Devoir à la maison n˚6. Correction.

Devoir à la maison n˚6. Correction.

Exercice 1

Diamètre 24.1 24.3 24.5 24.7 24.9 25.1 25.3 25.5 25.7 25.9

Effectif 1 4 13 24 19 14 10 8 5 2

Fréquences (%) 1 4 13 24 19 14 10 8 5 2

1. Il y a 100 pièces, les valeurs sont donc particulièrement faciles à calculer !

2. Le mode correspond à la valeur du caractère étudié d’effectif le plus grand : le mode est ici 24.7mm.

3. • m= 1×24.1+4×24.3+13×24.5+24×24.7+19×24.9+14×25.1+10×25.3+8×25.5+5×25.7+2×25.9 100

m= 24.944mm.

• La série comporte 100 = 2×50 valeurs. La médiane est donc la demi-somme de la 50ème et de la 51ème valeur. la première valeur est 24.1, la 2ème à la 5ème valeur sont 24.3, la 6ème à la 18ème valeur sont 24.3 etc.. En s’aidant ainsi des effectifs cumulés, on trouve que la 50ème et la 51ème valeur sont toutes deux 24.9. Donc la médiane M = ^24.9+24.9₂ , soit M = 24.9 .

• L’étendue e est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du caractère observé.

Donce= 25.9−24.1soit e= 1.8mm .

4. • e=1.8mm et 10% de la moyenne représentent ₁₀₀¹⁰ ×24.944soit 2.4944mm. Donc le premier point est vérifié : l’étendue est inférieure à 10% de la moyenne.

• m−M = 24.944−24.9 = 0.044est inférieur à 0.2 : ce point là est également vérifié.

• l’intervalle[m−0.8;m+ 0.8]est l’intervalle [24.144; 25.744] Seules 3 pièces (une de 24.1mm et deux de 25.9mm) n’appartiennent pas à cet intervalle, soit ₁₀₀³ = 3% des pièces. Par conséquent, 97% et donc plus de 95% des pièces appartiennent bien à cet intervalle. Le troisième point est vérifié. La machine marche donc correctement, les trois points sont vérifiés.

Exercice 2

Valeur [0; 10[ [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ [60; 70[ [70; 80[ [80; 90[ [90; 100[ total

Effectif 10 5 11 12 4 21 18 4 2 3 90

Effectifs cumulés 10 15 26 38 42 63 81 85 87 90

Fréquence 11.1% 5.6% 12.2% 13.3% 4.4% 23.3% 20% 4.4% 2.2% 3.3% 100%

1. On utilise la formule qui permet de calculer la moyenne mà l’aide des fréquences :

m= 5×0.111 + 15×0.056 + 25×0.122 + 35×0.133 + 45×0.044 + 55×0.233 + 65×0.2 + 75×0.044 + 85×0.022 + 95×0.033soit m= 45.2

2. Si f_k est la fréquence de la classe k, n_k son effectif, et N=90 l’effectif total, on a f_k = ⁿ_N^k, donc n_k=N ×f_k. Exemple : le premier effectifn₁ vaut0.111×90soit 10.

3. On cumule les effectifs.

4. La classe modale de cette série statistique est celle dont l’effectif est le plus grand : la classe modale est[50; 60[.

5. La série comporte90 = 2×45valeurs. La médiane est donc la demi-somme de la 45ème et de la 46ème valeur. Ces deux valeurs sont toutes deux dans la classe[40; 50[(on le voit à l’aide des effectifs cumulés).

La classe médiane est donc[40; 50[ et la médiane 45 si l’on assimile cette classe à son milieu.

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Exercice 3 : ordre et fonctions

1. f :x 7→ −x est affine, car elle est de la forme f(x) =ax+baveca=−1etb= 0.a <0donc f estdécroissante surIR.

2. Sib≤3, alors−b≥ −3. On a en effet multiplié par unnombre négatif,−1, des deux côtés de l’inéquation. On peut également le justifier en remarquant que f : x 7→ −x est décroissante surIR donc sib≤3 l’image deb parf est plus grande ou égale à l’image de 3 parf :−b≥ −3.

3. f : x 7→ x² est décroissante sur ]− ∞; 0] et croissante sur[0; +∞[. Sib est positif etb <3, on a b² < 3² car f est croissante sur [0; +∞[, donc l’image de b et l’image de 3 sont classés dans le même ordre que bet 3. Si b <−2 on a b² >(−2)² car f est décroissante sur ]− ∞; 0]

donc l’image debet l’image de−2sont classées

dans l’ordre contraire à bet−2.

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