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Devoir n˚6

Durée : une heure. Calculatrices autorisées

On rappelle que n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n On admettra que lim

n→+∞

n! = +∞

I) 4 points

Soit u

n

=

n

X

k=0

1 k! = 1 + 1 1! + 1

2! + · · · + 1 n! . Soit v

_n

= u

_n

+ 1

n × n!

Démontrer que u et v sont convergentes et ont la même limite.

II) 6 points

On définit une suite u par :







u

₀

= 10 u

_n+1

= 1

2 u

_n

+ 3 u

n

Démontrer que u est minorée par √ 3.

Dessiner l’escalier de récurrence jusqu’à u

4

sur le dessin suivant (préciser ce qui est dessiné). Que peut-on conjecturer d’après ce dessin (sens de variation, limite) ? Démontrer ces conjectures.

III) 4 points

Soit s

n

=

n

X

k=1

1 k = 1

1 + 1 2 + 1

3 + 1

4 + · · · + 1 n Démontrer que 1

2 6 u

2n

− u

n

6 1. (indication : encadrer 1

k pour n + 1 6 k 6 2n) u est-elle convergente ? (justifier)

IV) 6 points

Soit u la suite définie par u

₀

= 0; u

_n+1

=

r 1 + u

n

2 . Démontrer que, pour tout n > 0, u

_n

= cos π

2

ⁿ⁺¹

. (utiliser : cos(2θ) = 2(cos(θ))

²

− 1) Soit v

n

= 2

ⁿ⁺¹

p

1 − u

²_n

.

Déterminer la formule directe de v

n

(simplifiée, sans racine) et en déduire sa limite

Dessin du II

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5

0