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Contrôle n˚6
Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées
I) 7 points
Soit les fonctions définies sur [0; +∞[ : f (x) = ln(2x + 1) et g(x) = e
x− 1 2
1. Calculer f (g(x)) et g(f (x)). En déduire une transformation géométrique qui trans- forme la courbe de f en celle de g..
2. Tracer les courbes de f et g sur [0; 2] (unité 2cm).
Sur le dessin, interpréter géométriquement l’intégrale I = Z
10
f(x) dx 3. Calculer I en se ramenant à une intégrale de g (utiliser la question 1 ) 4. Calculer I directement, par une intégration par parties.
II) 5 points
Les 3 questions suivantes sont indépendantes 1. Calculer
Z
10
x (x
2+ 1)
3dx 2. Calculer
Z
10
e
xln(1 + e
−x) dx (par parties)
3. Soit I
n= Z
10
x
nln(x + 1) dx
a) Déterminer le sens de variation de (I
n) b) (I
n) est-elle convergente ?
III) 5 points
On dispose de deux dés avec des faces numérotées de 1 à 6. Le dé N est normal, le dé T est truqué de telle sorte que la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 soit égale à deux fois la probabilité d’obtenir un 6.
On effectue l’expérience suivante : on choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n > 2).
1. Dans cette question, on suppose n = 3
Soit T l’événement : « on a tiré le dé truqué », N : « on a tiré le dé normal. » Soit E l’événement : on a obtenu exactement un 6 au cours des n lancers.
Calculer les probabilités P (N ∩ E) et P (T ∩ E). En déduire que P (E) = 57 144 . Dans la suite on ne supposera plus que n est égal à 3.
2. On appelle A
nl”événement « obtenir exactement deux 6 parmi ces n lancers suc- cessifs. »
a) Démontrer que P(A
2) = 5 72 .
b) Déterminer la formule de p
n, la probabilité de A
nc) Redémontrer le résultat suivant sur les limites, en supposant connues les li- mites sur la fonction exponentielle exp : pour 0 < a < 1, lim
n→+∞
