P⁻¹RP. On a R² = A si et seulement si P⁻¹R²P = D (il y a équivalence car on revient en arrière en multipliant parP à gauche et P⁻¹à droite), c’est-à-dire S²=D. On peut donc écrire

Rac(A) = P·Rac(D)·P⁻¹.

2. a. On a SD=S³=DS .

b. On fait le produit matriciel pour obtenir :

∀(i, j), S_i,jλ_j =

n

X

k=1

S_i,kD_k,j =

n

X

k=1

D_i,kS_k,j = λ_iS_i,j.

Lesλk étant deux à deux distincts, on a donc

∀(i, j), i6=j ⇒ S_i,j= 0.

Finalement comme prévu S est diagonale .

c. Il s’nesuit queS²= diag (s²₁, . . . , s²_n). CommeS²=D, il vient :

∀i, s²_i = λi .

d. S’il existe un itel queλi<0, alors les relations précédentes sont impossible :

∃i / λ_i<0 ⇒ Rac(A) =∅.

e. Si tous lesλi sont positifs, on vient de voir que Rac(D)⊂ {diag (ε1

pλ1, . . . , εn

pλn)/ ∀i, εi=±1}.

Réciproquement, si S= diag (ε₁√

λ₁, . . . , ε_n√

λ_n)(oùε_i =±1), alorsS²=D. L’inclusion ci-dessus est une égalité :

Rac(D) = n diag (ε1

pλ1, . . . , εn

pλn)/ ∀i, εi=±1o . 3. L’applicationM 7→P⁻¹M P est une bijection de Rac(A)dansRac(D).

• Si λ1<0, on a vu en2.dqueRac(A) =∅. Il n’y a donc pas de racine carrée pourA.

1

• Si λ1≥0 alors une racine carrée deDest connue par le choix desεi et Rac(A) = n

P·diag (ε1

pλ1, . . . , εn

pλn)·P⁻¹ /∀i, εi=±1o .

Deux choix différents des εi donneront a priori deux racines carrées distinctes de D, sauf dans le cas où λ1= 0. On a donc

Card (Rac(A)) = 2ⁿ⁻¹ siλ₁= 0 et Card (Rac(A)) = 2ⁿ siλ₁>0 .

4. Le vecteur(0,1,1)est un vecteur propre associé à la valeur propre0. Le vecteur(1,1,−1)est un vecteur propre associé à la valeur propre1. Enfin avec la trace, on voit que la dernière valeur propre est16. Une résolution de système montre que(2,−1,1)est un vecteur propre associé. On pose donc :

P =





0 1 2

1 1 −1

1 −1 1



.

On a alorsP⁻¹AP = diag (0,1,16). La matriceA admet quatre racines carrées qui sont

P·diag (0,1,4)·P⁻¹, P ·diag (0,−1,4)·P⁻¹, P·diag (0,1,−4)·P⁻¹, P ·diag (0,−1,−4)·P⁻¹

ou encore :





3 −1 1

−1 1 −1

1 −1 1



,





7/3 −5/3 5/3

−5/3 1/3 −1/3 5/3 −1/3 1/3



,





−7/3 5/3 −5/3 5/3 −1/3 1/3

−5/3 1/3 −1/3



,





−3 1 −1

1 −1 1

−1 1 −1



.

On remarque bien sûr que les matrices sont deux à deux opposées.

Exemple 2 : détermination de Rac(A) lorsqueA est la matrice nulle deM_n(R).

SoitR∈M_n(R), une matrice carrée de la matrice nulle.

5. a. R²= 0se traduit parf◦f = 0et donc par

Im (f) ⊂ Ker (f).

Le théorème du rang indique quer+ dim(Ker (f)) =n. Ordim(Ker (f))≥r, donc r ≤ n

2 .

b. La famille B ayantn éléments, il suffit de montrer qu’elle est libre ou génératrice pour conclure que c’est une base de Rⁿ. Supposons donc que

(∗) :

n−r

X

i=1

αiei+

r

X

i=1

βiui= 0.

Avec les notations de l’énoncé, ceci s’écrit

r

X

i=1

αif(ui) +

n−r

X

i=r+1

ei+

r

X

i=1

βiui = 0.

En composant parf, on obtient (avecf²= 0 etf(ei) = 0sii∈ {r+ 1, . . . , n−r}) :

r

X

i=1

βiei =

r

X

i=1

βif(ui) = 0.

2

Comme (e1, . . . , er)est libre, les βi sont nuls. En reportant dans(∗)et comme(e1, . . . , e_n−r)est libre, les α_i sont aussi nul. AinsiBest libre et Best une base deRⁿ .

Par choix des vecteurs deB, on a (définition par blocs)

Mr = Mat(f,B) =

0 Ir

0 0

.

6. a. SiR ∈Rac(A)alors soitR = 0_n, soit il existe une matrice inversibleP et un entier r∈[[1, n/2]]tels que R=P MrP⁻¹.

Réciproquement, la matrice nulle est une racine carrée de0n et sir≤n/2, un produit par blocs montre que M_r²= 0n et donc(P MrP⁻¹)²=P M_r²P⁻¹= 0n. Ainsi :

Rac(0n) =

P MrP⁻¹/ P ∈GLn(R), r∈[[1, n/2]] ∪ {0n} .

b. Dans le cas n = 4, les racines carrées de 0n sont d’une part 0n et d’autre part les matrices semblables à l’une des deux matrices









0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0







 ou









0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0







 .

Exemple 3 : détermination de Rac(A) lorsqueA=In.

7. a. L’égalitéR²=In donnedet(R)²= 1et doncdet(R)6= 0. Il s’ensuit que Rest inversible .

b. Le polynôme X²−1 annule R. Comme il est scindé à racines simples, la matrice R est diagonalisable.

En outre, les valeurs propres de R sont racines de X²−1 et ne peuvent valoir que 1 ou −1. Finalement R est semblable à une matrice diagonale où les coefficients diagonaux valent1ou−1 .

8. Ce qui précède montre que Rac(In) ⊂

P·diag (ε1, . . . , εn)·P⁻¹/ P ∈GLn(R) ∧ ∀i, εi∈ {−1,+1} .

RéciproquementD= diag (ε1, . . . , εn)vérifieD²=In quand lesεk valent1ou−1et(P DP⁻¹)²=P D²P⁻¹= In. L’inclusion précédente est donc une égalité :

Rac(In) =

P·diag (ε1, . . . , εn)·P⁻¹/ P ∈GLn(R) ∧ ∀i, εi∈ {−1,+1} .

Étude topologique de Rac(A).

SiAest une matrice deM_n(R)qui a pour coefficients(a_i,j)_1≤i,j≤n, on définit une norme en posantN(A) = max

1≤i,j≤n|a_i,j|.

On munitM_n(R)de cette normeN.

L’espaceMn(R)étant de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes. On pourra choisir la normeN de l’énoncé ou toute autre norme. Cela ne change rien du point de vue topologique.

9. Par théorèmes généraux, l’applicationR7→R²est continue surM_n(R)(chaque fonction coordonnée l’est comme fonction polynomiale des coefficients deR). Ainsi, si(Rk)k est une suite convergente d’éléments de limite R alorsR²_k →R².

Par conséquent si (Rk)k est une suite convergente d’éléments de Rac(A), alors la limite est dans Rac(A).

Finalement Rac(A)est fermé .

10. a. Remarquons queS_q²=I₂et N(S_q) = max(|q|,1)^q→+∞−→ +∞.

On en déduit que Rac(I2)n’est pas borné . b. Définissons par blocs la matrice Mq =

Sq 0 0 I_n−q

. Il vient alors M_q² = In (calcul par blocs) et N(M_q)^q→+∞−→ +∞. Ainsi Rac(I_n)n’est pas borné pourn≥3 .

3

c. On vient de voir que l’on peut trouver une suite (Rk)k de racines carrées deIn telle que (Rk)k n’est pas bornée. Si, par l’absurde, il existait une norme surmultiplicative k.k alors on aurait

∀k, kRkk² ≤ kR_k²k = kI2k.

Le membre de droite est constant et celui de gauche de limite infinie (voir remarque préliminaire en début de partie).

On obtient une contradiction, ce qui prouve la non existence d’une norme surmultiplicative .

4