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DEVOIR A LA MAISON. 1

Spé maths

Pour le lundi 4 mai 2020.

I. Pour faire cet exercice, reprenez la fiche sur l étude des suites arithmético-géométriques.

En 2018, la France comptait environ 225 000 médecins actifs. On prévoit que chaque année, 4% des médecins cessent leur activité tandis que 8 000 nouveaux médecins s’installent.

Pour étudier l’évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite ( ) ^u

. Pour tout entier naturel n, le terme u

représente le nombre de médecins en 2018 n, exprimé en milliers.

Partie A

1. Calculer le nombre de médecins en 2019. En déduire u

. 2. Justifier que pour tout entier naturel n, u

0,96u

8.

3. Pour tout entier naturel n, on admet que u

0,96u

8 et u

225.

La suite est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifier.

4. Compléter l’algorithme afin qu’il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.

Partie B.

1. On considère la suite ( ) ^v

définie, pour tout entier naturel n, par v

u

200.

a. Montrer que la suite ( ) ^v

est une suite géométrique. Préciser sa raison et son terme initial.

b. Exprimer, pour tout entier naturel n, v

en fonction de n.

c. En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de u

en fonction de n.

d. D’après cette modélisation, quel serait le nombre de médecins en France en 2031.

2. On admet que pour tout entier naturel n, u

u

0,96

. En déduire le sens de variation de la suite ( ) ^u

^.

3.

a. Compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il calcule, selon cette modélisation, l’année à partir de laquelle le nombre de médecins actifs en France passera la barre des 210 000.

N…….

U…….

Tant que ………

U……….

N……….

Fin Tant que

b. Quelle est la valeur de N à la sortie de cet algorithme ?

II.

Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C

d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 18] ainsi que les tangentes au point A d’abscisse 0, au point B d’abscisse 5 et au point D d’abscisse 10.

On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées (2 ; 10) et que la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

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U2250

Pour N allant de ……… à …………

U ………

Fin Pour

1.

a. Donner la valeur de f ′(5). Justifier brièvement.

b. Que représente graphiquement f ′(0) ? Donner sa valeur.

On admet dans la suite que la fonction f est définie sur l’intervalle [0 18] par f (x ) 5 xe

.

2. Montrer que f ′(x ) (5− x) e

où f ′ désigne la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; 18].

3. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 18].

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 10.

Partie B

Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction f dont la courbe représentative C

a été tracée ci-dessus.

En abscisses, x représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire. En ordonnées, f (x ) représente le nombre de milliers de jouets vendus le x -ième jour.

1. Déterminer le nombre de jouets que l entreprise prévoit de vendre le 10

jour.

2. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint.

Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l’unité.