Devoir 1 Polynˆomes, Espaces Vectoriels A rendre le 17/03/2008 Exercice Soit

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Universit´ e Pierre et Marie Curie LM125 MIME 23-24

Devoir 1

Polynˆ omes, Espaces Vectoriels A rendre le 17/03/2008 Exercice

Soit E := R

n

[X] l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´ e au plus n. Dans E = R

n

[X], o` u n ≥ 3, on consid` ere le polynˆ ome ` a coefficients r´ eels A(X) = (X − 1)(X − 2)(X − 3).

a) Prouver que F = {P ∈ E , A divise P } est un sous-espace vectoriel de E.

b) Montrer que E = F ⊕ R

2

[X].

c) Trouver le reste de la division euclidienne de X

ⁿ

par A(X ) (on pourra se ramener ` a la r´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire en donnant ` a la variable X les valeurs 1,2 et 3)

Probl` eme 1. PGCD de deux polynˆ omes

Soit A ⊂ R [X ] un sous-anneau de R [X ]. A est un id´ eal de R [X ] ssi il est ”absorbant”, i.e.

∀A ∈ A, ∀P ∈ R [X], AP ∈ A.

a) Exemples : ces trois sous-anneaux sont-ils des id´ eaux ? (i) L’ensemble P des polynˆ omes pairs.

Non : par exemple, X

²

∈ P mais X.X

²

= X

³

∈ P / (ii) L’ensemble des polynˆ omes qui s’annulent en 1.

Oui : A(1) = 0 = ⇒ ∀P ∈ R [X ], (AP )(1) = 0.

C’est encore l’ensemble des polynˆ omes divisibles par X −1, donc l’ensemble des multiples de (X −1), que l’on note (X − 1) R [X].

(iii) L’ensemble des polynˆ omes dont le terme constant et le terme de degr´ e 1 sont nuls.

Oui. (De mˆ eme, il s’agit de l’ensemble X

²

R [X] des polynˆ omes multiples de X

²

). X

²

|A = ⇒ X

²

|(AP )∀P in R [X].

b) Tout id´ eal de R [X] est principal.

Soit A un id´ eal de R [X ]. L’ensemble {degP, P ∈ A, P 6= 0} est une partie de N . Il admet donc un plus petit ´ el´ ement a. Soit A ∈ A un polynˆ ome de degr´ e a.

Montrer que A engendre A, c’est-` a dire que ∀P ∈ A, ∃Q ∈ R [X ], P = AQ.

V´ erifier qu’il existe, ` a une multiplication par un scalaire pr` es, un seul polynˆ ome engendrant A.

c) Soient A et B deux polynˆ omes.

L’id´ eal engendr´ e par A et B est l’intersection de tous les id´ eaux de R [X ] contenant A et B.

Montrer qu’on peut encore le d´ efinir comme {AP + BQ, P, Q ∈ R [X ]}. (On montrera tout d’abord que cet espace est un id´ eal, puis qu’il est inclus dans tout id´ eal contenant A et B.)

Il existe donc un unique polynˆ ome unitaire engendrant cet id´ eal, que l’on note P GCD(A, B).

Montrer que P GCD(A, B) divise A et B.

V´ erifier que, P = αP GCD(A, B), α ∈ R

^∗

⇐⇒ (∀Q ∈ R [X ], Q|A et Q|B ⇐⇒ Q|P ).

(D’o` u l’appellation de ”Plus Grand Commun Diviseur”).

d) Algorithme de calcul.

On suppose que degA ≥ degB. Notons A = R

₀

; B = R

₁

, puis on d´ efinit, par r´ ecurrence, R

_n+2

comme le reste de la division euclidienne de R

_n

par R

_n+1

.

Montrer tout d’abord que, si A et B sont deux polynˆ omes et R le reste non nul de la division euclidienne de A par B, P GCD(A, B) = P GCD(B, R).

Montrer ensuite que :

∃n ∈ N , R

_n

= P GCD(A, B) ` a une constante multiplicative pr` es e) Exemple :

Calculer le PGCD de A = X

⁵

+ 5X

⁴

− 2X

³

− 4X

²

− X + 1 et B = X

⁴

− 3X

³

+ X

²

+ X + 1.

Probl` eme 2. Polynˆ omes d’interpolation de Lagrange

Soit n ∈ N

^∗

et soient (x

₁

, x

₂

, ..., x

_n

) et (a

₁

, a

₂

, ..., a

_n+1

) ∈ R

ⁿ⁺¹

deux n + 1-uplets de r´ eels. On

1

(2)

suppose les x

i

distincts deux-` a deux.

On cherche ` a d´ eterminer l’ensemble des polynˆ omes P de degr´ e au plus n tels que P (x

i

) = a

i

∀i, 1 ≤ i ≤ n + 1.

a) Montrer qu’un tel polynˆ ome, s’il existe, est unique.

b) Montrer que, pour tout k ≤ n+1, l’ensemble E = {P ∈ R

n

[X ], ∀i ∈ [1, n+1]\{k}, P (x

_i

) = 0}

est un sous-espace vectoriel de R

n

[X].

c) Quel est l’unique polynˆ ome unitaire de degr´ e n s’annulant en x

2

, x

3

, ..., x

n+1

? d) Calculer sa valeur en x

1

.

En d´ eduire un polynˆ ome prenant les valeurs 0 en x

i

, ∀i ∈ [2, n + 1] et 1 en x

1