Devoir 1 A rendre le 19 octobre 2012 Exercice 1

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2012-2013

Devoir 1

A rendre le 19 octobre 2012 Exercice 1

On dénit A ^{p n q} P M n pRq par

a ^p _i,i ^{n q} ₁ a ^p _i ^{n q} _1,i 1, @ i P v 1, n 1 w a ^p _ii ^{n q} 2, @ i P v 1, n w a ^p _ij ^{n q} 0, sinon.

Q. 1 On note P _n p λ q le polynôme caractéristique de la matrice A ^{p n q} 1. Montrer que

P n p λ q p λ 2 q P n 1 p λ q P n 2 p λ q (1.1) 2. En eectuant le changement de variable λ 2 2 cos θ établir que

P n p λ q sin pp n 1 q θ q

sin θ . (1.2)

3. En déduire les valeurs propres de A ^{p n q}

Soit I la matrice unité de M n pRq . On considère, dans M n

pRq , les matrices blocs suivantes :

B

A ^{p n q} 0 0 0 A ^{p n q} ... ...

... ... ... 0 0 0 A ^{p n q}

et C

2 I I 0 0 I 2 I I ... ...

0 I ... ... 0 ... ... ... ... I

0 0 I 2 I

Q. 2 On suppose que les valeurs propres p λ i q i Pv 1,n w de A ^{p n q} sont toutes distinctes. Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de B et C en fonction de ceux de A ^{p n q} (sans calculer explicitement les espaces

propres de A ^{p n q} ).

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