On joue avec un dé équilibré que l’on lance une fois. La variable aléatoire X prend les valeurs du numéro obtenu. Ainsi pour tout entier 1   k 6 on a :   1

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Loi uniforme – cas discret

On joue avec un dé équilibré que l’on lance une fois. La variable aléatoire X prend les valeurs du numéro obtenu. Ainsi pour tout entier 1   k 6 on a :   ¹

p X  k  6 .

1 2 3 4 5 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Du discret au continu

On étudie la loi de probabilité d’une variable aléatoire correspondant au choix d’un nombre réel dans l’intervalle  ^0;10  ^.

Soit Y la variable aléatoire qui correspond au tirage au hasard d’un nombre d’au plus 14 décimales de l’intervalle  ^0;10  . Quelle est la taille de l’univers de cette expérience aléatoire ?

 3, 72454225940462 

p Y  ? ^{p Y}  ^{ 5}  ? Soit X la variable aléatoire qui correspond au tirage au hasard d’un nombre réel de l’intervalle  ^0;10  . On admet qu’il existe une infinité de réels dans cet intervalle. Que vaut

 ⁵ 

p X  ? ^{p X}  ^{ 2}  ^{? p X     ?}

Probabilité d’un intervalle

On simule sur un tableur 10000 tirages d’un nombre x de l’intervalle  ^0;10  à l’aide de la fonction « 10*ALEA() » et on affiche les fréquences des événements suivants : « x _{ } ^ 2;  ^ _ » et « x   ^  3 2;3   ^  ». Quelle observation peut-on faire sur les fréquences affichées ? Quelle similitude des deux intervalles considérés permet d’expliquer cette remarque ?

Que vaut ^p  ^{2  X  }  , que vaut ^p  ^{3  2  X   3 }  ^?

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Probabilité et calcul d’aire

On simule sur un tableur 10000 tirages d’un nombre x de l’intervalle  ^0;10  à l’aide de la fonction « 10*ALEA() ». L’histogramme ci-dessous représente les fréquences f _k des dix événements suivants : ^{x }  ^{k k ;  1}  ^.

1. Conjecturer ^{p X}  ^  ^{k k ;  1}   pour tout entier 0   k 9 .

2. Le tableur présente une « courbe de tendance » qui « lisse » l’histogramme.

Quelle est cette fonction dans le cadre de cette simulation ? On la notera f . 3. Que vaut nécessairement ^{p X}  ^  ^0;10   . Comparer avec ¹⁰  

0 f t dt

 ^.

4. Conjecturer ^{p X}  ^   ^{a b ;}  pour tout réel 0    a b 10 . Comparer avec ^b  

a f t dt

 ^.

De nouveaux univers

Jusqu’à présent, une expérience aléatoire conduisait à un univers fini et une variable aléatoire X prenait un nombre fini de valeurs. La loi de probabilité de X se définissait alors par la donnée des probabilités de toutes les valeurs. Mais il arrive que les issues d’une expérience aléatoire ou les valeurs prises par une variable aléatoire puissent être n’importe quel nombre d’un intervalle I…

Adaptation du modèle

Lorsqu’une variable aléatoire X prend pour valeurs les réels d’un intervalle I, sa loi de probabilité,

dite « continue », n’est plus associée à la probabilité de chacune de ses valeurs mais à la

probabilité d’intervalles inclus dans I. C’est par un calcul d’aire sous la courbe d’une fonction

propre à chaque loi, appelée « densité », que s’opèrent ces calculs.

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La loi uniforme

Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle   ^{a b ; notée} U _{ } a b ; si pour tous réels u et v de l’intervalle   ^{a b ; tels que u v  on a :}   ^{v 1}

u

p u X v dt v u

b a b a

    

 

 ^.

La fonction constante f définie sur   ^{a b ; par}

  ¹

f x  b a

 est appelée fonction de densité de la loi uniforme U _{  a b ;} .

Propriétés

 ^{p a}  ^{ X  b}  ^{ p X}  ^   ^{a b ;}  ^{ 1 ,}

 Pour tout ^{x }   ^{a b ; , p X}  ^{ x}  ^{ 0} ,

 L’espérance mathématique de X est    

2

b a

E X t f t dt a b 

   

Démonstrations

Proposer une démonstration des trois propriétés énoncées ci-dessus.

Modéliser par une loi uniforme

Dans chacune des situations suivantes, préciser la variable aléatoire et indiquer si le choix d’une variable aléatoire paraît pertinent.

 Situation 1 : sur un tableur l’instruction « 8*ALEA()+1 » renvoie un nombre réel x .

 Situation 2 : la montre de Monsieur Z tombe en panne et on repère la position de la grande aiguille au moment de l’arrêt par la mesure du secteur angulaire balayé par cette aiguille depuis la position « midi ».

 Situation 3 : dans une maternité, on a observé que la taille à la naissance d’un nouveau né est dans l’intervalle [33 ; 58] avec une moyenne de 50,2 centimètres. Sur un dossier pris au hasard, on relève la taille de naissance…

Dans la situation 1, calculer la probabilité de l’événement suivant : « le nombre affiché est inférieur ou égal à  ». Dans la situation 2, calculer la probabilité des événements suivants : « la grande aiguille s’est arrêtée sur la marque correspondant à 15 minutes », « la grande aiguille s’est arrêtée entre les marques correspondant à 5 minutes et 30 minutes ».

Exercice d’application directe

Sur un tableur de l’instruction « 9*ALEA()-2 » renvoie au hasard un nombre réel x . On modélise

le tirage de ce nombre par la variable aléatoire X . Préciser la loi de probabilité. Calculer la

probabilité des événements suivants : X  0 ; X  2 ;    1 X 3 ; X  x avec x ²  2 x   3 0 .

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Feu tri(bi)colore

A un feu tricolore, le signal destiné aux piétons est vert pendant 45 secondes et rouge pendant 105 secondes, en alternance. A 12 heures, le feu se met au rouge et un piéton se présente à un instant au hasard entre 12 heures et 12 h 05 pour traverser. La variable aléatoire T qui donne le temps écoulé, en secondes, entre 12 heures et l’heure d’arrivée du piéton suit une loi uniforme sur I = [0 ; 300]. Calculer la probabilité que le piéton :

 Trouve le feu vert et traverse sans attendre,

 N’attende pas le feu vert plus de 15 secondes,

 Attende le feu vert plus de 30 secondes.

Rater son bus

Martin arrive tous les matins entre 7h15 et 7h35 à son arrêt de bus. On considère que son heure d’arrivée à cet arrêt est une variable aléatoire suivant une loi uniforme, notée X, sur I = [15 ; 35].

Le bus qu’il attend passe à 7h puis toutes les 10 minutes précisément jusqu’à 8h.

 Quelle est la probabilité que Martin attende moins de 5 minutes le prochain bus ?

 S’il rate le bus de 7h30, Martin arrive en retard à l’école.

Quelle est la probabilité qu’il soit en retard ?

Paquets de céréales

Sur les paquets de céréales, la masse indiquée est de 375 g. Statistiquement, on n’a jamais trouve de paquet pesant moins de 365 g et plus de 385 g. A l’intérieur de cette fourchette, on estime que les masses sont uniformément réparties.

 Déterminer la densité de X, variable aléatoire continue modélisant la masse d’un paquet.

 Que représente 375 g pour la loi de X ?

 Calculer la probabilité qu’un paquet de céréales ait une masse entre 365 et 370 g ?

Quand le zébu a bu…

Dans un parc national, un guide accompagne chaque soir un groupe pour observer des zébus venant s’abreuver dans un lac au coucher du soleil. On suppose que le temps d’attente du groupe avant l’arrivée des animaux est compris entre 0 et 2 heures 30. On le modélise, en minutes, par une variable aléatoire T de loi uniforme sur [0 ; 150]. Calculer les probabilités suivantes :

 ²⁰ 

p T  ^{p T}  ^{ 45}  ^p  ^{45   T 60}  ^{p T}  ^{ 90} 

Le groupe attend en vain depuis 50 minutes. Quelle est la probabilité d’avoir T  60 ?

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Vers la loi exponentielle

Le fonctionnement naturel des humains et des animaux suit la loi du vieillissement ou de l'usure : on n'a pas la même probabilité de vivre 40 ans de plus lorsque l'on vient de naître ou lorsque l'on vient d’avoir 50 ou 60 ans… La plupart des phénomènes naturels sont soumis au processus de vieillissement.

Il existe cependant des phénomènes où il n'y a pas de vieillissement ou d'usure. Il s'agit en général de phénomènes accidentels. Par exemple, pour un verre en cristal, la probabilité d'être cassé dans les cinq ans ne dépend pas de sa date de fabrication, de son âge.

Il s'agit ici d'étudier des objets ou phénomènes physiques pour lesquels, la probabilité d'être encore en vie ou de ne pas tomber en panne avant un délai donné sachant que l'objet est en bon état à un instant t ne dépend pas de t .

Durée de vie sans vieillissement

On considère un matériel électronique dont le temps de fonctionnement exprimé en années, est modélisé par une variable aléatoire T prenant ses valeurs dans l’intervalle  ^{0; }  ^.

On a simulé 10000 temps de fonctionnement (appelé également durée de vie) de ce matériel.

Pour visualiser les données on les a regroupées en 24 classes d’amplitude 5 présentées ci-dessous :

 Estimer ^{p T}  ^{ 20}  . En déduire ^{p T}  ^{ 20}  ^.

 Estimer ^{p T}  ^{ 30}  . En déduire ^{p T}  ^{ 30}  ^.

 Estimer ^{p T}  ^{ 10}  . En déduire ^{p T}  ^{ 10}  ^.

 Calculer p _{T } 10  T  30  . Comparer à ^{p T}  ^{ 20}  ^.

Quelle remarque faîtes-vous ?

 Calculer p _{T } 15  T  35  .

Calculer p _{T } 20  T  40  .

Quelle remarque faîtes-vous ?

Regroupement en classes

Page 6

Courbe de densité et calculs d’aire

Le tableur présente une « courbe de tendance » qui « lisse » l’histogramme. Dans le cadre de la simulation du temps de fonctionnement du matériel électronique étudié précédemment on a :

 

 

0, 05 0,05 si 0 0 sinon

f x e x x

f x

    

 

  1. Calculer ²⁰  

0 f t dt

 . Calculer ¹⁰  

0 f t dt

 . Calculer ³⁰  

0 f t dt

 ^.

A quoi correspondent ces trois résultats ?

2. Comment déterminer, à l’aide d’un intégrale, la probabilité qu’un composant électronique ait une durée de vie comprise entre 15 et 20 ans ? Effectuer le calcul de cette intégrale.

3. On note    

0

F x   x f t dt . Déterminer ^lim  

x F x

 . Comment interpréter ce résultat ?

La loi exponentielle

Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre  avec   0 , notée E _ si pour tous a et b tels que 0   a b , on a   ^{b t x b a b}

a a

p a   x b    e ^{ } dt   ^  e ^{  }   e ^{ }  e ^{  .} La fonction constante f définie sur  ^{0; }  ^par

  ^x

f x   e ^{ } est appelée fonction de densité de la loi exponentielle E _ .

Contexte : la durée de vie d’un système non sujet

à l’usure du temps (composants électroniques), le

temps d’attente d’un événement accidentel

(tremblement de terre, désintégration noyau…)

Page 7

Propriétés

 Pour tout réel x , ^{p X}  ^{ x}  ^{ 0 ,}

 Pour tout réel x  0 , ^{p X}  ^{ x}  ^{  1 e   x} ,

 ^{p X}  ^{ 0}  ^{ p X}  ^  ^{0;  }   ¹

 L’espérance mathématique de X est    

0

lim ^x 1

E X x t f t dt



     Propriété de durée de vie sans vieillissement

Une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tous réels t et h positifs on a p X t _  X   t h   p X   h  . La durée de vie d’un appareil est dite « sans vieillissement » lorsque la probabilité qu’il fonctionne encore pendant une durée h ne dépend pas de la durée t de son fonctionnement passé.

Notion de demi-vie

La médiane t d’une variable aléatoire X est l’unique réel défini par la relation suivante :

    ¹

p X   t p X   t 2 . Si X suit une loi exponentielle de paramètre  , alors ^{ln 2}  

t ^  ^. Démonstrations

Proposer une démonstration des propriétés énoncées ci-dessus.

Durée de vie d’un téléviseur

La durée de vie d’un téléviseur avant la première panne, exprimée en années, peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant une loi à densité qui reste à préciser. D’après une étude statistique, la probabilité que le téléviseur tombe en panne avant la fin de la 1 ^ère année est 0,16.

On suppose que la durée de vie sans panne d’un téléviseur ne peur excéder un certain temps T (exprimé en années) et on envisage le choix, pour la variable aléatoire X, d’une loi uniforme sur l’intervalle [0 ; T]. Quelle devrait être la valeur du réel positif T pour que soit satisfaite l’hypothèse p(X<1)=0,16 ? Calculer dans ce cas, la probabilité que le téléviseur n’ait aucune panne durant les 3 premières années.

Jugeant le modèle peu réaliste, on fait désormais le choix, pour la variable aléatoire X, d’une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire d’une loi exponentielle définie sur  ^{0; }  ^{et de}

paramètre  . Calculer, en fonction de  , la probabilité ^{p X}  ^{ t}  pour tout t  0 . En déduire la

valeur exacte du paramètre  . Dans la suite de l’exercice on prendra   0,175 . Déterminer une

valeur approchée à 10 ^-3 près de la probabilité que le téléviseur ne connaisse pas de panne au cours

des 3 premières années. Sachant que ce téléviseur n’a connu aucune panne au cours des 3

premières années où il était sous garantie, quelle est la probabilité qu’il ne connaisse aucune pa,,e

au cours des 5 premières années. Calculer la durée de vie médiane sans panne et sa durée de vie

moyenne sans panne. Les résultats seront arrondis au mois près.

Page 8

Noyau radioactif

On modélise la durée de vie d’un noyau radioactif par une variable aléatoire T suivant une loi E _ . La demi-vie radioactive d’un noyau est la médiane t _{1 2} de la variable T, telle que p T   t 1 2   0,5

1. On suppose qu’en moyenne, un noyau de CESIUM 137 se désintègre au bout de 43,5 ans. Déterminer sa constante radioactive  .

2. On suppose que la demi-vie du COBALT 60 est 5,27 ans. Etablir une relation entre la demi-vie et la constante radioactive  . Déterminer  .

Radioactivité

La demi-vie du CESIUM 137 est de 30 ans. Retrouver sa constante radioactive. Déterminer la probabilité que la durée de vie d’un élément radioactif CESIUM 137 dépasse 50 ans.

Une vie de chêne

Un chêne vit en moyenne 240 ans. On modélise sa durée de vie, en années, par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Déterminer la probabilité que la vie d’un chêne soit supérieure à 480 ans. Déterminer la probabilité que la vie d’un chêne soit inférieure à 120 ans.

Déterminer la probabilité que la durée de vie d’un chêne soit inférieure à 360 ans sachant qu’il a déjà 240 ans.

Le temps d’un vol

En moyenne, un moteur d’avion peut fonctionner 2000 heures sans panne. En supposant que sa durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, calculer la probabilité que le moteur connaisse un problème lors d’un vol de 10 heures.

Une vie en suspens

Quand Brad joue avec son jeu vidéo, la durée de vie moyenne du monstre qu’il combat est de 10 minutes. On admet que la variable aléatoire T qui associe à une partie jouée la durée de vie du monstre, en minutes, suit une loi exponentielle. Quelle est la probabilité que le monstre soit encore envie après 10 minutes ? Quelle est la probabilité que le monstre périsse avant la vingtième minute ? Quelle est la probabilité que le monstre soit encore combatif à la cinquième minute et succombe avant la dixième. Au bout d’un quart d’heure, le monstre est encore vaillant, calculer la probabilité qu’il ne survive pas au-delà de vingt-cinq minutes. Déterminer la durée de vie médiane de ce monstre.

800 + 1200 = 2000

La durée de vie d’un appareil dépasse 800 heures avec une probabilité égale à 0,45. Ce même

appareil dépasse 1200 heures avec une probabilité égale à 0,30. Cet appareil ayant une durée de

vie sans vieillissement, on se demande quelle est la probabilité qu’il puisse fonctionner pendant

2000 heures au moins. On envisagera deux justifications distinctes. Méthode 1 : préciser la loi de

probabilité de la variable aléatoire en calculant une valeur approchée de son paramètre, puis

calculer la probabilité cherchée. Méthode 2 : à partir d’un lien entre la probabilité conditionnelle

p(T>2000 sachant que T>800), établir une relation entre p(T>2000), p(T>1200) et p(T>800).

Page 9

Retour aux lois binomiales X n suit une loi binomiale ^{B n p}  ^; 

de paramètres n (entier naturel non nul) et p (nombre réel compris entre 0 et 1).

On rappelle qu’une telle variable compte le nombre de « succès » lors de la répétition indépendante de n épreuves de Bernouilli lorsque la probabilité de « succès » d’une de ces épreuve est égale à p .

On rappelle que ^{E X}   ^{ np} , que

   ¹ 

V X  np  p et que   V . Ci-contre la distribution des probabilités d’une variable aléatoire suivant la loi ^{B n}  ^{ 20; p  0, 6}  ^.

Loi de probabilité de trois binomiales

Page 10

« Centrer » une variable aléatoire

On considère Y _n la variable aléatoire définie par Y _n  X _n  np où X _n suit une loi ^{B n p}  ^;  ^.

Quelle est l’espérance de cette nouvelle variable aléatoire ? Dépend-elle des paramètres n et p ? Quelle est la variance de cette nouvelle variable aléatoire ? Dépend-elle des paramètres n et p ?

Les trois binomiales « centrées »

Commentaire

Les histogrammes des variables aléatoires Y _n  X _n  np sont « centrés en 0 » mais leur

« dispersion » varie encore en fonction des paramètres n et p.

« Centrer » et « réduire » une variable aléatoire On considère Z _n la variable aléatoire définie par

 ¹ 

n n

X np Z

np p

 

 où X _n suit une loi ^{B n p}  ^;  ^.

Quelle est l’espérance de cette nouvelle variable aléatoire ? Dépend-elle des paramètres n et p ?

Quelle est la variance de cette nouvelle variable aléatoire ? Dépend-elle des paramètres n et p ?

Page 11

Les trois binomiales « centrées et réduites »

Commentaire

Les histogrammes des variables aléatoires

 ¹ 

n n

X np Z

np p

 

 sont « centrés en 0 » et leur

« dispersion » varie plus en fonction des paramètres n et p de la loi binomiale.

Définition

Lorsque X est une variable aléatoire d’espérance  et d’écart type  (non nul) la variable aléatoire Z ^X 



  est appelée la variable centrée et déduite associée à X . Vers la loi normale centrée et réduite Les bords supérieurs de l’histogramme donnant les probabilités de la variable aléatoire centrée et réduite associée à la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p font apparaître une courbe définie par :

 

2

1 2

2

x

f x e



 

Page 12

Théorème de Moivre-Laplace

On considère une variable aléatoire X _n qui suit la loi binomiale ^{B n p}  ^;  ^.

On note

 ¹ 

n n

X np Z

np p

 

 la variable centrée et réduite associée à la variable X _n . Alors pour tous réels a et b tels que a  b on a :  

2

1 2

lim 2

b x

n a

n p a Z b e dx





    

Commentaire

Ce théorème traduit le fait que pour une valeur de n assez grande, on peut approximer le calcul de la probabilité que la variable centrée réduite associée à la variable aléatoire X soit comprise entre les valeurs a et b par le calcul de l’intégrale sur l’intervalle [a ; b] d’une fonction donnée. Ce théorème se base sur l’approximation d’une intégrale par la somme des aires de rectangles :

La loi normale

Une variable aléatoire X suit la loi normale ^N   ^0;1 si pour tous a et b tels que a  b .

 

2

1 2

2

b x

p a X b a e dx



    

La fonction définie par  

2

1 2

2

x

f x e



 

est appelée fonction de densité de ^N   ^0;1

Page 13

Une nouvelle fonction On considère la fonction f définie sur IR par :

 

2

1 2

2

x

f x e



 

Etude de la fonction

1. Montrer que pour tout x réel, ^f   ^{  x f x}   . Que peut-on en déduire.

2. Dresser le tableau de signe de la fonction f .

3. Montrer que pour tout x réel, ^{f }   ^{x    x f x}   . Que peut-on en déduire ? 4. Dresser le tableau des variations de la fonction f .

5. Montrer que pour tout x réel, ^{f }   ^{x }  ^{x 2   1}  ^{f x  } . Que peut-on en déduire ? Calcul d’une aire

On souhaite déterminer l’aire contenue sous la courbe représentative de la fonction étudiée ci-dessus.

On s’intéresse dans un premier temps à la méthode des rectangles sur l’intervalle [0 ; 3]

Algorithme de calcul :

On rappelle que si f est une fonction positive et décroissante sur un intervalle [a ; b] alors pour tout n  1 , en posant b a

h n

  on a :     ¹  

1 0

n b n

i a i

h f a i h f x dx h f a i h



 

           ^. En déduire une valeur approchée de l’intégrale

2

3 2

0

1 2

x

e dx



  . Que peut-on en déduire ? Calcul de deux intégrales

1. On s’intéresse à l’intégrale suivante

2

1 2

2

x

E x e dx







    . Déterminer la valeur de E . 2. On s’intéresse à l’intégrale suivante

2

2 1 2

2

x

V x e dx







    . Déterminer la valeur deV .

Page 14

Propriétés de la loi normale

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale ^N   ^0;1 de densité  

2

1 2

2

x

f x e



  :

 La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

 L’aire sous la courbe représentative de f vaut 1 et par conséquent ^{p X}  ^{   }  ^;   ^{1 .}

 L’espérance mathématique   ^lim _x ⁰   ^lim ₀ ^y  

x y

E X t f t dt t f t dt

 

      est égale à 0.

 La variance et par conséquent l’écart type de cette variable aléatoire sont égaux à 1.

Une autre propriété

Soit X est une variable aléatoire qui suit la loi normale ^N   ^0;1 de densité  

2

1 2

2

x

f x e



 

Pour tour nombre réel  tel que 0    1 il existe un unique réel positif u _ tel que :

  ¹

p  u _  X  u _   

Démonstration

On note    

0

F t   t f x dx ^{où f} est la fonction de densité de la loi normale :  

2

1 2

2

x

f x e



 

1. Démontrer que ^p  ^{  t X   t}  ^{2 F t}   . Déterminer le tableau des variations complet de la fonction F sur l’intervalle  ^{0; }  puis celui de la fonction 2F sur l’intervalle  ^{0; } 

2. En déduire que si  est un réel tel que 0    1 , alors il existe un unique réel positif u _ tel que ^{2 F u}      ¹  . Conclure et interpréter la propriété démontrée en termes d’aire.

Deux cas particuliers

Page 15

Centrer, réduire pour comparer

Dans une université, à un partiel blanc, les notes sur 20 obtenues par les étudiants ont pour moyenne 9 et pour écart type 1,5. Un mois plus tard, au partiel, les notes des mêmes étudiants ont pour moyenne 7,5 et pour écart type 1. On désigne par X1 (respectivement X2) la variable aléatoire associant à un étudiant pris au hasard sa note au partiel blanc (respectivement, sa note au partiel). Exprimer les variables aléatoires centrées et réduites Z1 et Z2 associées à X1 et X2. Au vu des diagrammes représentants les deux séries de notes, qui évoquent une courbe en cloche, on fait le choix d’une loi normale N(0 ;1) pour chacune des variables aléatoires Z1 et Z2.

1. Calculer P(X1>10,5). Calculer P(X2>9).

2. Un étudiant a obtenu 10,5 à l’examen blanc et 9 à l’examen. Comparativement à ses camarades, a-t-il progressé ou régressé ?

Densité des variables aléatoires X1 et X2

Densité des variables aléatoires Z1 et Z2

Page 16

La loi normale

Une variable aléatoire X suit la loi normale ^N  ^{  ; 2}  ^{si la}

variable aléatoire ^X 



 suit la loi normale ^N   ^0;1 .

Propriétés immédiates Si X suit la loi normale

 ^{; 2} 

N   alors son espérance est  et sa variance est  ² . Intervalles 1, 2 ou 3 sigmas

Si X suit la loi normale ^N  ^{  ; 2}  ^{alors on}

a les approximations suivantes :

 ^{p X}  ^  ^{     ; }   ^{ 0, 68}

 ^{p X}  ^  ^{  2 ;    2 }   ^{ 0, 95}

 ^{p X}  ^  ^{  3 ;    3 }   ^{ 0, 997}

Exercice d’application directe

On considère le cheptel français des vaches de la race FFPN (française frisonne pis noir). On suppose que la variable aléatoire X associant à toute vache du cheptel sa production laitière de l’année suit une loi normale ^N  ^{  ; 2}  ^{avec   6000 et   400} . Afin de gérer au plus près son quota laitier, un éleveur faisant naître des vaches de cette race calcule certaines probabilités.

1. Quelle est la probabilité qu’une vache produise moins de 5800 litres par an ? 2. Quelle est la probabilité qu’une vache produise entre 5900 et 6100 litres par an ? 3. Quelle est la probabilité qu’une vache produise plus de 6250 litres par an ?

4. Quelle est la production maximale prévisible des 30% des vaches les moins productives du troupeau ?

5. Quelle est la production minimale prévisible des 20% des vaches les plus productives du troupeau ?

Taille normale

La taille des élèves du Lycée Gauss suit une loi normale de moyenne 174 cm et d’écart-type 8 cm.

On désigne par X la variable aléatoire associant à chacun de ces élèves sa taille en centimètres. On

rencontre au hasard un élève de ce lycée. Calculer la probabilité que cet élève ait une taille

comprise entre 1,65 m et 1,80 m. Calculer la probabilité que cet élève mesure moins de 1,80

sachant qu’il est plus grand que sa sœur dont la taille est 1,65 m.

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Quotient intellectuel

Dans une certaine population, on a étalonné un test de QI de telle façon que la variable aléatoire X qui attribue à tout individu pris au hasard son score, appelé QI, suive la loi normale N(100 ; 15).

1. Calculer la probabilité des trois événements suivants : « X<70 »

« 70<X<120 » et

« X>120 ».

2. Déterminer la valeur d’un score de QI tel que la probabilité qu’un individu pris au hasard obtienne un score plus faible est égal à 0,5. Déterminer la valeur d’un score de QI tel que la probabilité qu’un individu pris au hasard obtienne un score plus faible est égal à 0,05.

Déterminer la valeur d’un score de QI tel que la probabilité qu’un individu pris au hasard obtienne un score plus faible est égal à 1/3.

3. A partir de quel QI, la probabilité d’avoir un QI supérieur est-elle égale à 0,05 ?

4. Pour limiter « l’effet de tassement du QI » aux extrémités, on étalonne le test de façon à ce que la variable aléatoire Y, qui modélise le score, suive une loi normale de même moyenne 100, mais avec un écart type plus grand. Déterminer cet écart type pour que 10,5% de la population ait un QI au moins égal à 130.

Trajets comparés

Pour être en cours à 8 heures, un étudiant qui se rend le matin en voiture à l’université a le choix entre un trajet sur route, dont la durée X en minutes, suit la loi normale de moyenne 32,5 et d’écart type 4,5 et un trajet sur autoroute, dont la durée Y en minutes, suit la loi normale de moyenne 38 et d’écart type 2. S’il veut arriver à l’heure, quel trajet doit-il préférer s’il part à 7h15 ? Et s’il part à 7h30 ?

Premiers mots

Une étude effectuée par un chercheur a monté que l’âge auquel apparaissent les premiers mots de vocabulaire chez un enfant pris au hasard dans une population peut se modéliser par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 11,5 mois et d’écart type 3,2 mois.

1. Calculer la probabilité qu’un enfant de cette population ait prononcé ses premiers mots : avant d’avoir eu 10 mois, après avoir fêté ses 18 mois, dans le cours de sont 12 ^ème mois.

2. Déterminer l’âge à partir duquel la probabilité qu’un enfant n’ait encore prononcé aucun

mot devient inférieure à 0,25.

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Garantie sous contrôle

La compagnie Goodweek fabrique des pneus qui ont une durée de vie moyenne de 50000 kilomètres avec un écart type de 4000 kilomètres. On prélève un pneu dans la production et on modélise sa durée de vie par une variable aléatoire X suivant la loi normale N(50000 ; 4000 ² ).

1. Déterminer la probabilité que ce pneu ait une durée de vie supérieure à 53500 km, ait une durée de vie inférieure à 42000 km, ait une durée de vie comprise entre 50000 et 54000.

2. Sur chaque pneu acheté, le client bénéficie d’une garantie si une défaillance survient avant un certain nombre de kilomètres parcourus. Estimer ce nombre N si l’entreprise ne souhaite pas appliquer sa garantie à plus de 2% des pneus vendus.

Satisfaire le cahier des charges

On envisage de construire à l’entrée d’une caserne une guérite dans laquelle pourra s’abriter le sentinelle en cas d’intempéries. La taille des sentinelles est distribuée selon la loi normale de moyenne 175 centimètres et d’écart type 7 centimètres. On se pose la question suivante : quelle doit être la hauteur minimale du toit de la guérite pour que 99% des sentinelles puissent s’y tenir debout ? Introduire une variable aléatoire X, traduire la question posée en termes de probabilités.

Tailles et pourcentages

On admet que la longueur du pied d’un homme adulte peut se modéliser par une variable aléatoire X suivant une loi normale de moyenne 24 centimètres et d’écart type 3 centimètres. Un fabriquant de chaussettes souhaite programmer sa production de chaussettes en taille et en quantité. Il décide de répartir sa production selon 5 tailles, numérotées de 1 à 5 de la façon suivante : il prend un intervalle centré autour de la moyenne, de probabilité 0,90. Il divise cet intervalle en 3 intervalles égaux correspondant aux tailles 2, 3 et 4. Les tailles 1 et 5 se positionnent de part et d’autre de celles-ci.

1. Déterminer à 10 ^-2 près le réel t tel que ^p  ^{24   t X  24   t}  ^{0, 9} . En déduire les longueurs de pied qui délimitent les 5 intervalles précédemment définis.

2. Quelle part, en pourcentage, de la production totale le fabricant devra-t-il affecter respectivement à chacune des 5 tailles.

Amélioration des conditions de travail

Une grande société compte en moyenne 5 absences journalières pour 100 employés avec un écart type de 1. Après un programme visant à améliorer les conditions de travail, le nombre moyen d’absences journalières a été réduit à 4 pour 100 employés et l’écart type a été ramené à 0,8. Soit X1 (respectivement X2) la variable aléatoire associant à un jour pris au hasard avant (respectivement après) la mise en place du programme, le nombre d’absences pour 100 employés.

On admet que X1 (respectivement X2) suit une loi normale. Calculer et comparer, avant et après

la mise en place du programme, les probabilités d’avoir plus de 5 absences pour 100 employés,

moins de 3,5 absences pour 100 employés. L’objectif du programme était d’avoir moins de 5

absences pour 100 employés au moins 90 jours sur 100. Déterminer si cet objectif a été atteint.

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Table de la loi normale

1, 2, 3 sigmas

On considère une variable aléatoire X suivant une loi normale ^N  ^{  ; 2}  . Le cours nous dit que :

 ^{p X}  ^  ^{     ; }   ^{ 0, 68}

 ^{p X}  ^  ^{  2 ;    2 }   ^{ 0, 95}

 ^{p X}  ^  ^{  3 ;    3 }   ^{ 0, 997}

En utilisant la variable aléatoire Z ^X 



  et la table de la loi ^N   ^0;1 , justifier ces probabilités.

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Nouveaux nés

Dans une maternité, les nouveau-nés garçons pèsent en moyenne 3,4 kg avec un écart type de 250 grammes. Les nouveau-nés filles, qui représentent 40% des naissances, pèsent en moyenne 3,2 kg avec un écart type de 250 grammes. On suppose que le poids des nouveau-nés garçons et celui des nouveau-nés filles sont modélisés par des variables aléatoires X et Y qui suivent, chacune, une loi normale.

1. Déterminer t tel que ^p  ^{  t X  3, 4   t}  ^{0, 5} .

2. Calculer la probabilité qu’un nouveau-né pris au hasard ait une poids supérieur à 3,6 kg.

Calculer la probabilité qu’un nouveau-né pris au hasard pesant plus de 3,6 kg soit une fille

Toujours plus haut

A la fédération française d’athlétisme, on considère que les scores en saut en hauteur de ses adhérents filles et garçons se distribuent selon une loi normale : le score X en centimètres d’une fille suit la loi ^N  ^180;10  et le score Y en centimètres d’un garçon suit la loi ^N  ^190;15  ^.

1. Quelle est la probabilité qu’une fille choisie au hasard ait un score supérieur à la moyenne des garçons ? Quelle est la probabilité qu’un garçon pris au hasard ait un score inférieur à la moyenne des filles ?

2. Parmi les adhérents, on compte 40% de filles et 60% de garçons. Quelle est la probabilité qu’un adhérent pris au hasard ait un score dépassant de 20 cm la moyenne de sa catégorie.

Réglage d’un dispositif

Une entreprise conditionne et commercialise un désherbant liquide en bidons de 540 millilitres.

La machine qui remplit les bidons peut être réglée au moyen d’un dispositif gradué en millilitres.

Lorsque celui-ci est réglé sur la valeur m, le volume moyen de désherbant par bidon est m. On suppose que la variable aléatoire X qui, à tout bidon choisi au hasard dans la production, associe le volume en millilitres de désherbant qu’il contient, suit une loi normale d’espérance m et d’écart type 5. On règle le dispositif sur la valeur m=540. Calculer la probabilité de l’événement

« 535<X<545 ». On arrondira le résultat à 10 ^-3 près. Sur quelle valeur de m faut-il régler le dispositif pour que la probabilité de l’événement « X<550 » soit égale à 0,95 ? Arrondir à l’unité.

Réglage d’un autre dispositif

Une machine remplit des flacons de produit de nettoyage pour lentilles de contact. Dans la production d’une journée, on prélève au hasard un flacon. On désigne par V la variable aléatoire qui, à chaque flacon prélevé, associe le volume de produit contenu dans ce flacon, exprimé en ml.

On suppose que V suit la loi normale d’espérance 250 et d’écart type 4. Calculer la probabilité

que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit compris entre 245 et 255 ml. Le

réglage de la machine est modifié de façon que 95% des flacons contiennent entre 245 et 255 ml

de produit. On suppose qu’après réglage, la variable V suit la loi normale de moyenne 250 et

d’écart type sigma. Calculer sigma.

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Prises d’initiatives