Contrôle n˚6 page 1 de 1

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Contrôle n˚6

Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées

I) 7 points

Soit les fonctions définies sur [0; +∞[ : f (x) = ln(2x + 1) et g(x) = e

^x

− 1 2

1. Calculer f (g(x)) et g(f (x)). En déduire une transformation géométrique qui trans- forme la courbe de f en celle de g..

2. Tracer les courbes de f et g sur [0; 2] (unité 2cm).

Sur le dessin, interpréter géométriquement l’intégrale I = Z

1

0

f(x) dx 3. Calculer I en se ramenant à une intégrale de g (utiliser la question 1 ) 4. Calculer I directement, par une intégration par parties.

II) 5 points

Les 3 questions suivantes sont indépendantes 1. Calculer

Z

1

0

x (x

²

+ 1)

³

dx 2. Calculer

Z

1

0

e

^x

ln(1 + e

^−x

) dx (par parties)

3. Soit I

_n

= Z

1

0

x

ⁿ

ln(x + 1) dx

a) Déterminer le sens de variation de (I

n

) b) (I

_n

) est-elle convergente ?

III) 5 points

On dispose de deux dés avec des faces numérotées de 1 à 6. Le dé N est normal, le dé T est truqué de telle sorte que la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 soit égale à deux fois la probabilité d’obtenir un 6.

On effectue l’expérience suivante : on choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n > 2).

1. Dans cette question, on suppose n = 3

Soit T l’événement : « on a tiré le dé truqué », N : « on a tiré le dé normal. » Soit E l’événement : on a obtenu exactement un 6 au cours des n lancers.

Calculer les probabilités P (N ∩ E) et P (T ∩ E). En déduire que P (E) = 57 144 . Dans la suite on ne supposera plus que n est égal à 3.

2. On appelle A

n

l”événement « obtenir exactement deux 6 parmi ces n lancers suc- cessifs. »

a) Démontrer que P(A

2

) = 5 72 .

b) Déterminer la formule de p

n

, la probabilité de A

n

c) Redémontrer le résultat suivant sur les limites, en supposant connues les li- mites sur la fonction exponentielle exp : pour 0 < a < 1, lim

n→+∞

n

²

a

ⁿ

= 0 d) Déterminer la limite de p

_n

lorsque n tend vers +∞

IV) 3 points

Soit X une variable aléatoire vérifiant une loi de probabilité exponentielle de paramètre λ, interprétée comme la "durée de vie" d’un matériel en années.

On constate que le matériel fonctionne encore 2 ans après sa mise en service. Calculer la probabilité qu’il fonctionne encore ensuite au moins pendant 1 an.

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Contrôle n˚6

Durée : 2 heures. Calculatrices autorisées

I) 7 points

Soit les fonctions définies sur [0; +∞[ : f (x) = ln(2x + 1) et g(x) = e

− 1 2

1. Calculer f (g(x)) et g(f (x)). En déduire une transformation géométrique qui trans- forme la courbe de f en celle de g..

2. Tracer les courbes de f et g sur [0; 2] (unité 2cm).

Sur le dessin, interpréter géométriquement l’intégrale I = Z

f(x) dx 3. Calculer I en se ramenant à une intégrale de g (utiliser la question 1 ) 4. Calculer I directement, par une intégration par parties.

II) 5 points

Les 3 questions suivantes sont indépendantes 1. Calculer

Z

x (x

+ 1)

dx 2. Calculer

Z

e

ln(1 + e

) dx (par parties)

3. Soit I

= Z

x

ln(x + 1) dx

a) Déterminer le sens de variation de (I

) b) (I

) est-elle convergente ?

III) 5 points

On dispose de deux dés avec des faces numérotées de 1 à 6. Le dé N est normal, le dé T est truqué de telle sorte que la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 soit égale à deux fois la probabilité d’obtenir un 6.

On effectue l’expérience suivante : on choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n > 2).

1. Dans cette question, on suppose n = 3

Soit T l’événement : « on a tiré le dé truqué », N : « on a tiré le dé normal. » Soit E l’événement : on a obtenu exactement un 6 au cours des n lancers.

Calculer les probabilités P (N ∩ E) et P (T ∩ E). En déduire que P (E) = 57 144 . Dans la suite on ne supposera plus que n est égal à 3.

2. On appelle A

l”événement « obtenir exactement deux 6 parmi ces n lancers suc- cessifs. »

a) Démontrer que P(A

) = 5 72 .

b) Déterminer la formule de p

, la probabilité de A

c) Redémontrer le résultat suivant sur les limites, en supposant connues les li- mites sur la fonction exponentielle exp : pour 0 < a < 1, lim

n

a

= 0 d) Déterminer la limite de p

lorsque n tend vers +∞

IV) 3 points

Soit X une variable aléatoire vérifiant une loi de probabilité exponentielle de paramètre λ, interprétée comme la "durée de vie" d’un matériel en années.

On constate que le matériel fonctionne encore 2 ans après sa mise en service. Calculer la probabilité qu’il fonctionne encore ensuite au moins pendant 1 an.

Enoncer et redémontrer la propriété générale de "loi de durée de vie sans vieillisement"

correspondante.