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Academic year: 2022

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Devoir n˚6 page 1 de 1

Devoir n˚6

Durée : une heure. Calculatrices autorisées

I) 6 points

Une urne contient 5 boules noires, 3 boules rouges et 2 boules vertes. On en tire deux successivement avec remise.

Calculer la probabilité des événements suivants (expliquer en précisant les principes utilisés) :

A : « les deux boules sont rouges »

B : « les deux boules sont de la même couleur » C : « les deux boules sont de couleurs différentes » D : « au moins une des boules est rouge »

II) 8 points

Un service de réponse téléphonique fonctionne de la façon suivante : Un client appelle pour avoir une réponse à une question.

Le service peut ne pas prendre l’appel. Le client n’a alors pas de réponse.

Quand le service prend l’appel, il met le client en attente pendant une durée a. Si le client ne raccroche pas avant cette durée a, le service fournit alors une réponse au client.

Si le client raccroche avant cette durée, il n’a pas de réponse.

Chaque client a un seuil de patience s. Si le service a pris l’appel et ne lui n’a pas fourni de réponse dans un délai inférieur ou égal à s, le client raccroche et il n’a pas de réponse.

– Les statistiques concernant le service sont les suivantes (a est en minutes) : Dans 30% des cas, le service prend l’appel avec a = 10 (événement D) Dans 20% des cas, le service prend l’appel avec a = 5 (événement C) Dans 10% des cas, le service prend l’appel avec a = 3 (événement T) Dans les autres cas, le service ne prend pas l’appel (événement A).

– Les statistiques concernant les clients sont les suivantes (s est en minutes) : 20 % des clients ont un seuil de patience s > 10

30 % des clients ont un seuil de patience s = 6 20 % des clients ont un seuil de patience s = 4 Les autres ont un seuil de patience s = 1

On appelle I l’événement : « le client a obtenu une réponse »

1. a) Construire un arbre de probabilités représentant les différentes situations pos- sibles lors d’un appel d’un client jusqu’à l’obtention ou non d’une réponse.

b) Calculer P(I). Précisez les principes de probabilité que vous utilisez.

c) Lors d’un appel, un client n’a pas obtenu de réponse. Quelle est la probabilité qu’il ait attendu plus de dix minutes ?

2. Lorsque l’événement I se produit, le client reçoit une réponse mais cette réponse est erronée dans 60% des cas. Lorsque la réponse est erronée, il est certain d’obtenir une réponse exacte s’il appelle une deuxième fois.

Lorsque l’événement I ne s’est pas produit, le client peut rappeler mais le résultat de cet appel est indépendant du premier.

Quelle est la probabilité que le client obtienne une réponse exacte en un maximum de deux essais ?

III) 6 points

Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = x

1/x

.

1. Etudier le sens de variation de cette fonction et ses limites.

2. Soit u la suite définie sur N

par u

n

= f (n) a) Démontrer que, pour tout n > 1, u

n

6 u

3

b) Déterminer tous les couples d’entiers distincts (m, n) tels que u

m

= u

n

(égalité

à prouver exactement et pas seulement avec des valeurs approchées)

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